La Función Logarítmica
6. Transformaciones y dominio de funciones logarítmicas
Objetivos
- Reconocer desplazamientos horizontales y verticales en funciones logarítmicas.
- Determinar el dominio y la asíntota vertical de funciones de la forma \(\log(x-h)\) o \(\log(x+h)\).
- Interpretar transformaciones usando representación gráfica.
La restricción se mueve
La función \(f(x)=\log(x)\) está definida solo para \(x>0\). Si se transforma a \(g(x)=\log(x-3)\), el argumento debe ser positivo:
\[ x-3>0 \]
\[ x>3 \]
Por eso la asíntota vertical pasa de \(x=0\) a \(x=3\).
Visualización con Cartesiano
Compara \(\log(x)\), \(\log(x-3)\), \(\log(x+5)\) y \(\log(x)+2\).
| Función | Dominio | Asíntota vertical |
|---|---|---|
| \(f(x)=\log(x)\) | \(x>0\) | \(x=0\) |
| \(g(x)=\log(x-3)\) | \(x>3\) | \(x=3\) |
| \(h(x)=\log(x+5)\) | \(x>-5\) | \(x=-5\) |
| \(p(x)=\log(x)+2\) | \(x>0\) | \(x=0\) |
Ejemplo 1: dominio y asíntota
Determina el dominio y la asíntota vertical de \(f(x)=\log(x+4)\).
El argumento debe ser positivo:
\[ x+4>0 \]
\[ x>-4 \]
El dominio es \(x>-4\) y la asíntota vertical es \(x=-4\).
Ejemplo 2: desplazamiento vertical
La función \(g(x)=\log(x)+3\) mantiene el mismo dominio que \(\log(x)\):
\[ x>0 \]
El \(+3\) desplaza la gráfica 3 unidades hacia arriba, pero no cambia el argumento ni la asíntota vertical.
Ejercicio 1
Determina el dominio de \(f(x)=\log(x-7)\).
\[ x-7>0 \]
\[ x>7 \]
El dominio es \(x>7\).
Ejercicio 2
Determina la asíntota vertical de \(g(x)=\log(x+2)\).
La frontera del dominio se obtiene con:
\[ x+2=0 \]
\[ x=-2 \]
La asíntota vertical es \(x=-2\).
Ejercicio 3
¿Cuál es el dominio de \(h(x)=\log(x)+5\)?
El \(+5\) está fuera del logaritmo, así que no cambia el argumento. Se requiere:
\[ x>0 \]
El dominio es \(x>0\).
Ejercicio 4
Determina dominio y asíntota vertical de \(p(x)=\log(2x-6)\).
El argumento debe ser positivo:
\[ 2x-6>0 \]
\[ 2x>6 \]
\[ x>3 \]
El dominio es \(x>3\) y la asíntota vertical es \(x=3\).
Ejercicio 5
Explica por qué \(f(x)=\log(x-3)\) no puede evaluarse en \(x=2\).
Si \(x=2\), el argumento es:
\[ 2-3=-1 \]
El logaritmo real no está definido para argumentos negativos. Por eso \(x=2\) no pertenece al dominio.
Error frecuente
No confundas \(\log(x)+5\) con \(\log(x+5)\). En la primera, el dominio sigue siendo \(x>0\); en la segunda, el dominio cambia a \(x>-5\).