Libro de funciones potencias y trigonometricas
14. Movimientos cíclicos: amplitud, periodo y frecuencia
Objetivos
- Interpretar amplitud, periodo y frecuencia en fenómenos cíclicos.
- Relacionar parámetros de modelos seno y coseno con situaciones reales.
- Usar modelos trigonométricos para describir y predecir movimientos periódicos.
Fenómenos que se repiten
Un fenómeno cíclico es aquel que repite su comportamiento después de cierto tiempo. Algunos ejemplos son el movimiento de una rueda, el vaivén de un columpio, ciertas mareas, ondas sonoras o variaciones periódicas de temperatura.
Las funciones seno y coseno permiten representar este tipo de fenómenos mediante parámetros que tienen significado en el contexto.
Modelo trigonométrico
Un modelo frecuente es:
\[ y(t)=A\sin\left(\frac{2\pi}{T}t\right)+C \]
- \(A\): amplitud.
- \(T\): periodo.
- \(C\): línea media o valor central.
La frecuencia indica cuántos ciclos ocurren por unidad de tiempo. Si el periodo es \(T\), entonces:
\[ f=\frac{1}{T} \]
Comparación gráfica de amplitud y periodo
En la comparación, aumentar la amplitud hace que la oscilación sea más alta y más baja respecto de la línea media. En cambio, disminuir el periodo hace que el ciclo se repita más rápido.
Ejemplo 1: leer un modelo
La altura de una boya respecto de una posición media se modela por:
\[ y(t)=2\sin\left(\frac{2\pi}{8}t\right) \]
La amplitud es \(2\). Esto significa que la boya se aleja como máximo \(2\) unidades de su posición media.
El periodo es \(8\). Esto significa que el movimiento se repite cada \(8\) unidades de tiempo.
La frecuencia es:
\[ f=\frac{1}{8} \]
Esto significa que realiza \(\frac{1}{8}\) de ciclo por unidad de tiempo, o un ciclo completo cada \(8\) unidades.
Representación gráfica
En el gráfico se observa que la boya alcanza valores máximos y mínimos de manera repetida, y que cada ciclo completo dura \(8\) unidades de tiempo.
Ejemplo 2: máximo y mínimo
Un modelo de temperatura diaria es:
\[ T(t)=6\cos\left(\frac{2\pi}{24}t\right)+18 \]
La amplitud es \(6\) y la línea media es \(18\).
Temperatura máxima:
\[ 18+6=24 \]
Temperatura mínima:
\[ 18-6=12 \]
El periodo es \(24\), por lo que el patrón se repite cada \(24\) horas.
Representación gráfica
La línea media es \(18\). La curva sube hasta \(24\), baja hasta \(12\) y luego repite el mismo patrón.
| Concepto | Significado | Pregunta que responde |
|---|---|---|
| Amplitud | Distancia desde la línea media hasta un máximo o mínimo. | ¿Qué tan grande es la oscilación? |
| Periodo | Tiempo que tarda en repetirse un ciclo. | ¿Cada cuánto se repite? |
| Frecuencia | Cantidad de ciclos por unidad de tiempo. | ¿Cuántas repeticiones ocurren por unidad? |
| Línea media | Valor central alrededor del cual oscila el fenómeno. | ¿Cuál es el nivel de equilibrio? |
Error frecuente
No confundas periodo y frecuencia. Si el periodo aumenta, la frecuencia disminuye, porque los ciclos tardan más en completarse.
Ejercicio 1
En el modelo \(y(t)=5\sin\left(\frac{2\pi}{10}t\right)\), identifica amplitud y periodo.
Comparamos el modelo con la forma:
\[ y(t)=A\sin\left(\frac{2\pi}{T}t\right)+C \]
En este caso:
\[ A=5 \]
Por lo tanto, la amplitud es \(5\).
Además, el argumento tiene la forma:
\[ \frac{2\pi}{10}t \]
Entonces el periodo es \(10\).
Ejercicio 2
Si un fenómeno tiene periodo \(20\) segundos, ¿cuál es su frecuencia en ciclos por segundo?
La frecuencia se calcula como:
\[ f=\frac{1}{T} \]
Como el periodo es \(T=20\), entonces:
\[ f=\frac{1}{20} \]
En forma decimal:
\[ \frac{1}{20}=0{,}05 \]
La frecuencia es \(\frac{1}{20}\) ciclos por segundo, es decir, \(0{,}05\) ciclos por segundo.
Ejercicio 3
En el modelo \(T(t)=4\cos\left(\frac{2\pi}{12}t\right)+16\), determina valor máximo, valor mínimo y periodo.
Comparamos con la forma:
\[ y(t)=A\cos\left(\frac{2\pi}{T}t\right)+C \]
La amplitud es \(4\) y la línea media es \(16\).
Máximo:
\[ 16+4=20 \]
Mínimo:
\[ 16-4=12 \]
El argumento tiene la forma \(\frac{2\pi}{12}t\), por lo tanto el periodo es \(12\).
Ejercicio 4
Un columpio completa un ciclo cada \(4\) segundos. ¿Tiene mayor o menor frecuencia que otro que completa un ciclo cada \(8\) segundos?
El columpio de periodo \(4\) segundos tiene frecuencia:
\[ f=\frac{1}{4} \]
El columpio de periodo \(8\) segundos tiene frecuencia:
\[ f=\frac{1}{8} \]
Comparamos:
\[ \frac{1}{4}>\frac{1}{8} \]
Por lo tanto, el primer columpio tiene mayor frecuencia, porque completa ciclos en menos tiempo.
Ejercicio 5
Un fenómeno tiene valor máximo \(30\) y valor mínimo \(10\). Determina la amplitud y la línea media.
La amplitud es la mitad de la diferencia entre máximo y mínimo:
\[ \frac{30-10}{2}=\frac{20}{2}=10 \]
La línea media es el promedio entre máximo y mínimo:
\[ \frac{30+10}{2}=\frac{40}{2}=20 \]
La amplitud es \(10\) y la línea media es \(20\).
Ejercicio 6
Explica qué cambia en un modelo trigonométrico si se aumenta la amplitud, pero se mantiene el mismo periodo.
Al aumentar la amplitud, aumenta la distancia entre la línea media y los máximos o mínimos.
Esto significa que el fenómeno oscila con mayor intensidad.
Sin embargo, si el periodo se mantiene igual, el tiempo que tarda en completar cada ciclo no cambia.
Para recordar
En un modelo cíclico, la amplitud describe el tamaño de la oscilación, el periodo indica cada cuánto se repite y la frecuencia expresa cuántos ciclos ocurren por unidad de tiempo.