5. Toma de Decisiones con Probabilidad Condicional

Toma de Decisiones con Probabilidad Condicional

Repaso: Probabilidad Condicional

Recordemos: P(A|B) = P(A y B) / P(B). La probabilidad de A dado que B ya ocurrió. La información sobre B *modifica* la probabilidad de A.

Aplicaciones en la Toma de Decisiones

La probabilidad condicional es una herramienta *fundamental* para tomar decisiones informadas en situaciones de incertidumbre. Nos permite evaluar riesgos y beneficios, y elegir la opción más favorable (o menos riesgosa) en función de la información disponible.

Ejemplo 1: Pruebas Médicas (Diagnóstico)

Este es un ejemplo clásico y muy importante de aplicación de la probabilidad condicional.

Contexto:

Una prueba médica para detectar una enfermedad tiene una cierta *sensibilidad* (probabilidad de dar positivo si la persona *tiene* la enfermedad) y una cierta *especificidad* (probabilidad de dar negativo si la persona *no tiene* la enfermedad).
La *prevalencia* de la enfermedad en la población (la proporción de personas que la tienen) también es importante.

Ejemplo numérico:

Enfermedad: X
Prueba: T (positivo) o T^c (negativo)
Prevalencia de la enfermedad: P(X) = 0.01 (1% de la población)
Sensibilidad de la prueba: P(T|X) = 0.95 (95% de los enfermos dan positivo)
Especificidad de la prueba: P(T^c|X^c) = 0.90 (90% de los sanos dan negativo)

Pregunta clave: Si una persona da positivo en la prueba (T), ¿cuál es la probabilidad de que *realmente* tenga la enfermedad (P(X|T))?

Solución (usando el Teorema de Bayes, que se basa en la probabilidad condicional - no es necesario mencionar el nombre en este nivel, pero sí la lógica):

Calculamos las probabilidades conjuntas:
- P(X y T) = P(T|X) * P(X) = 0.95 * 0.01 = 0.0095 (Probabilidad de tener la enfermedad Y dar positivo)
- P(X^c) = 1 - P(X) = 1- 0.01 = 0.99
  P(T| X^c) = 1- P(T^c|X^c) = 1-0.9 = 0.1
- P(X^c y T) = P(T|X^c) * P(X^c) = 0.1 * 0.99 = 0.099 (Probabilidad de NO tener la enfermedad Y dar positivo).
  *Nota: a este resultado se le conoce como falso positivo*
Calculamos la probabilidad total de dar positivo (P(T)):
P(T) = P(X y T) + P(X^c y T) = 0.0095 + 0.099 = 0.1085
Aplicamos la fórmula de probabilidad condicional: \[ P(X|T) = \frac{P(X \text{ y } T)}{P(T)} = \frac{0.0095}{0.1085} \approx 0.0876 \]

Resultado: P(X|T) ≈ 0.0876 (aproximadamente 8.76%).

Interpretación (fundamental): Aunque la prueba tiene una alta sensibilidad (95%) y especificidad (90%), la probabilidad de *realmente* tener la enfermedad, *dado que* se obtiene un resultado positivo, es *solo del 8.76%*! Esto se debe a que la enfermedad es *poco frecuente* en la población (baja prevalencia). Este resultado puede parecer sorprendente, pero es crucial para entender el significado de las pruebas diagnósticas.

Este ejemplo ilustra un punto clave: Un resultado positivo en una prueba *no* significa automáticamente que la persona tiene la enfermedad. La probabilidad condicional (P(enfermedad | positivo)) depende de la sensibilidad, la especificidad y, *muy importantemente*, de la prevalencia.

Ejemplo 2: Seguros

Las compañías de seguros usan la probabilidad condicional para evaluar el riesgo y establecer las primas (lo que cobran por el seguro).

Ejemplo:

A = "Tener un accidente automovilístico en un año"
B = "Ser un conductor joven (menor de 25 años)"

Las aseguradoras saben que P(A|B) > P(A) (la probabilidad de tener un accidente es *mayor* si eres joven). Por lo tanto, las primas de seguro para conductores jóvenes suelen ser más altas.

Ejemplo 3: Marketing y Publicidad

Las empresas usan la probabilidad condicional para segmentar a sus clientes y dirigir sus campañas de marketing de forma más efectiva.

Ejemplo:

A = "Comprar un producto"
B = "Haber hecho clic en un anuncio online"

Si P(A|B) es alta, significa que el anuncio es efectivo para generar compras. La empresa puede decidir invertir más en ese tipo de anuncio.

Introducción al Valor Esperado (Concepto Intuitivo)

El *valor esperado* es una especie de "promedio ponderado" de los posibles resultados de un evento incierto, donde cada resultado se pondera por su probabilidad.

Ejemplo (muy simple):

Juego: Lanzas un dado. Si sale 6, ganas $10. Si sale cualquier otro número, pierdes $1.
Probabilidades: P(6) = 1/6, P(no 6) = 5/6
Valor Esperado = (Ganancia si sale 6) * P(6) + (Pérdida si no sale 6) * P(no 6)
Valor Esperado = ($10) * (1/6) + (-$1) * (5/6) = $10/6 - $5/6 = $5/6 ≈ $0.83

Interpretación: Si jugaras este juego *muchas veces*, esperarías ganar, *en promedio*, alrededor de $0.83 por cada juego.

Nota: El valor esperado no es necesariamente un resultado *posible* del juego (no puedes ganar exactamente $0.83 en un solo lanzamiento). Es un promedio a *largo plazo*.

El valor esperado se puede usar junto a la probabilidad condicional.

Ejercicios y Problemas

Ejercicio 1: Retomando el ejemplo de la prueba médica, supón que la prevalencia de la enfermedad es del 10% (P(X) = 0.1). La sensibilidad y especificidad de la prueba se mantienen igual (P(T|X) = 0.95, P(T^c|X^c) = 0.90). Calcula P(X|T) (la probabilidad de tener la enfermedad dado un resultado positivo) y compara el resultado con el del ejemplo original. ¿Qué conclusión puedes sacar?

Problema 1: Una compañía de seguros clasifica a sus clientes en dos grupos: de alto riesgo y de bajo riesgo. El 30% de los clientes son de alto riesgo. La probabilidad de que un cliente de alto riesgo tenga un accidente en un año es de 0.1, mientras que la probabilidad de que un cliente de bajo riesgo tenga un accidente es de 0.02.

Si un cliente *no* tuvo un accidente el año pasado, ¿cuál es la probabilidad de que sea de alto riesgo?
Si un cliente *sí* tuvo un accidente el año pasado, ¿cuál es la probabilidad de que sea de bajo riesgo?

Problema 2: (Adaptación del problema de Monty Hall - un problema clásico de probabilidad condicional). Estás en un concurso. Hay tres puertas: detrás de una hay un coche, y detrás de las otras dos hay cabras. Eliges una puerta (digamos, la Puerta 1). El presentador, *que sabe dónde está el coche*, abre una de las otras dos puertas y muestra una cabra (digamos, abre la Puerta 3). Ahora, el presentador te da la opción de *cambiar* tu elección a la puerta restante (la Puerta 2) o mantener tu elección original (Puerta 1). ¿Qué deberías hacer? ¿Cambiar de puerta aumenta tu probabilidad de ganar el coche? Justifica tu respuesta usando probabilidad condicional.

Este es un problema famoso y *contra-intuitivo*. La respuesta correcta es que *sí* debes cambiar de puerta. Cambiar *duplica* tu probabilidad de ganar.

Explicación:

Inicialmente, tenías 1/3 de probabilidad de elegir la puerta correcta (con el coche) y 2/3 de probabilidad de elegir una puerta incorrecta (con una cabra).
Cuando el presentador abre una puerta con una cabra, *no está cambiando* las probabilidades iniciales. Lo que hace es *concentrar* la probabilidad de las dos puertas que *no* elegiste inicialmente en la *única* puerta restante que no abriste.
Piensa en ello de esta manera:
- Si elegiste inicialmente la puerta correcta (1/3 de probabilidad), cambiar te hará perder.
- Si elegiste inicialmente una puerta incorrecta (2/3 de probabilidad), cambiar te hará *ganar*.

Formalización con probabilidad condicional:

C_i = "El coche está detrás de la puerta i" (i = 1, 2, 3)
E = "Eliges la puerta 1" (sin pérdida de generalidad)
A = "El presentador abre la puerta 3 y muestra una cabra"

Queremos calcular P(C₁|A) y P(C₂|A).

P(C₁) = P(C₂) = P(C₃) = 1/3 (inicialmente, todas las puertas tienen la misma probabilidad).
P(A|C₁) = 1/2 (si el coche está detrás de la puerta 1, el presentador puede abrir la 2 o la 3).
P(A|C₂) = 1 (si el coche está detrás de la puerta 2, el presentador *debe* abrir la 3).
P(A|C₃) = 0 (si el coche está detrás de la puerta 3, el presentador no puede abrirla).

Usando el teorema de Bayes (o, en este nivel, la lógica de la probabilidad condicional):

P(A) = P(A y C₁) + P(A y C₂) + P(A y C₃) = P(A|C₁)P(C₁) + P(A|C₂)P(C₂) + P(A|C₃)P(C₃)

P(A) = (1/2)(1/3) + (1)(1/3) + (0)(1/3) = 1/6 + 1/3 = 1/2

P(C₁|A) = P(A y C₁) / P(A) = P(A|C₁) * P(C₁) /P(A) = [(1/2) * (1/3)] / (1/2) = 1/3
P(C₂|A) = P(A y C₂) / P(A) = P(A|C₂) * P(C₂) /P(A) = [(1) * (1/3)] / (1/2) = 2/3

Por lo tanto, la probabilidad de ganar si *cambias* de puerta es 2/3, mientras que la probabilidad de ganar si *mantienes* tu elección original es 1/3.

Media 3

¿Que tan probable es si....?