Libro de funciones potencias y trigonometricas
6. Funciones cúbicas en fenómenos de la naturaleza
Objetivos
- Reconocer funciones cúbicas como funciones potencia de exponente entero.
- Construir e interpretar tablas y gráficos de modelos cúbicos.
- Usar funciones cúbicas para describir fenómenos donde una magnitud depende del cubo de otra.
¿Qué es una función cúbica?
Una función cúbica básica tiene la forma \(f(x)=ax^3\), donde \(a\neq 0\). Es una función potencia de exponente entero positivo.
Las funciones cúbicas aparecen en contextos donde una magnitud depende de tres dimensiones, como el volumen de un cubo en función de su arista.
Modelo cúbico básico
Si un cubo tiene arista \(x\), su volumen es:
\[ V(x)=x^3 \]
Si todas las dimensiones de un objeto se multiplican por el mismo factor, su volumen se multiplica por el cubo de ese factor.
Ejemplo 1: volumen de un cubo
Calcula el volumen de cubos cuyas aristas miden \(1\), \(2\), \(3\) y \(4\) cm.
| Arista \(x\) | Volumen \(V(x)=x^3\) |
|---|---|
| \(1\) | \(1\) |
| \(2\) | \(8\) |
| \(3\) | \(27\) |
| \(4\) | \(64\) |
El volumen crece rápidamente: duplicar la arista no duplica el volumen, sino que lo multiplica por \(8\).
Representación gráfica
En este contexto solo se considera \(x>0\), porque \(x\) representa una longitud.
Ejemplo 2: cambio de escala
Un modelo de célula se amplía de modo que cada longitud se multiplica por \(3\). ¿Por cuánto se multiplica su volumen?
Si cada longitud se multiplica por \(3\), el volumen se multiplica por:
\[ 3^3=27 \]
El volumen se multiplica por \(27\). Este tipo de relación se modela con una función cúbica.
Forma del gráfico
El gráfico de \(f(x)=x^3\) pasa por el origen y crece de izquierda a derecha. Para valores positivos de \(x\), los valores de \(f(x)\) son positivos. Para valores negativos de \(x\), los valores de \(f(x)\) son negativos.
En contextos como volumen, normalmente se usa \(x>0\), porque una longitud no puede ser negativa.
Error frecuente
No confundas crecimiento cuadrático con crecimiento cúbico. Si una longitud se duplica, un área puede multiplicarse por \(2^2=4\), pero un volumen se multiplica por \(2^3=8\).
Ejercicio 1
Calcula \(f(5)\) para la función \(f(x)=x^3\).
Reemplazamos \(x=5\):
\[ f(5)=5^3=125 \]
Por lo tanto, \(f(5)=125\).
Ejercicio 2
Un cubo tiene arista de \(6\) cm. Calcula su volumen.
El volumen de un cubo se calcula elevando al cubo la medida de su arista:
\[ V=6^3=216 \]
El volumen es \(216\text{ cm}^3\).
Ejercicio 3
Si la arista de un cubo se duplica, ¿por cuánto se multiplica su volumen?
Si la arista pasa de \(x\) a \(2x\), entonces:
\[ V(2x)=(2x)^3 \]
Aplicamos la potencia al producto:
\[ (2x)^3=2^3x^3=8x^3 \]
El volumen se multiplica por 8.
Ejercicio 4
Para \(g(x)=2x^3\), calcula \(g(1)\), \(g(2)\) y \(g(3)\).
Evaluamos la función en cada valor:
\[ g(1)=2\cdot 1^3=2 \]
\[ g(2)=2\cdot 2^3=2\cdot 8=16 \]
\[ g(3)=2\cdot 3^3=2\cdot 27=54 \]
Por lo tanto, \(g(1)=2\), \(g(2)=16\) y \(g(3)=54\).
Ejercicio 5
Un recipiente conserva su forma, pero todas sus longitudes se multiplican por \(4\). ¿Por cuánto se multiplica su volumen?
El volumen se multiplica por el cubo del factor de escala:
\[ 4^3=64 \]
El volumen se multiplica por 64.
Ejercicio 6
Explica por qué el dominio de \(V(x)=x^3\) en el contexto del volumen de un cubo debe considerar \(x>0\).
Porque \(x\) representa la longitud de la arista de un cubo.
Una longitud no puede ser negativa. Además, si se quiere formar un cubo con volumen positivo, la arista debe ser mayor que \(0\).
Por eso, en ese contexto se considera \(x>0\).
Ejercicio 7
Un cubo tiene arista \(x\) y volumen \(V(x)=x^3\). Si su volumen es \(125\text{ cm}^3\), ¿cuánto mide su arista?
Planteamos la ecuación:
\[ x^3=125 \]
Buscamos el número positivo cuyo cubo es \(125\):
\[ 5^3=125 \]
Por lo tanto, la arista mide \(5\) cm.
Ejercicio 8
Un estudiante afirma: “Si la arista de un cubo se triplica, su volumen también se triplica”. ¿Es correcta la afirmación? Justifica.
No, la afirmación es incorrecta.
Si la arista pasa de \(x\) a \(3x\), entonces el volumen pasa de \(x^3\) a:
\[ (3x)^3=27x^3 \]
Por lo tanto, el volumen no se triplica: se multiplica por 27.
Para recordar
Una función cúbica puede modelar fenómenos donde una magnitud depende de una longitud elevada al cubo. Por eso es útil para describir cambios de volumen y escalas tridimensionales.