La Función Exponencial
3. Modelado con Funciones Exponenciales (Parte 1)
Modelado con Funciones Exponenciales (Parte 1)
¿Qué es Modelar?
Modelar matemáticamente una situación significa encontrar una función (en este caso, una función exponencial) que *represente* el comportamiento de esa situación. El modelo nos permite entenderla mejor, hacer predicciones y tomar decisiones.
📐 Pasos para Modelar con Funciones Exponenciales
- Leer y comprender el problema.
- Identificar las variables:
- Variable independiente (x): Generalmente el tiempo.
- Variable dependiente (f(x) o y): La cantidad que crece o decrece.
- Identificar los parámetros en la fórmula \( f(x) = a \cdot b^x \).
- Escribir la ecuación de la función exponencial.
- Usar el modelo para hacer predicciones (evaluar la función).
- Interpretar los resultados en el contexto del problema.
💡 Idea Clave: El Valor Inicial (a) y la Base (b)
El modelo matemático \( f(x) = a \cdot b^x \) depende de dos pilares:
- 'a' (Valor Inicial): Es el punto de partida. Siempre corresponde al valor de la cantidad cuando el tiempo (x) es cero.
- 'b' (Base o Factor de Cambio): Nos dice cómo cambia la cantidad en cada período.
- Si la cantidad crece un r%, la base es \( b = 1 + \frac{r}{100} \). Por ejemplo, un crecimiento del 5% significa que \( b = 1.05 \).
- Si la cantidad decrece un r%, la base es \( b = 1 - \frac{r}{100} \). Por ejemplo, una depreciación del 15% significa que \( b = 1 - 0.15 = 0.85 \).
Ejemplo Resuelto Paso a Paso
🌍 Ejemplo: Crecimiento de Bacterias
Problema: Una población de bacterias se duplica cada 3 horas. Inicialmente, hay 500 bacterias.
1. Variables:
- x: Tiempo (en horas)
- f(x): Número de bacterias
2. Parámetros:
- a = 500 (valor inicial)
- b = 2 (se duplica)
- El tiempo esta en horas, y como el factor de crecimiento es por cada 3 horas, el exponente será \( \frac{x}{3} \)
3. Ecuación: \( f(x) = 500 \cdot 2^{\frac{x}{3}} \)
4. Predicción: ¿Cuántas bacterias habrá después de 12 horas?
\( f(12) = 500 \cdot 2^{\frac{12}{3}} = 500 \cdot 2^4 = 500 \cdot 16 = 8000 \)
5. Interpretación: Después de 12 horas, habrá 8000 bacterias.
⚠️ ¡Cuidado con el exponente!
Un error común es no ajustar el exponente al período de tiempo dado. Si el crecimiento o decrecimiento ocurre cada "k" unidades de tiempo, el exponente siempre será \( \frac{x}{k} \). En el ejemplo de las bacterias, como se duplican cada 3 horas, el exponente es \( \frac{x}{3} \).
Ejercicios
Ejercicio 1: Una inversión de $2000 crece a una tasa de interés compuesto del 4% anual. Encuentra la función exponencial que modela el valor de la inversión.
Función: \( f(x) = 2000 \cdot (1.04)^x \), donde x es el tiempo en años.
Ejercicio 2: Un auto nuevo que vale $25000 se deprecia a una tasa del 15% anual. Encuentra la función que modela el valor del auto después de *x* años.
Función: \( f(x) = 25000 \cdot (0.85)^x \)
Explicación: Si se deprecia el 15%, retiene el 85% de su valor (100% - 15% = 85% = 0.85).
Ejercicio 3: Una población de aves tiene 500 individuos inicialmente y crece un 8% cada año. Encuentra la función que modela la población después de *x* años.
Función: \( f(x) = 500 \cdot (1.08)^x \)
Ejercicio 4: Una sustancia radiactiva se reduce a la mitad cada 100 años. Si inicialmente hay 80 gramos, encuentra la función que modela la cantidad restante después de *x* años.
Función: \( f(x) = 80 \cdot (0.5)^{x/100} \). Nota el exponente: x/100 representa el número de períodos de 100 años.
Ejercicio 5: Una población de conejos se duplica cada mes. Inicialmente hay 20 conejos. ¿Cuántos conejos habrá después de 6 meses?
Función: \( f(x) = 20 \cdot 2^x \). Después de 6 meses: \( f(6) = 20 \cdot 2^6 = 20 \cdot 64 = 1280 \) conejos.
Ejercicio 6: Un medicamento se elimina del cuerpo a una tasa del 25% por hora. Si la dosis inicial es de 500 mg, ¿cuántos mg quedarán después de 4 horas?
Función: \( f(x) = 500 \cdot (0.75)^x \) (Si se elimina el 25%, queda el 75% = 0.75). Después de 4 horas: \( f(4) = 500 \cdot (0.75)^4 \approx 158.20 \) mg.
Ejercicio 7: El valor de una máquina se deprecia exponencialmente. Su valor inicial es de $12,000 y después de 3 años es de $9,000. ¿Cuál es la base (b) de la función exponencial que modela esta situación?
Planteamiento: \( f(x) = 12000 \cdot b^x \). Sabemos que f(3) = 9000. Entonces:
\( 9000 = 12000 \cdot b^3 \)
\( \frac{9000}{12000} = b^3 \)
\( 0.75 = b^3 \)
\( b = \sqrt[3]{0.75} \approx 0.9086 \)
Problemas
Problema 1: Una ciudad tiene una población inicial de 100,000 habitantes y crece a una tasa del 3% anual.
- Encuentra la función exponencial que modela la población después de *x* años.
- ¿Cuál será la población aproximada después de 5 años?
- ¿Y después de 10 años?
- \( f(x) = 100000 \cdot (1.03)^x \)
- f(5) ≈ 115927 habitantes.
- f(10) ≈ 134392 habitantes.
Problema 2: Se invierten $5000 en una cuenta que paga un interés compuesto del 6% anual. Si no se hacen retiros ni depósitos adicionales, ¿cuánto dinero habrá en la cuenta después de 7 años?
Función: \( f(x) = 5000 \cdot (1.06)^x \). Después de 7 años: \( f(7) = 5000 \cdot (1.06)^7 \approx 7518.15 \). Habrá aproximadamente $7518.15.
Problema 3: La cantidad de un fármaco en el torrente sanguíneo disminuye exponencialmente. Se administra una dosis de 400 mg. Después de 6 horas, quedan 200 mg.
- Encuentra la función exponencial que modela la cantidad de fármaco restante en función del tiempo (en horas).
- ¿Cuántos mg quedarán después de 12 horas?
- ¿Y después de 18 horas?
- \( f(x) = 400 \cdot (0.5)^{x/6} \) (La base es 0.5 porque se reduce a la mitad, y el exponente es x/6 porque la vida media es de 6 horas).
- f(12) = 400 * (0.5)(12/6) = 400 * (0.5)2 = 100 mg.
- f(18) = 400 * (0.5)(18/6) = 400 * (0.5)3 = 50 mg.
Problema 4: Un bosque tenía 10,000 árboles en el año 2000. Debido a la tala ilegal, la cantidad de árboles disminuye un 4% cada año.
- Encuentra la función exponencial que modela la cantidad de árboles en función del tiempo (en años, desde el año 2000).
- ¿Cuántos árboles quedarán, aproximadamente, en el año 2025?
- \( f(x) = 10000 \cdot (0.96)^x \) (Si disminuye un 4%, queda el 96% = 0.96).
- El año 2025 corresponde a x = 25. f(25) = 10000 * (0.96)25 ≈ 3603.95. Quedarán aproximadamente 3604 árboles.
Problema 5: Una población de aves migratorias disminuye a un ritmo exponencial. En el año 2010, había 8000 aves. En el año 2020, había 5000 aves.
- Encuentra la función exponencial que modela la población de aves en función del tiempo (en años, desde el año 2010).
- ¿Cuál es la tasa de decrecimiento *anual* de la población (en porcentaje)?
- ¿Cuál será la población aproximada en el año 2030?
- Forma general: \( f(x) = a \cdot b^x \). a = 8000 (población inicial).
Sabemos que f(10) = 5000 (en 2020, x = 10). Entonces:
\( 5000 = 8000 \cdot b^{10} \)
\( \frac{5000}{8000} = b^{10} \)
\( 0.625 = b^{10} \)
\( b = \sqrt[10]{0.625} \approx 0.954 \)
La función es, aproximadamente: \( f(x) = 8000 \cdot (0.954)^x \) - La base es 0.954, lo que significa que la población retiene el 95.4% de su tamaño cada año. Por lo tanto, la tasa de decrecimiento anual es 100% - 95.4% = 4.6%.
- El año 2030 corresponde a x = 20. f(20) = 8000 * (0.954)20 ≈ 3121. Habrá aproximadamente 3121 aves.
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