5. Nivel 3: Potencias en Ambos Lados

En este nivel la ecuación tiene términos exponenciales en ambos lados. El truco es reescribir cada base para que sea la misma (por ejemplo, potencias de 2 o 3), y luego igualar exponentes. No se necesitan logaritmos.

⚠️¿Por qué funciona este método?

La razón por la que podemos igualar los exponentes es que la función exponencial (\(y=a^x\)) es "uno a uno". Esto significa que para una base 'a' dada, cada valor de 'x' produce un resultado único. Por lo tanto, si tenemos la igualdad \(a^P = a^Q\), la única forma de que sea cierta es que los exponentes también sean iguales: \(P = Q\).

📐 Procedimiento
  1. Expresa cada base como una potencia de un mismo número (base común).
  2. Usa las propiedades de las potencias para simplificar ambos lados de la ecuación.
  3. Una vez que las bases son iguales, iguala los exponentes.
  4. Despeja \(x\) en la ecuación lineal resultante.
⚠️ ¡Ojo! Algunas ecuaciones no tienen solución

Si al resolver la ecuación de los exponentes llegas a una contradicción (por ejemplo, \(2 = -1\)), no te asustes. No es un error. Significa que la ecuación original no tiene solución en los números reales, y esa es la respuesta correcta.

Ejemplos resueltos paso a paso

🧪 Ejemplo A: \(2^{x} = 8^{x-2}\)
Paso 1: Igualar bases. Sabemos que \(8 = 2^{3}\).
\(2^{x} = (2^{3})^{x-2}\)
\(2^{x} = 2^{3(x-2)}\)

Paso 2: Igualar exponentes y despejar.
\(x = 3(x-2)\)
\(x = 3x - 6\)
\(6 = 2x \;\Rightarrow\; x = 3\)
🧪 Ejemplo B: \(3^{2x+1} = 27^{x}\)
Paso 1: Igualar bases. Sabemos que \(27 = 3^{3}\).
\(3^{2x+1} = (3^{3})^{x}\)
\(3^{2x+1} = 3^{3x}\)

Paso 2: Igualar exponentes y despejar.
\(2x+1 = 3x\)
\(1 = 3x - 2x \;\Rightarrow\; x = 1\)
🧪 Ejemplo C (Sin Solución): \(4^{x+1} = 2^{2x-1}\)
Paso 1: Igualar bases. Sabemos que \(4 = 2^{2}\).
\((2^{2})^{x+1} = 2^{2x-1}\)
\(2^{2(x+1)} = 2^{2x-1}\)

Paso 2: Igualar exponentes y despejar.
\(2(x+1) = 2x-1\)
\(2x+2 = 2x-1\)
\(2 = -1\) (¡Esto es una contradicción!)

Conclusión: La ecuación no tiene solución real.

Ejercicios propuestos (21 – 30)

Pulsa el botón a la derecha de cada enunciado para mostrar u ocultar la solución.

21. \(2^{x} = 4^{x-1}\)
22. \(3^{x+1} = 9^{x-2}\)
23. \(5^{x+2} = 25^{x}\)
24. \(2^{x+1} = 8^{x-1}\)
25. \(7^{x+3} = 49^{x}\)
26. \(6^{x-2} = 36^{x-3}\)
27. \(4^{x+2} = 16^{x}\)
28. \(9^{x-1} = 3^{2x-4}\)
29. \(2^{3x} = 8^{2x-2}\)
30. \(5^{x} = 125^{x-1}\)