2. Probabilidad: Regla de la Suma y del Complemento

Probabilidad: Regla de la Suma y del Complemento

Repaso Rápido

Recordemos:

  • Experimento aleatorio: Resultado incierto.
  • Espacio muestral (Ω): Todos los resultados posibles.
  • Evento: Subconjunto del espacio muestral.
  • Probabilidad: Medida de la posibilidad de un evento (entre 0 y 1).
  • Probabilidad clásica: P(A) = Casos favorables / Casos posibles (si son equiprobables).

Regla de la Suma

Eventos Mutuamente Excluyentes

Dos eventos son *mutuamente excluyentes* si no pueden ocurrir *al mismo tiempo*.

Ejemplos:

  • Dado: "Obtener un 1" y "obtener un 6".
  • Carta: "Sacar un rey" y "sacar una reina".
  • Carrera: "Llegar primero" y "llegar segundo".

Fórmula (Mutuamente Excluyentes):

\[ P(A \text{ o } B) = P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]

La probabilidad de A *o* B es la suma de sus probabilidades.

Eventos No Mutuamente Excluyentes

Dos eventos son *no mutuamente excluyentes* si *pueden* ocurrir al mismo tiempo.

Ejemplos:

  • Dado: "Obtener par" y "obtener número mayor que 3".
  • Carta: "Sacar corazón" y "sacar figura".
  • Encuesta: "Tener perro" y "tener gato".

Fórmula (Regla General de la Suma):

\[ P(A \text{ o } B) = P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ y } B) \]

Se resta la probabilidad de que ocurran *ambos* (P(A y B)) para evitar doble conteo.

Diagramas de Venn (Introducción): (En Moodle, insertar imagen).

Ayudan a visualizar. Círculos representan eventos. La intersección es "A y B". La unión es "A o B".

Regla del Complemento

El *complemento* de un evento A (Ac, A', o \(\bar{A}\)) es el evento donde *no* ocurre A.

Ejemplos:

  • A = "par en un dado", Ac = "impar".
  • A = "sacar rey", Ac = "no sacar rey".
  • A = "al menos una cara (3 monedas)", Ac = "ninguna cara".

Fórmula:

\[ P(A^c) = 1 - P(A) \]

La probabilidad de que *no* ocurra A es 1 menos la probabilidad de que *sí* ocurra.

Ejercicios y Problemas (Ordenados por Dificultad)

Ejercicios (Nivel Básico)

Ejercicio 1: Clasifica los siguientes pares de eventos como mutuamente excluyentes (ME) o no mutuamente excluyentes (NME):

  1. Lanzar un dado: "Obtener un 2" y "obtener un número impar".
  2. Sacar una carta: "Sacar un trébol" y "sacar un 7".
  3. Elegir un estudiante: "Ser mujer" y "tener ojos azules".
  4. Lanzar dos monedas: "Obtener dos caras" y "obtener al menos un sello".

Ejercicio 2: Si P(A) = 0.4, P(B) = 0.5, y A y B son mutuamente excluyentes, calcula:

  1. P(A o B)
  2. P(Ac)
  3. P(Bc)

Ejercicio 3: Si P(A) = 0.6, P(B) = 0.3, y P(A y B) = 0.2, calcula P(A o B).

Ejercicios (Nivel Intermedio)

Ejercicio 4: Se lanza un dado de seis caras. Calcula la probabilidad de:

  1. Obtener un 3 o un 4.
  2. Obtener un número par o un número mayor que 4.
  3. No obtener un 2.
  4. Obtener un número que no sea ni 5 ni 6.

Ejercicio 5: En una urna hay 5 bolas rojas, 3 bolas azules y 2 bolas blancas. Se extrae una bola al azar. Calcula la probabilidad de:

  1. Sacar una bola roja o blanca.
  2. No sacar una bola azul.
  3. Sacar una bola que no sea ni roja ni blanca.

Problemas (Nivel Intermedio-Avanzado)

Problema 1: En un grupo de 100 personas, 60 leen el periódico A, 40 leen el periódico B y 15 leen ambos periódicos. Se elige una persona al azar. Calcula la probabilidad de que:

  1. Lea el periódico A o el periódico B.
  2. No lea ninguno de los dos periódicos.
  3. Lea solo el periódico A.

Problema 2: Se tienen dos eventos, A y B, tales que P(A) = 0.7, P(Bc) = 0.4, y P(A ∪ B) = 0.8. Calcula:

  1. P(B)
  2. P(A y B)
  3. P(Ac y Bc)

Problema 3: Demuestra que, para cualquier evento A, P(A) + P(Ac) = 1. Usa un diagrama de Venn y la definición de probabilidad para justificar tu respuesta.

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