Ecuaciones Logaritmicas
Requisitos de finalización
\(2^x = 32 \;\Rightarrow\; 2^x = 2^5 \;\Rightarrow\; x=5\)
2. Nivel 2: Aplicación de Propiedades
Ecuaciones Logarítmicas – Nivel 2: Aplicación de Propiedades
En este nivel, las ecuaciones contienen más de un término logarítmico. Para resolverlas, primero debemos usar las propiedades de los logaritmos para combinar estos términos en un solo logaritmo.
💡 El Kit de Herramientas: Las Propiedades
El objetivo es usar estas reglas para simplificar la ecuación. Generalmente, querrás combinar varios logaritmos en uno solo.
- Suma a Producto: \(\log_b(A) + \log_b(B) = \log_b(A \cdot B)\)
- Resta a Cociente: \(\log_b(A) - \log_b(B) = \log_b\left(\frac{A}{B}\right)\)
- Coeficiente a Potencia: \(n \cdot \log_b(A) = \log_b(A^n)\)
📐 Procedimiento
- Usa las propiedades para combinar todos los términos logarítmicos en uno solo a cada lado de la ecuación.
- Resuelve la ecuación simplificada, ya sea usando la definición (Nivel 1) o igualando argumentos (ver abajo).
- Verifica TODAS tus soluciones: Asegúrate de que los argumentos de todos los logaritmos en la ecuación original sean positivos. Descarta cualquier solución que no cumpla esta condición.
⚠️ ¡Verificar no es opcional!
Al usar propiedades como \(\log(A) + \log(B) = \log(A \cdot B)\), a veces se introducen "soluciones extrañas". Una solución puede ser válida para la ecuación simplificada, pero inválida para la original (porque hace que el argumento de un logaritmo sea negativo). Por eso, siempre debes comprobar tus resultados en la ecuación inicial.
Ejemplos resueltos paso a paso
1. Combinar logaritmos:
\(\log_2(x(x-2)) = 3 \;\Rightarrow\; \log_2(x^2 - 2x) = 3\)
2. Aplicar definición y resolver:
\(x^2 - 2x = 2^3 \;\Rightarrow\; x^2 - 2x - 8 = 0\)
Factorizando: \((x-4)(x+2) = 0\). Soluciones posibles: \(x=4\) y \(x=-2\).
3. Verificar:
• Para \(x=4\): \(\log_2(4)\) y \(\log_2(4-2)=\log_2(2)\). Ambos argumentos son positivos. ✔️
• Para \(x=-2\): \(\log_2(-2)\). El argumento es negativo. ❌
La única solución correcta es \(x=4\).
\(\log_2(x(x-2)) = 3 \;\Rightarrow\; \log_2(x^2 - 2x) = 3\)
2. Aplicar definición y resolver:
\(x^2 - 2x = 2^3 \;\Rightarrow\; x^2 - 2x - 8 = 0\)
Factorizando: \((x-4)(x+2) = 0\). Soluciones posibles: \(x=4\) y \(x=-2\).
3. Verificar:
• Para \(x=4\): \(\log_2(4)\) y \(\log_2(4-2)=\log_2(2)\). Ambos argumentos son positivos. ✔️
• Para \(x=-2\): \(\log_2(-2)\). El argumento es negativo. ❌
La única solución correcta es \(x=4\).
🤓 Propiedad de Igualación: Si tienes un solo logaritmo de la misma base a cada lado, \(\log_b(A) = \log_b(B)\), puedes simplificar la ecuación igualando los argumentos: \(A=B\).
1. Combinar logaritmos:
\(\log\left(\frac{x+6}{x}\right) = \log(5)\)
2. Igualar argumentos y resolver:
\(\frac{x+6}{x} = 5 \;\Rightarrow\; x+6 = 5x \;\Rightarrow\; 6 = 4x \;\Rightarrow\; x = 1.5\)
3. Verificar:
• Para \(x=1.5\): \(\log(1.5+6)\) y \(\log(1.5)\). Ambos argumentos son positivos. ✔️
La solución es \(x=1.5\).
\(\log\left(\frac{x+6}{x}\right) = \log(5)\)
2. Igualar argumentos y resolver:
\(\frac{x+6}{x} = 5 \;\Rightarrow\; x+6 = 5x \;\Rightarrow\; 6 = 4x \;\Rightarrow\; x = 1.5\)
3. Verificar:
• Para \(x=1.5\): \(\log(1.5+6)\) y \(\log(1.5)\). Ambos argumentos son positivos. ✔️
La solución es \(x=1.5\).
Ejercicios propuestos
Pulsa el botón al lado del enunciado para mostrar u ocultar la solución.
11. \(\log(x) + \log(3) = \log(6)\)
\(\log(3x) = \log(6) \;\Rightarrow\; 3x=6 \;\Rightarrow\; x=2\). Válido.
12. \(\ln(x+1) - \ln(x) = \ln(2)\)
\(\ln(\frac{x+1}{x}) = \ln(2) \;\Rightarrow\; \frac{x+1}{x}=2 \;\Rightarrow\; x=1\). Válido.
13. \(2\log(x) = \log(25)\)
\(\log(x^2) = \log(25) \;\Rightarrow\; x^2=25 \;\Rightarrow\; x=5\). (Se descarta x=-5).
14. \(\log_4(x) + \log_4(x-6) = 2\)
\(\log_4(x(x-6)) = 2 \;\Rightarrow\; x^2-6x = 4^2 = 16 \;\Rightarrow\; x^2-6x-16=0\).
\((x-8)(x+2)=0\). Solución \(x=8\). (Se descarta x=-2).
\((x-8)(x+2)=0\). Solución \(x=8\). (Se descarta x=-2).
15. \(\log_6(2x-3) = \log_6(12) - \log_6(3)\)
\(\log_6(2x-3) = \log_6(12/3) = \log_6(4) \;\Rightarrow\; 2x-3=4 \;\Rightarrow\; x=3.5\). Válido.
16. \(3\ln(x) = \ln(8)\)
\(\ln(x^3) = \ln(8) \;\Rightarrow\; x^3=8 \;\Rightarrow\; x=2\). Válido.
17. \(\log(x+21) + \log(x) = 2\)
Recuerda \(\log\) es base 10.
\(\log(x(x+21)) = 2 \;\Rightarrow\; x^2+21x = 10^2 = 100 \;\Rightarrow\; x^2+21x-100=0\).
\((x+25)(x-4)=0\). Solución \(x=4\). (Se descarta x=-25).
\(\log(x(x+21)) = 2 \;\Rightarrow\; x^2+21x = 10^2 = 100 \;\Rightarrow\; x^2+21x-100=0\).
\((x+25)(x-4)=0\). Solución \(x=4\). (Se descarta x=-25).
18. \(\log_2(x^2) - \log_2(x-2) = 3\)
\(\log_2(\frac{x^2}{x-2}) = 3 \;\Rightarrow\; \frac{x^2}{x-2}=2^3=8 \;\Rightarrow\; x^2=8x-16 \;\Rightarrow\; x^2-8x+16=0\).
\((x-4)^2=0\). Solución \(x=4\). Válido.
\((x-4)^2=0\). Solución \(x=4\). Válido.
19. \(\log_5(x+1) + \log_5(x-3) = 1\)
\(\log_5((x+1)(x-3)) = 1 \;\Rightarrow\; x^2-2x-3 = 5^1=5 \;\Rightarrow\; x^2-2x-8=0\).
\((x-4)(x+2)=0\). Solución \(x=4\). (Se descarta x=-2).
\((x-4)(x+2)=0\). Solución \(x=4\). (Se descarta x=-2).
20. \(\frac{\log(x^3)}{\log(x)} = 3\)
Usando la propiedad de la potencia: \(\frac{3\log(x)}{\log(x)} = 3\).
Esto se cumple siempre que los logaritmos estén definidos, es decir, para todo \(x > 0\) y \(x \neq 1\) (para no dividir por cero). ¡Infinitas soluciones!
Esto se cumple siempre que los logaritmos estén definidos, es decir, para todo \(x > 0\) y \(x \neq 1\) (para no dividir por cero). ¡Infinitas soluciones!