2. Propiedades de los Logaritmos

Propiedades de los Logaritmos

Repaso: Definición de Logaritmo

Recordemos que el logaritmo es el exponente. La forma exponencial y la logarítmica son dos caras de la misma moneda: \( b^y = x \Longleftrightarrow \log_b(x) = y \).

Propiedades Fundamentales

📐 Reglas de los Logaritmos

Las siguientes propiedades son válidas para cualquier base 'b' permitida y para cualquier argumento positivo 'x' e 'y'.

  1. Logaritmo de un producto: \( \log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y) \)
  2. Logaritmo de un cociente: \( \log_b(\frac{x}{y}) = \log_b(x) - \log_b(y) \)
  3. Logaritmo de una potencia: \( \log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x) \)
  4. Logaritmo de la base: \( \log_b(b) = 1 \)
  5. Logaritmo de 1: \( \log_b(1) = 0 \)
  6. Cambio de Base: \( \log_a(x) = \frac{\log_b(x)}{\log_b(a)} \)

Ejemplos de las Propiedades en Acción

Veamos cómo se aplican las propiedades principales con ejemplos concretos:

  • Propiedad 3 (Producto): Para calcular \( \log_2(8 \cdot 4) \), lo separamos en una suma.
    \( \log_2(8 \cdot 4) = \log_2(8) + \log_2(4) = 3 + 2 = 5 \)
    (Verificación: \(8 \cdot 4 = 32\), y \(2^5 = 32\))
  • Propiedad 4 (Cociente): Para calcular \( \log(\frac{100}{10}) \), lo separamos en una resta.
    \( \log(\frac{100}{10}) = \log(100) - \log(10) = 2 - 1 = 1 \)
    (Verificación: \(100/10 = 10\), y \(10^1 = 10\))
  • Propiedad 5 (Potencia): Para calcular \( \log_2(8^3) \), "bajamos" el exponente para multiplicar.
    \( \log_2(8^3) = 3 \cdot \log_2(8) = 3 \cdot 3 = 9 \)
    (Verificación: \(8^3 = 512\), y \(2^9 = 512\))
  • Propiedad 6 (Cambio de Base): Para calcular \( \log_2(5) \) en una calculadora estándar.
    \( \log_2(5) = \frac{\log(5)}{\log(2)} \approx \frac{0.699}{0.301} \approx 2.32 \)

💡 La Propiedad "Mágica"

La propiedad del logaritmo de una potencia, \( \log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x) \), es la más importante para resolver ecuaciones exponenciales. Es la que nos permite "bajar" la incógnita del exponente y despejarla.

⚠️ Errores Comunes que Debes Evitar

¡Cuidado! Los logaritmos no se distribuyen sobre sumas o restas. Estas igualdades son FALSAS:

  • \( \log_b(x + y) \neq \log_b(x) + \log_b(y) \)
  • \( \log_b(x - y) \neq \log_b(x) - \log_b(y) \)
  • \( \frac{\log_b(x)}{\log_b(y)} \neq \log_b(x-y) \)

Ejercicios

1. Calcula, sin usar calculadora:

  1. \( \log_7(1) \)
  2. \( \log_5(5) \)
  3. \( \log(10) \)
  4. \( \ln(e) \)

2. Expresa como un solo logaritmo:

  1. \( \log_2(5) + \log_2(3) \)
  2. \( \log(100) - \log(10) \)
  3. \( 3 \cdot \log_5(4) \)
  4. \( \log_3(10) + \log_3(2) - \log_3(4) \)
  5. \( 2\log(5) + \log(4) \)
  6. \( \log_2(20) - 2\log_2(5) \)

3. Simplifica las siguientes expresiones:

  1. \( \log_3(9 \cdot 27) \)
  2. \( \log_2(64/16) \)
  3. \( \log_5(25^4) \)
  4. \( \log(1000^6) \)
  5. \( \log_2(8) + \log_2(4) - \log_2(2) \)
  6. \( 2\log_3(9) + \log_3(3) - \log_3(27) \)
  7. \( \log_4(8) + \log_4(2) \)
  8. \( \log(\sqrt{10}) \)

4. Si \( \log_2(x) = 3 \) y \( \log_2(y) = 4 \), calcula:

  1. \( \log_2(xy) \)
  2. \( \log_2(\frac{x}{y}) \)
  3. \( \log_2(x^5) \)
  4. \( \log_2(\sqrt{x}) \)
  5. \( \log_2(x^2y^3) \)
  6. \( \log_2(\frac{1}{x}) \)

5. Usa la propiedad de cambio de base para calcular \( \log_2(7) \) con tres decimales.

6. Sabiendo que \( \log(2) \approx 0.301 \) y que \( \log(3) \approx 0.477 \), calcula \( \log(6) \) y \( \log(18) \).

7. Si \( \log(a) = x \), ¿cuál es el valor de \( \log(100a) \)?

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