Libro de funciones potencias y trigonometricas
15. La rueda de la fortuna como modelo trigonométrico
Objetivos
- Modelar la altura de un punto en una rueda de la fortuna usando funciones seno o coseno.
- Interpretar radio, altura media, máximo, mínimo y periodo en un contexto periódico.
- Usar un modelo trigonométrico para describir y predecir alturas.
Un movimiento periódico
Una rueda de la fortuna gira y repite su movimiento cada cierto tiempo. La altura de una persona sube y baja de manera periódica: después de una vuelta completa, vuelve a la misma altura y continúa el ciclo.
Este comportamiento puede modelarse con funciones seno o coseno.
Modelo general
Un modelo posible para la altura \(h(t)\), en metros, es:
\[ h(t)=A\cos\left(\frac{2\pi}{T}t\right)+C \]
- \(A\): amplitud, relacionada con el radio de la rueda.
- \(T\): periodo, tiempo de una vuelta completa.
- \(C\): altura media, correspondiente a la altura del centro de la rueda.
En una rueda de la fortuna, la amplitud coincide con el radio y la altura media coincide con la altura del centro respecto del suelo.
Ejemplo 1: identificar parámetros
Una rueda tiene radio \(12\) m, su centro está a \(15\) m del suelo y tarda \(60\) s en dar una vuelta. Si una persona parte desde el punto más alto, un modelo es:
\[ h(t)=12\cos\left(\frac{2\pi}{60}t\right)+15 \]
La amplitud es \(12\), el periodo es \(60\) y la altura media es \(15\).
Altura máxima:
\[ 15+12=27 \]
Altura mínima:
\[ 15-12=3 \]
Representación gráfica
El gráfico muestra que la altura parte en \(27\) m, baja hasta \(3\) m y vuelve a repetirse cada \(60\) segundos.
Ejemplo 2: predecir alturas
Usando \(h(t)=12\cos\left(\frac{2\pi}{60}t\right)+15\), calcula la altura en \(t=0\) y en \(t=30\) segundos.
En \(t=0\):
\[ h(0)=12\cos(0)+15=12\cdot 1+15=27 \]
En \(t=30\):
\[ h(30)=12\cos\left(\frac{2\pi}{60}\cdot 30\right)+15 \]
Como \(\frac{2\pi}{60}\cdot 30=\pi\), entonces:
\[ h(30)=12\cos(\pi)+15=12\cdot (-1)+15=3 \]
Al inicio está en el punto más alto; a los \(30\) segundos, media vuelta después, está en el punto más bajo.
| Elemento de la rueda | Elemento del modelo | Interpretación |
|---|---|---|
| Radio | Amplitud \(A\) | Distancia desde el centro hasta el punto más alto o más bajo. |
| Altura del centro | Altura media \(C\) | Línea central del movimiento. |
| Tiempo de una vuelta | Periodo \(T\) | Tiempo que tarda en repetirse el movimiento. |
Atención
El modelo con coseno depende del punto de partida. Si la persona parte desde otra posición, puede ser más conveniente usar seno o agregar un desplazamiento horizontal.
Ejercicio 1
Una rueda tiene radio \(10\) m y su centro está a \(13\) m del suelo. Determina la altura máxima y mínima.
La altura máxima se obtiene sumando el radio a la altura del centro:
\[ 13+10=23 \]
La altura mínima se obtiene restando el radio a la altura del centro:
\[ 13-10=3 \]
La altura máxima es \(23\) m y la mínima es \(3\) m.
Ejercicio 2
Una rueda tarda \(80\) segundos en dar una vuelta. ¿Cuál es el periodo del modelo?
El periodo es el tiempo que tarda en repetirse el movimiento.
Como la rueda tarda \(80\) segundos en dar una vuelta completa, se tiene:
\[ T=80 \]
El periodo es \(80\) segundos.
Ejercicio 3
Para el modelo \(h(t)=8\cos\left(\frac{2\pi}{40}t\right)+11\), identifica amplitud, periodo y altura media.
Comparamos con la forma:
\[ h(t)=A\cos\left(\frac{2\pi}{T}t\right)+C \]
La amplitud es \(8\), porque multiplica al coseno.
El periodo es \(40\), porque el argumento tiene la forma \(\frac{2\pi}{T}t\).
La altura media es \(11\), porque es el desplazamiento vertical.
Ejercicio 4
En el modelo \(h(t)=8\cos\left(\frac{2\pi}{40}t\right)+11\), calcula \(h(0)\) y \(h(20)\).
En \(t=0\):
\[ h(0)=8\cos(0)+11=8\cdot 1+11=19 \]
En \(t=20\):
\[ h(20)=8\cos\left(\frac{2\pi}{40}\cdot 20\right)+11 \]
Como \(\frac{2\pi}{40}\cdot 20=\pi\), se obtiene:
\[ h(20)=8\cos(\pi)+11=8(-1)+11=3 \]
Por lo tanto, \(h(0)=19\) y \(h(20)=3\).
Ejercicio 5
Una rueda tiene altura mínima \(2\) m y altura máxima \(30\) m. Determina el radio y la altura del centro.
El diámetro vertical corresponde a la diferencia entre la altura máxima y la mínima:
\[ 30-2=28 \]
El radio es la mitad del diámetro:
\[ \frac{28}{2}=14 \]
La altura del centro es el promedio entre máximo y mínimo:
\[ \frac{30+2}{2}=16 \]
El radio es \(14\) m y el centro está a \(16\) m del suelo.
Ejercicio 6
Explica por qué la altura de una persona en una rueda de la fortuna puede modelarse con una función trigonométrica.
La altura de la persona sube y baja de forma repetitiva mientras la rueda gira.
Después de una vuelta completa, la persona vuelve a la misma posición y el movimiento se repite.
Esa periodicidad se puede representar mediante funciones seno o coseno, porque sus gráficos también repiten un patrón de subida y bajada.
Para recordar
La rueda de la fortuna conecta geometría, tiempo y funciones trigonométricas: el radio se interpreta como amplitud, el centro como altura media y el tiempo de una vuelta como periodo.