La Función Exponencial
4. Modelado con Funciones Exponenciales (Parte 2)
Modelado con Funciones Exponenciales (Parte 2)
📐 Repaso: Pasos para Modelar
Recordemos los pasos para modelar con funciones exponenciales:
- Leer y comprender el problema.
- Identificar las variables: x (independiente, usualmente tiempo), f(x) (dependiente).
- Identificar los parámetros en \( f(x) = a \cdot b^x \): a (valor inicial) y b (base o factor de cambio).
- Escribir la ecuación que modela la situación.
- Usar el modelo para hacer predicciones.
- Interpretar los resultados en el contexto original.
Problemas de Modelado (Nivel Intermedio y Avanzado)
🌍 Problema 1: Crecimiento Poblacional
Una ciudad tiene una población inicial de 50,000 habitantes. Se estima que la población crece un 2.5% cada año.
- Encuentra la función exponencial que modela la población de la ciudad después de x años.
- ¿Cuál será la población aproximada después de 10 años?
- ¿Después de cuántos años, aproximadamente, la población se duplicará?
- \( f(x) = 50000 \cdot (1 + 0.025)^x = 50000 \cdot (1.025)^x \)
- \( f(10) = 50000 \cdot (1.025)^{10} \approx 64004 \). Aproximadamente 64,004 habitantes.
- Buscamos *x* tal que \( f(x) = 100000 \).
\( 100000 = 50000 \cdot (1.025)^x \)
\( 2 = (1.025)^x \)
Usando logaritmos o probando valores, encontramos que \(x \approx 28.07\). La población se duplicará en aproximadamente 28 años.
🤓 Explicación: Interés Compuesto y Capitalización
El problema siguiente introduce la "capitalización". Esto significa que el interés se calcula y se suma al capital varias veces al año. Para resolver esto:
- Divide la tasa de interés anual (r) entre el número de períodos de capitalización
en un año. (Ej: 6% anual capitalizado trimestralmente es 6%/4 = 1.5% por trimestre).
- Multiplica el exponente (x) por ese mismo número de períodos
La fórmula general es: \( A = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt} \)
🌍 Problema 2: Inversión con Interés Compuesto
Se invierten $10,000 en una cuenta que paga un interés compuesto del 6% anual, capitalizado trimestralmente.
- ¿Cuál es la tasa de interés trimestral?
- ¿Cuántos períodos de capitalización hay en un año?
- Encuentra la función que modela el valor de la inversión después de x años.
- ¿Cuál será el valor de la inversión después de 5 años?
- Tasa trimestral = Tasa anual / 4 = 6% / 4 = 1.5% = 0.015.
- Hay 4 trimestres (períodos de capitalización) en un año.
- \( f(x) = 10000 \cdot (1 + 0.015)^{4x} = 10000 \cdot (1.015)^{4x} \).
- \( f(5) = 10000 \cdot (1.015)^{(4 \cdot 5)} = 10000 \cdot (1.015)^{20} \approx 13468.55 \). El valor será aproximadamente $13,468.55.
💡 Estrategia Clave: ¿Cómo encontrar la base 'b'?
En los siguientes problemas, no te dan la tasa de crecimiento (b), pero te dan dos puntos de datos (ej: valor inicial y valor después de un tiempo). Para encontrar 'b':
- Plantea la ecuación \( f(x) = a \cdot b^x \).
- Sustituye el valor inicial 'a' y el otro punto de dato (x, f(x)).
- Despeja 'b', lo que generalmente implica dividir y luego sacar una raíz.
🌍 Problema 3: Decaimiento Radioactivo
Un científico estudia una muestra de 200 gramos de una sustancia radiactiva. Después de 2 días, la masa se ha reducido a 150 gramos.
- Encuentra la función que modela la masa en función del tiempo (en días).
- ¿Cuál es la vida media de la sustancia (tiempo para que se reduzca a la mitad)?
- ¿Cuánta sustancia quedará después de 10 días?
- Valor inicial a = 200. Sabemos que f(2) = 150.
\( 150 = 200 \cdot b^2 \)
\( \frac{150}{200} = b^2 \implies 0.75 = b^2 \)
\( b = \sqrt{0.75} \approx 0.866 \).
La función es: \( f(x) = 200 \cdot (0.866)^x \) - Buscamos x tal que \( f(x) = 100 \).
\( 100 = 200 \cdot (0.866)^x \implies 0.5 = (0.866)^x \)
Resolviendo (con logaritmos o probando valores), \(x \approx 4.8\). La vida media es de aproximadamente 4.8 días. - \( f(10) = 200 \cdot (0.866)^{10} \approx 49.98 \). Quedarán aproximadamente 50 gramos.
🌍 Problema 4: Crecimiento de una Red Social
El número de usuarios de una red social crece exponencialmente. El 1 de enero, había 10,000 usuarios. El 1 de marzo (60 días después), había 40,000 usuarios.
- Encuentra la función que modela el número de usuarios en función del tiempo (en días).
- ¿Cuál es la tasa de crecimiento diaria (en porcentaje)?
- ¿Cuántos usuarios se esperan para el 1 de junio (151 días después del 1 de enero)?
- Valor inicial a = 10000. Sabemos que f(60) = 40000.
\( 40000 = 10000 \cdot b^{60} \)
\( 4 = b^{60} \)
\( b = \sqrt[60]{4} \approx 1.0233 \)
La función es: \( f(x) = 10000 \cdot (1.0233)^x \) - La base es 1.0233, lo que corresponde a un crecimiento del 2.33% diario.
- \( f(151) = 10000 \cdot (1.0233)^{151} \approx 324,918 \). Se esperan aproximadamente 324,918 usuarios.
🌍 Problema 5: Propagación de un Rumor
Un rumor se propaga exponencialmente en una escuela. Al principio, solo 5 personas lo conocen. Después de 3 horas, 80 personas lo conocen. Si la escuela tiene 500 estudiantes, ¿cuánto tiempo (aproximadamente) tardará el rumor en llegar a toda la escuela?
Valor inicial a = 5. Sabemos que f(3) = 80.
\( 80 = 5 \cdot b^3 \)
\( 16 = b^3 \)
\( b = \sqrt[3]{16} \approx 2.52 \)
La función es: \( f(x) = 5 \cdot (2.52)^x \)
Buscamos x tal que f(x) = 500:
\( 500 = 5 \cdot (2.52)^x \)
\( 100 = (2.52)^x \)
Resolviendo con logaritmos (\( x = \frac{\log(100)}{\log(2.52)} \)), encontramos que \( x \approx 5.0\).
El rumor llegará a toda la escuela en aproximadamente 5 horas.
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