4. Nivel 4: Verificación y Soluciones Extrañas

Ecuaciones Logarítmicas – Nivel 4: Verificación y Soluciones Extrañas

Has llegado al último nivel y al paso más crucial en la resolución de ecuaciones logarítmicas: la verificación. A veces, al resolver una ecuación, obtenemos soluciones que son algebraicamente correctas, pero que no son válidas en el contexto de la ecuación original. A estas se les llama soluciones extrañas.

💡 La Regla de Oro: El Dominio del Logaritmo

La regla fundamental que causa la aparición de soluciones extrañas es esta: el argumento de un logaritmo SIEMPRE debe ser positivo.

En \(\log_b(P)\), se debe cumplir que \(P > 0\).

Por esta razón, la verificación de las soluciones no es opcional, ¡es una parte obligatoria del proceso!

📐 Procedimiento Final
  1. Resuelve la ecuación logarítmica usando las técnicas de los niveles anteriores hasta encontrar las posibles soluciones para \(x\).
  2. Sustituye cada solución encontrada en la ecuación original.
  3. Comprueba que los argumentos de todos los logaritmos sean números positivos.
  4. Descarta cualquier solución que haga que un argumento sea cero o negativo. ¡Esa es una solución extraña!

Ejemplos resueltos paso a paso

🧪 Ejemplo A (Una solución válida y una extraña): \(\log(x-3) + \log(x) = \log(4)\)
1. Resolver:
\(\log(x(x-3)) = \log(4) \;\Rightarrow\; x^2 - 3x = 4 \;\Rightarrow\; x^2 - 3x - 4 = 0\)
Factorizando: \((x-4)(x+1) = 0\). Soluciones posibles: \(x=4\) y \(x=-1\).

2. Verificar:
• Para \(x=4\): Argumentos originales \((4-3)=1\) y \(4\). Ambos positivos. ✔️
• Para \(x=-1\): Argumento original \((-1-3)=-4\). Negativo. ❌

La única solución final es \(x=4\).
🧪 Ejemplo B (Dos soluciones válidas): \(\log(x^2+8) = \log(6x)\)
1. Resolver:
\(x^2+8 = 6x \;\Rightarrow\; x^2-6x+8=0\)
Factorizando: \((x-2)(x-4) = 0\). Soluciones posibles: \(x=2\) y \(x=4\).

2. Verificar:
• Para \(x=2\): Argumentos originales \((2^2+8)=12\) y \(6(2)=12\). Ambos positivos. ✔️
• Para \(x=4\): Argumentos originales \((4^2+8)=24\) y \(6(4)=24\). Ambos positivos. ✔️

Ambas soluciones, \(x=2\) y \(x=4\), son válidas.
🧪 Ejemplo C (Sin solución): \(\log(x) = \log(-x-2)\)
1. Resolver:
\(x = -x-2 \;\Rightarrow\; 2x = -2 \;\Rightarrow\; x=-1\)
La única solución posible es \(x=-1\).

2. Verificar:
• Para \(x=-1\): Argumento original \(\log(-1)\). No está definido. ❌

Como la única solución algebraica es extraña, la ecuación no tiene solución.

🌍 Verificación en el Mundo Real

Este proceso de descartar soluciones es similar al "chequeo de la realidad" en la ciencia y la ingeniería. Un cálculo puede darte dos respuestas, una positiva y una negativa, pero si estás calculando una distancia o un tiempo, ¡la respuesta negativa no tiene sentido físico! En matemáticas, el dominio de una función es nuestro "sentido físico".

Ejercicios propuestos

Pulsa el botón al lado del enunciado para mostrar u ocultar la solución.

41. \(\log_2(x) + \log_2(x-4) = 5\)
42. \(\ln(x-1) + \ln(x+2) = \ln(4)\)
43. \(\log_3(x+5) - \log_3(x-1) = 1\)
44. \(2\log(x) = \log(2x+8)\)
45. \(\log_6(x+4) + \log_6(x-1) = 2\)
46. \(\log_4(x) = 1 - \log_4(x-3)\)
47. \(\ln(x) + \ln(x-2) = \ln(3)\)
48. \(\log_2(x+1) + \log_2(x-1) = 3\)
49. \(\log_5(3x+1) = 1 + \log_5(x-1)\)
50. \(\log(2) - \log(x+1) = \log(x)\)