3. Nivel 3: Logaritmos en Ambos Lados

Ecuaciones Logarítmicas – Nivel 3: Propiedad de Igualdad

En este nivel nos encontramos con ecuaciones que, tras simplificarlas, toman la forma \(\log_b(P) = \log_b(Q)\). Son las más directas de resolver una vez que se, alcanza esa estructura.

💡 La Propiedad de Igualdad de Logaritmos

Si dos logaritmos con la misma base son iguales, entonces sus argumentos tienen que ser necesariamente iguales.

Si \(\log_b(P) = \log_b(Q)\), entonces \(P = Q\).

Esto nos permite "eliminar" los logaritmos y resolver una ecuación mucho más sencilla.

📐 Procedimiento
  1. Usa las propiedades del Nivel 2 si es necesario para obtener un solo logaritmo a cada lado de la ecuación.
  2. Una vez que tengas la forma \(\log_b(P) = \log_b(Q)\), iguala los argumentos: \(P = Q\).
  3. Resuelve la ecuación resultante para \(x\).
  4. Verifica tus soluciones: Acostúmbrate a comprobar siempre la respuesta en la ecuación original.
⚠️ Un Buen Hábito se Practica Siempre

Aunque los ejercicios de este nivel están diseñados para que todas las soluciones que encuentres sean válidas, es fundamental que te acostumbres a verificar tus respuestas desde ya. Tomar el hábito ahora hará que en los niveles más avanzados, donde sí aparecen soluciones extrañas, este paso te resulte natural y te salve de cometer errores.

Ejemplos resueltos paso a paso

🧪 Ejemplo A (Simple): \(\ln(3x-1) = \ln(x+5)\)
1. Igualar argumentos:
\(3x-1 = x+5\)

2. Resolver la ecuación:
\(2x = 6 \;\Rightarrow\; x = 3\)

3. Verificar en la original (buena práctica):
• Argumento 1: \(3(3)-1 = 8\) (Positivo ✔️)
• Argumento 2: \(3+5 = 8\) (Positivo ✔️)
La solución \(x=3\) es válida.
🧪 Ejemplo B (Con Propiedades): \(\log(x) + \log(3) = \log(x+4)\)
1. Combinar logaritmos:
\(\log(3x) = \log(x+4)\)

2. Igualar argumentos y resolver:
\(3x = x+4 \;\Rightarrow\; 2x = 4 \;\Rightarrow\; x = 2\)

3. Verificar en la original (buena práctica):
Los argumentos en la ecuación original son \(x\), \(3\), y \(x+4\).
• Para \(x=2\): Los argumentos son 2, 3, y 6. Todos positivos. ✔️
La solución \(x=2\) es válida.

Ejercicios propuestos

Pulsa el botón al lado del enunciado para mostrar u ocultar la solución.

21. \(\log_5(2x+3) = \log_5(11)\)
22. \(\log(4x) = \log(x+9)\)
23. \(\ln(x^2+3) = \ln(4x)\)
24. \(\log(x+5) + \log(2) = \log(3x+1)\)
25. \(2\log(x) = \log(4x-4)\)
26. \(\log_7(6x-2) = \log_7(2x+6)\)
27. \(\log_2(x+1) - \log_2(x) = \log_2(3/2)\)
28. \(\ln(x) + \ln(2) = \ln(x+1)\)
29. \(\log_8(x^2+6) = \log_8(5x)\)
30. \(\log(4x) - \log(2) = \log(x+1)\)
31. \(\log_3(5x-1) = \log_3(3x+5)\)
32. \(\ln(x+1) = \ln(2x)\)
33. \(\log(x^2+8) = \log(6x)\)
34. \(\log_2(x)+\log_2(4) = \log_2(3x+2)\)
35. \(\log_5(x^2) = \log_5(6x-5)\)
36. \(2\ln(x+1) = \ln(x^2+3)\)
37. \(\log(4x-3) - \log(x) = \log(3)\)
38. \(\log_9(4x) = \log_9(x+6)\)
39. \(\log(x+1)+\log(3) = \log(2x+5)\)
40. \(\log_4(x^2+1) = \log_4(x+1)\)