La Función Logarítmica
5. Comparación de bases en funciones logarítmicas
Objetivos
- Comparar funciones logarítmicas con distintas bases.
- Reconocer cuándo una función logarítmica es creciente o decreciente.
- Interpretar gráficamente el punto común \((1,0)\) y la asíntota vertical.
La base cambia la forma
La función \(f(x)=\log_a(x)\) depende de la base \(a\). Si \(a>1\), la función es creciente. Si \(0
En todos los casos, el dominio es \(x>0\), el recorrido es \(\mathbb{R}\), la gráfica pasa por \((1,0)\) y tiene asíntota vertical \(x=0\).
Visualización con Cartesiano
Compara las funciones \(y=\log_2(x)\), \(y=\log_{10}(x)\) y \(y=\log_{1/2}(x)\).
Ejemplo 1: base mayor que 1
La función \(f(x)=\log_2(x)\) es creciente. Por ejemplo:
\[ \log_2(2)=1,\qquad \log_2(4)=2,\qquad \log_2(8)=3 \]
Al aumentar \(x\), también aumenta \(f(x)\), aunque lentamente.
Ejemplo 2: base entre 0 y 1
La función \(g(x)=\log_{1/2}(x)\) es decreciente. Por ejemplo:
\[ \log_{1/2}\left(\frac{1}{2}\right)=1,\qquad \log_{1/2}(1)=0,\qquad \log_{1/2}(2)=-1 \]
Al aumentar \(x\), el valor de \(g(x)\) disminuye.
Ejercicio 1
Indica si \(f(x)=\log_3(x)\) es creciente o decreciente.
Como la base es \(3\) y \(3>1\), la función es creciente.
Ejercicio 2
Indica si \(g(x)=\log_{1/3}(x)\) es creciente o decreciente.
Como \(0<\frac{1}{3}<1\), la función es decreciente.
Ejercicio 3
¿Por qué todas las funciones \(y=\log_a(x)\), con \(a>0\) y \(a\neq 1\), pasan por \((1,0)\)?
Porque:
\[ \log_a(1)=0 \]
Esto ocurre ya que \(a^0=1\) para toda base válida \(a\).
Ejercicio 4
Compara \(\log_2(8)\) y \(\log_{10}(8)\). ¿Cuál es mayor? Justifica sin calculadora exacta.
\(\log_2(8)=3\), porque \(2^3=8\).
En cambio, \(\log_{10}(8)\) está entre \(0\) y \(1\), porque \(10^0=1\) y \(10^1=10\).
Por lo tanto, \(\log_2(8)\) es mayor.
Ejercicio 5
¿Cuál es la asíntota vertical de \(f(x)=\log_5(x)\)?
La asíntota vertical es:
\[ x=0 \]
La función solo está definida para \(x>0\).
Error frecuente
No todas las funciones logarítmicas crecen. Si la base está entre \(0\) y \(1\), la función es decreciente.