4. Tablas de Doble Entrada y Diagramas de Árbol

Tablas de Doble Entrada y Diagramas de Árbol

Repaso: Probabilidad Condicional

Recordemos: P(A|B) = P(A y B) / P(B). La probabilidad de A dado que B ya ocurrió.

Tablas de Doble Entrada (Tablas de Contingencia)

¿Qué son?

Las tablas de doble entrada (o tablas de contingencia) organizan información sobre *dos* variables categóricas (o eventos) al mismo tiempo. Muestran las frecuencias (o probabilidades) de las diferentes combinaciones de categorías.

Estructura

Una tabla de doble entrada típica tiene:

  • Filas: Representan las categorías de una variable (o los posibles resultados de un evento).
  • Columnas: Representan las categorías de la otra variable (o los posibles resultados de otro evento).
  • Celdas: Contienen la frecuencia (o probabilidad) de la *intersección* de las categorías correspondientes (es decir, la frecuencia/probabilidad de que ocurran *ambas* cosas a la vez).
  • Márgenes: Los totales de filas y columnas (frecuencias o probabilidades *marginales*).

Ejemplo: Encuesta sobre Hábito de Lectura y Género

Se encuesta a 100 personas sobre su género y si leen regularmente:

Lee Regularmente (L)No Lee Regularmente (Lc)Total
Hombre (H)203050
Mujer (M)351550
Total5545100

Cálculo de Probabilidades a partir de una Tabla de Doble Entrada

Usando la tabla anterior, podemos calcular:

  • Probabilidades Conjuntas (intersección) P(A y B):  Se encuentran directamente en las celdas *internas* de la tabla. *Ejemplo:* P(H y L) = 20/100 = 0.2
  • Probabilidades Marginales P(A) o P(B): Se calculan usando los *totales* de filas o columnas. *Ejemplo:* P(H) = 50/100 = 0.5, P(L) = 55/100 = 0.55
  • Probabilidades Condicionales P(A|B): Se usa la fórmula: P(A|B) = P(A y B) / P(B). *Ejemplo:* P(L|H) = P(L y H) / P(H) = (20/100) / (50/100) = 20/50 = 0.4

Diagramas de Árbol

¿Qué son?

Los diagramas de árbol son representaciones gráficas que muestran los posibles resultados de una secuencia de eventos, junto con sus probabilidades. Son especialmente útiles para visualizar probabilidades condicionales.

Estructura

  • Nodo inicial: Representa el punto de partida.
  • Ramas: Cada rama representa un posible resultado de un evento.
  • Probabilidades en las ramas: Cada rama tiene asociada una probabilidad (que puede ser condicional).
  • Nodos finales: Representan los resultados finales de la secuencia de eventos.

Ejemplo: Lanzar una Moneda Dos Veces

(Aquí, idealmente, se insertaría una imagen del diagrama de árbol. En HTML 3.2, lo describiré. En Moodle, puedes insertar una imagen).

Descripción del diagrama de árbol:

  • Nodo inicial: De él salen dos ramas:
    • Rama 1: "Cara (C)" con probabilidad 1/2.
    • Rama 2: "Sello (S)" con probabilidad 1/2.
  • Desde cada uno de estos nodos (C y S), salen dos ramas más:
    • Desde "Cara":
      • Rama: "Cara (CC)" con probabilidad 1/2.
      • Rama: "Sello (CS)" con probabilidad 1/2.
    • Desde "Sello":
      • Rama: "Cara (SC)" con probabilidad 1/2.
      • Rama: "Sello (SS)" con probabilidad 1/2.
  • Nodos finales: CC, CS, SC, SS (todos con probabilidad 1/4).

Cálculo de Probabilidades con Diagramas de Árbol

  • Regla del Producto: Para calcular la probabilidad de una secuencia de eventos (un camino específico en el árbol), se *multiplican* las probabilidades a lo largo de las ramas.
  • Probabilidad Total: Para calcular la probabilidad de un evento que puede ocurrir de varias maneras (varios caminos), se *suman* las probabilidades de los caminos que conducen a ese evento.

Ejemplo (usando el diagrama de árbol de la moneda):

  • P(dos caras) = P(CC) = (1/2) * (1/2) = 1/4
  • P(exactamente una cara) = P(CS) + P(SC) = (1/2)*(1/2) + (1/2)*(1/2) = 1/4 + 1/4 = 1/2

Comparación: Tablas vs. Árboles

  • Tablas de Doble Entrada
    • Mejores para: Mostrar *todas* las combinaciones posibles de dos eventos y sus frecuencias/probabilidades conjuntas. Calcular probabilidades marginales fácilmente.
    • Limitaciones: Se vuelven difíciles de manejar con más de dos eventos.
  • Diagramas de Árbol
    • Mejores para: Visualizar *secuencias* de eventos. Calcular probabilidades de eventos que ocurren en etapas.
    • Limitaciones: Pueden volverse muy grandes y complejos si hay muchos eventos o muchos resultados posibles en cada etapa.

Ejercicios y Problemas

Ejercicio 1: Completa la siguiente tabla de doble entrada sobre la preferencia de color (Rojo o Azul) y el género (Hombre o Mujer) de un grupo de personas:

RojoAzulTotal
Hombre40
Mujer30
Total50100

Ejercicio 2: Usando la tabla completa del Ejercicio 1, calcula:

  1. P(Hombre)
  2. P(Rojo)
  3. P(Hombre y Rojo)
  4. P(Hombre | Rojo)
  5. P(Rojo | Mujer)

Ejercicio 3: Dibuja un diagrama de árbol para representar el experimento de lanzar un dado de seis caras y luego lanzar una moneda. Calcula la probabilidad de obtener un número par en el dado y cara en la moneda.

Problema 1: Una empresa realiza una encuesta sobre la satisfacción de sus clientes con dos productos, A y B. Los resultados se muestran en la siguiente tabla:

Satisfecho (S)No Satisfecho (Sc)Total
Producto A12030150
Producto B18070250
Total300100400
  1. Calcula la probabilidad de que un cliente elegido al azar esté satisfecho.
  2. Calcula la probabilidad de que un cliente haya comprado el Producto A, dado que está satisfecho.
  3. Calcula la probabilidad de que un cliente esté satisfecho, dado que compró el Producto B.
  4. ¿Son los eventos "comprar el Producto A" y "estar satisfecho" independientes? Justifica tu respuesta.

Problema 2: Se tienen dos urnas. La Urna 1 contiene 2 bolas rojas y 3 bolas azules. La Urna 2 contiene 4 bolas rojas y 1 bola azul. Se elige una urna al azar y se extrae una bola.

  1. Dibuja un diagrama de árbol para representar este experimento.
  2. Calcula la probabilidad de que la bola extraída sea roja.
  3. Si la bola extraída es roja, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la Urna 1?

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