La Función Logarítmica
4. Práctica
Evaluación Formativa: Logaritmos y su Función
A continuación, encontrarás una serie de 30 preguntas de selección múltiple para que puedas poner a prueba tus conocimientos sobre la definición, propiedades y la función logarítmica. ¡Mucho éxito!
Parte I: Introducción a los Logaritmos
1. La expresión \( \log_5(25) = 2 \) es equivalente a:
- \( 2^5 = 25 \)
- \( 5^2 = 25 \)
- \( 25^2 = 5 \)
- \( 5^{25} = 2 \)
Respuesta correcta: b). La definición de logaritmo es \( \log_b(x) = y \Longleftrightarrow b^y = x \).
2. ¿Cuál es el valor de \( \log_7(1) \)?
- 7
- 1
- 0
- No está definido
Respuesta correcta: c). El logaritmo de 1 en cualquier base válida es siempre 0, ya que \( b^0 = 1 \).
3. ¿Cuál es el valor de \( \log(1000) \)?
- 10
- 3
- 100
- 2
Respuesta correcta: b). Cuando la base no se escribe, se asume que es 10. \( \log_{10}(1000) = 3 \) porque \( 10^3 = 1000 \).
4. ¿Cuál es la base en la expresión \( \ln(x) \)?
- 10
- No tiene base
- x
- e
Respuesta correcta: d). El logaritmo natural, denotado como \( \ln \), tiene como base el número de Euler, \( e \).
5. ¿Cuál es el valor de \( \log_4(64) \)?
- 3
- 4
- 16
- 2
Respuesta correcta: a). Buscamos el exponente al que se debe elevar 4 para obtener 64. \( 4^3 = 64 \).
6. ¿Cuál de las siguientes expresiones no está definida en los números reales?
- \( \log_2(1/8) \)
- \( \log(0.1) \)
- \( \log_5(-25) \)
- \( \log_{1/2}(4) \)
Respuesta correcta: c). El argumento de un logaritmo debe ser siempre un número real positivo.
7. La expresión \( 3^4 = 81 \) se puede escribir en forma logarítmica como:
- \( \log_4(3) = 81 \)
- \( \log_3(81) = 4 \)
- \( \log_3(4) = 81 \)
- \( \log_{81}(3) = 4 \)
Respuesta correcta: b). Siguiendo la equivalencia, la base de la potencia (3) es la base del logaritmo, y el resultado (81) es el argumento.
8. ¿Cuál es el valor de \( \log_9(3) \)?
- 2
- 1/2
- 3
- 1/3
Respuesta correcta: b). Se busca un exponente 'y' tal que \( 9^y = 3 \). Como \( \sqrt{9} = 3 \), entonces \( 9^{1/2} = 3 \).
9. En la expresión \( \log_b(x) = y \), 'x' se denomina:
- Base
- Exponente
- Argumento
- Resultado
Respuesta correcta: c). 'b' es la base, 'y' es el logaritmo (o exponente) y 'x' es el argumento.
10. ¿Para qué valor de 'b' no está definido el logaritmo \( \log_b(x) \)?
- b = 10
- b = 2
- b = 1/2
- b = 1
Respuesta correcta: d). La base de un logaritmo debe ser un número real positivo y distinto de 1.
Parte II: Propiedades de los Logaritmos
11. La expresión \( \log(A) + \log(B) \) es equivalente a:
- \( \log(A - B) \)
- \( \log(A \cdot B) \)
- \( \log(A / B) \)
- \( \log(A + B) \)
Respuesta correcta: b). Es la propiedad del logaritmo de un producto.
12. Usando las propiedades, ¿a qué es igual \( \log_2(8/M) \)?
- \( 3 - \log_2(M) \)
- \( \log_2(3) - \log_2(M) \)
- \( 3 / \log_2(M) \)
- \( \log_2(8 - M) \)
Respuesta correcta: a). Se aplica la propiedad del cociente: \( \log_2(8) - \log_2(M) \). Como \( \log_2(8) = 3 \), el resultado es \( 3 - \log_2(M) \).
13. La propiedad del logaritmo de una potencia permite reescribir \( \log(x^5) \) como:
- \( (\log(x))^5 \)
- \( \log(5x) \)
- \( 5 \cdot \log(x) \)
- \( \log(x+5) \)
Respuesta correcta: c). La propiedad establece que \( \log(A^P) = P \cdot \log(A) \).
14. Si \( \log_b(2) = 0.3 \) y \( \log_b(3) = 0.47 \), ¿cuál es el valor de \( \log_b(6) \)?
- 0.77
- 0.141
- 1.56
- No se puede calcular
Respuesta correcta: a). \( \log_b(6) = \log_b(2 \cdot 3) = \log_b(2) + \log_b(3) = 0.3 + 0.47 = 0.77 \).
15. Simplifica la expresión \( 2\log(x) - \log(y) \).
- \( \log(2x/y) \)
- \( \log(x^2 - y) \)
- \( \log(x^2 / y) \)
- \( \log((2x)/y) \)
Respuesta correcta: c). Primero se aplica la propiedad de la potencia: \( 2\log(x) = \log(x^2) \). Luego la del cociente: \( \log(x^2) - \log(y) = \log(x^2 / y) \).
16. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es un error común y es incorrecta?
- \( \log(A) - \log(B) = \log(A/B) \)
- \( \log(A+B) = \log(A) + \log(B) \)
- \( \ln(e^2) = 2 \)
- \( \log(1) = 0 \)
Respuesta correcta: b). El logaritmo de una suma NO es la suma de los logaritmos. Esta es una de las confusiones más frecuentes.
17. Si \( \log_b(5) = k \), ¿a qué es igual \( \log_b(25) \)?
- \( k^2 \)
- \( 2k \)
- \( 5k \)
- \( k/2 \)
Respuesta correcta: b). \( \log_b(25) = \log_b(5^2) = 2 \cdot \log_b(5) = 2k \).
18. La expresión \( \log_3(x) + \log_3(x) + \log_3(x) \) es igual a:
- \( \log_3(3x) \)
- \( (\log_3(x))^3 \)
- \( 3\log_3(x) \)
- \( \log_3(x+3) \)
Respuesta correcta: c). Es una suma de términos semejantes, que es igual a \( 3\log_3(x) \). También se podría reescribir como \( \log_3(x^3) \).
19. Usando la fórmula de cambio de base, \( \log_5(7) \) se puede calcular como:
- \( \log(7) - \log(5) \)
- \( \log(5) / \log(7) \)
- \( \log(7/5) \)
- \( \log(7) / \log(5) \)
Respuesta correcta: d). La fórmula es \( \log_b(x) = \log_c(x) / \log_c(b) \). Se usa comúnmente con logaritmo base 10 o natural.
20. ¿A qué es igual \( \log_2(16) + \log_3(9) - \log_5(5) \)?
- 5
- 6
- 4
- 7
Respuesta correcta: a). Se calcula cada término por separado: \( \log_2(16) = 4 \), \( \log_3(9) = 2 \), \( \log_5(5) = 1 \). La operación es \( 4 + 2 - 1 = 5 \).
Parte III: La Función Logarítmica
21. ¿Cuál es el dominio de la función \( f(x) = \log_7(x) \)?
- Todos los números reales.
- Todos los números reales positivos, incluyendo el cero.
- Todos los números reales positivos, sin incluir el cero.
- Todos los números reales mayores que 7.
Respuesta correcta: c). El dominio de una función logarítmica básica es \( (0, \infty) \).
22. La función \( f(x) = \log_{1/3}(x) \) es:
- Creciente
- Decreciente
- Constante
- Lineal
Respuesta correcta: b). La función logarítmica es decreciente si su base 'b' cumple que \( 0 < b < 1 \).
23. Todas las funciones de la forma \( f(x) = \log_b(x) \) pasan por un punto en común. ¿Cuál es?
- (0, 0)
- (0, 1)
- (1, 0)
- (b, 1)
Respuesta correcta: c). Todas cortan el eje X en el punto (1, 0), ya que \( \log_b(1) = 0 \).
24. ¿Cuál es la asíntota vertical de la función \( f(x) = \log(x) \)?
- La recta y = 0 (eje X)
- La recta x = 1
- No tiene asíntota vertical
- La recta x = 0 (eje Y)
Respuesta correcta: d). La gráfica de la función logarítmica se acerca indefinidamente al eje Y sin tocarlo.
25. La gráfica de \( y = \log_5(x) \) es simétrica a la gráfica de \( y = 5^x \) respecto a:
- El eje X
- El origen (0,0)
- El eje Y
- La recta y = x
Respuesta correcta: d). Una función y su inversa son siempre simétricas respecto a la recta diagonal \( y = x \).
26. ¿Cuál es el dominio de la función \( g(x) = \ln(x + 2) \)?
- \( (0, \infty) \)
- \( (-2, \infty) \)
- \( (-\infty, -2) \)
- \( (2, \infty) \)
Respuesta correcta: b). El argumento debe ser positivo: \( x + 2 > 0 \), lo que implica \( x > -2 \).
27. ¿Cuál es la asíntota vertical de la función \( h(x) = \log_2(x - 3) \)?
- x = 2
- x = 0
- x = 3
- y = 3
Respuesta correcta: c). La asíntota vertical se encuentra donde el argumento es cero: \( x - 3 = 0 \), es decir, en \( x = 3 \).
28. Si la gráfica de \( y = \log_b(x) \) pasa por el punto (8, 3), ¿cuál es el valor de 'b'?
- 3
- 8
- 2
- 4
Respuesta correcta: c). La información nos da la ecuación \( \log_b(8) = 3 \). En forma exponencial es \( b^3 = 8 \). La única base real que cumple esto es \( b = 2 \).
29. ¿Cuál es el punto de intersección con el eje X de la función \( f(x) = \log(x - 99) \)?
- (100, 0)
- (1, 0)
- (99, 0)
- No corta el eje X
Respuesta correcta: a). La intersección ocurre cuando \( f(x) = 0 \). Resolvemos \( \log(x - 99) = 0 \). En forma exponencial: \( 10^0 = x - 99 \), lo que da \( 1 = x - 99 \), y por tanto \( x = 100 \).
30. ¿Cuál es el recorrido (rango) de la función \( f(x) = \log_{1/5}(x) + 7 \)?
- \( (7, \infty) \)
- \( (0, \infty) \)
- Todos los números reales.
- \( (-\infty, 7) \)
Respuesta correcta: c). El recorrido de cualquier función logarítmica, incluso si está desplazada verticalmente, es siempre el conjunto de todos los números reales (\( \mathbb{R} \)).