• Curso: 2° medio.
• Unidad: Funciones y función inversa.
• Tiempo: 75 minutos.
• Total de preguntas: 18.
• Puntaje por pregunta: 2 puntos.
• Puntaje total: 36 puntos.
• Porcentaje de aprobación: 60%.
• Puntaje mínimo de aprobación: 22 puntos.

Pregunta 1

Alternativa correcta: B

Justificación: Cada elemento de \(A\) tiene exactamente una imagen, por lo que la relación es una función. Sin embargo, \(2\) y \(3\) tienen la misma imagen, \(5\), por lo que no es inyectiva.

Pregunta 2

Alternativa correcta: D

Justificación: El elemento \(a\) se relaciona con \(1\) y con \(2\). Como un elemento del conjunto de partida tiene dos imágenes distintas, la relación no es una función.

Pregunta 3

Alternativa correcta: A

Justificación: Cada elemento de \(P\) tiene una única imagen y estas imágenes son distintas. Por lo tanto, la relación representa una función inyectiva.

Pregunta 4

Alternativa correcta: C

Justificación: La gráfica de \(f(x)=x^2-2\) representa una función, pero no es inyectiva en \(\mathbb{R}\), ya que valores opuestos de \(x\) producen la misma imagen. Por ejemplo, \(f(1)=f(-1)\).

Pregunta 5

Alternativa correcta: B

Justificación: La función \(f(x)=x^3\) es estrictamente creciente. Por ello, cada valor de \(y\) corresponde a lo más a un valor de \(x\), de modo que la función es inyectiva.

Pregunta 6

Alternativa correcta: A

Justificación: Se reemplaza \(x=5\): \(f(5)=3\cdot 5-4=15-4=11\).

Pregunta 7

Alternativa correcta: D

Justificación: Se reemplaza \(x=7\): \(g(7)=\dfrac{7+2}{3}=\dfrac{9}{3}=3\).

Pregunta 8

Alternativa correcta: C

Justificación: Se resuelve \(2x+7=25\). Entonces \(2x=18\) y \(x=9\).

Pregunta 9

Alternativa correcta: A

Justificación: Se resuelve \(\dfrac{x}{4}-2=5\). Entonces \(\dfrac{x}{4}=7\) y \(x=28\).

Pregunta 10

Alternativa correcta: B

Justificación: De \(y=5x+1\), se obtiene \(y-1=5x\) y \(x=\dfrac{y-1}{5}\). Por lo tanto, \(f^{-1}(x)=\dfrac{x-1}{5}\).

Pregunta 11

Alternativa correcta: D

Justificación: De \(y=\dfrac{x-3}{2}\), se obtiene \(2y=x-3\) y \(x=2y+3\). Por lo tanto, \(g^{-1}(x)=2x+3\).

Pregunta 12

Alternativa correcta: C

Justificación: Como \(f(x)=4x-5\), su inversa es \(f^{-1}(x)=\dfrac{x+5}{4}\). Entonces \(f^{-1}(15)=\dfrac{15+5}{4}=5\).

Pregunta 13

Alternativa correcta: B

Justificación: De \(y=\dfrac{x}{2}+6\), se obtiene \(x=2(y-6)\). Entonces \(q^{-1}(10)=2(10-6)=8\).

Pregunta 14

Alternativa correcta: A

Justificación: De \(y=(x-3)^2+1\), se obtiene \(y-1=(x-3)^2\). Como el dominio es \(x\geq 3\), se considera la raíz positiva: \(x=3+\sqrt{y-1}\). Por lo tanto, \(r^{-1}(x)=3+\sqrt{x-1}\).

Pregunta 15

Alternativa correcta: D

Justificación: Como \(s(x)=(x+2)^2\) y \(x\geq -2\), su inversa es \(s^{-1}(x)=\sqrt{x}-2\). Entonces \(s^{-1}(16)=4-2=2\).

Pregunta 16

Alternativa correcta: C

Justificación: De \(y=2x+2\), se obtiene \(x=\dfrac{y-2}{2}\). Al intercambiar las variables, resulta \(f^{-1}(x)=\dfrac{x-2}{2}\).

Pregunta 17

Alternativa correcta: A

Justificación: La función inversa se obtiene intercambiando las coordenadas de cada par ordenado. Así, \((1,4)\) se transforma en \((4,1)\), y análogamente con los demás pares.

Pregunta 18

Alternativa correcta: B

Justificación: Se resuelve \(3x+8=50\). Entonces \(3x=42\) y \(x=14\).

Resumen de claves correctas

1) B, 2) D, 3) A, 4) C, 5) B, 6) A, 7) D, 8) C, 9) A, 10) B, 11) D, 12) C, 13) B, 14) A, 15) D, 16) C, 17) A, 18) B.