5. Aplicaciones de Ecuaciones Logarítmicas

Aplicaciones y Modelado: Ecuaciones y Escalas Logarítmicas

Mientras que las funciones exponenciales modelan cosas que crecen muy rápido, los logaritmos nos ayudan a "comprimir" rangos de valores gigantescos en una escala manejable. Esto es increíblemente útil para medir fenómenos como terremotos, sonidos o niveles de acidez.

💡 ¿Qué es una Escala Logarítmica?

Una escala logarítmica no mide el valor de algo, sino su orden de magnitud (es decir, a qué potencia de 10 se parece más). Por eso, un pequeño cambio en la escala (de 6 a 7, por ejemplo) representa un cambio enorme (10 veces más) en la cantidad real.

🌍 Aplicación 1: La Escala de Richter (Sismología)

La magnitud de un terremoto no crece de forma lineal. Un terremoto de magnitud 7 no es un poco más fuerte que uno de 6; ¡es 10 veces más intenso en términos de amplitud de onda!

La Fórmula Clave:

\(M = \log\left(\frac{I}{S}\right)\)

Donde:
• \(M\): Magnitud en la escala de Richter.
• \(I\): Intensidad de la onda sísmica medida.
• \(S\): Intensidad de un sismo estándar de referencia.

Ejemplo: ¿Cuántas veces fue más intenso el terremoto de Valdivia (M=9.5) que el de Los Ángeles (M=6.7)?
1. Despejar Intensidad (I):
Para Valdivia: \(I_V = S \cdot 10^{9.5}\)
Para Los Ángeles: \(I_{LA} = S \cdot 10^{6.7}\)

2. Calcular la razón:
\(\frac{I_V}{I_{LA}} = \frac{S \cdot 10^{9.5}}{S \cdot 10^{6.7}} = 10^{2.8} \approx 631\)

El terremoto de Valdivia fue aproximadamente 631 veces más intenso.

🧪 Aplicación 2: La Escala de pH (Química)

La escala de pH mide qué tan ácida o alcalina es una disolución. Un pequeño cambio en el pH significa un gran cambio en la concentración de iones de hidrógeno.

La Fórmula Clave:

\(pH = -\log[H^+]\)

Donde:
• \(pH\): El valor del pH (0-14).
• \([H^+]\): La concentración de iones de hidrógeno (moles/litro).

Ejemplo: El café (pH=5) es más ácido que el amoníaco (pH=11). ¿Cuántas veces mayor es su concentración de H⁺?
1. Despejar [H⁺]:
Café: \([H^+_C] = 10^{-5}\)
Amoníaco: \([H^+_A] = 10^{-11}\)

2. Calcular la razón:
\(\frac{[H^+_C]}{[H^+_A]} = \frac{10^{-5}}{10^{-11}} = 10^6\)

El café tiene una concentración de H⁺ 1.000.000 de veces mayor.

🔊 Aplicación 3: La Escala de Decibelios (Sonido)

La intensidad del sonido también se mide en una escala logarítmica. Un aumento de 10 decibelios (dB) representa un sonido 10 veces más intenso.

La Fórmula Clave:

\(dB = 10 \cdot \log\left(\frac{I}{I_0}\right)\)

Donde:
• \(dB\): Nivel de sonido en decibelios.
• \(I\): Intensidad del sonido.
• \(I_0\): Intensidad del sonido más bajo que un humano puede oír.

Ejemplo: El motor de un avión (140 dB) es más ruidoso que una conversación normal (60 dB). ¿Cuántas veces es más intenso?
La diferencia es de \(140 - 60 = 80\) dB.
\(80 = 10 \cdot \log(\text{Razón}) \;\Rightarrow\; 8 = \log(\text{Razón})\)
\(\text{Razón} = 10^8\)

El motor del avión es 100.000.000 de veces más intenso.

Ejercicios propuestos

Pulsa el botón al lado del enunciado para mostrar u ocultar la solución.

1. Un sismo tiene una intensidad 500 veces mayor que la del sismo estándar (I = 500S). ¿Cuál es su magnitud?
2. ¿Cuántas veces más intenso es un terremoto de magnitud 7.5 que uno de 5.5?
3. La sangre humana tiene un pH de 7.4. ¿Cuál es la concentración de iones \([H^+]\)?
4. El jugo de naranja tiene una concentración de H⁺ de \(10^{-3.5}\) M. ¿Cuál es su pH?
5. Una biblioteca tiene 40 dB y una calle con tráfico 80 dB. ¿Cuántas veces es más intenso el sonido de la calle?
6. Si un sismo es 25.000 veces más intenso que el de referencia, ¿cuál es su magnitud?
7. Una sustancia A tiene un pH de 3 y una B tiene un pH de 6. ¿Cuántas veces es más ácida la sustancia A?
8. El umbral del dolor por sonido es de 130 dB. Si \(I_0 = 10^{-12} W/m^2\), ¿cuál es la intensidad del sonido?
9. El terremoto de San Francisco de 1906 (M=7.9) vs. el de Napa de 2014 (M=6.0). ¿Cuántas veces más intenso fue el de 1906?
10. Si la lluvia ácida tiene un pH de 4.5, ¿cuál es su concentración de \([H^+]\)?