Capitulo 1.2 N° Racionales , algunos decimales tambien son fracciones
2. Introducción a los Números Decimales
Introducción a los Números Decimales
1. El Universo de los Números Decimales
Antes de sumergirnos en los detalles, es importante tener una visión general. No todos los números decimales son iguales; de hecho, se dividen en dos grandes familias:
- Decimales Racionales (El foco de nuestras lecciones): Son todos aquellos que sí se pueden escribir como una fracción. Su expansión decimal tiene dos únicas posibilidades:
- Es finita (termina), como \(0,75\).
- Es infinita y periódica (un bloque de dígitos se repite para siempre), como \(0,666...\) o \(0,121212...\).
- Decimales Irracionales: Son aquellos que NO se pueden escribir como una fracción. Su expansión decimal es siempre infinita y no periódica. Aunque sus dígitos pueden seguir un patrón de construcción (como en el ejemplo 0,101001...), la secuencia de decimales no es periódica. Los ejemplos clásicos son Pi (π ≈ 3,14159...) y la raíz cuadrada de 2 (√2 ≈ 1,41421...).
La unión de estas dos grandes familias (los decimales racionales y los irracionales) forma el conjunto de los números reales.
Esto es muy importante, ya que significa que cada punto en la recta real corresponde a un número, ya sea racional o irracional.
En esta y las siguientes lecciones, nos enfocaremos exclusivamente en los decimales racionales, que son la expresión decimal de una fracción.
2. De Fracción a Decimal: Nombre y Posición
Una fracción decimal es una fracción cuyo denominador es una potencia de 10 (10, 100, 1000, etc.).
Es crucial entender que este tipo de fracción es la que siempre genera un número decimal finito (es decir, que tiene un número limitado de cifras decimales).
(Más adelante, estudiaremos las fracciones que generan decimales infinitos periódicos, como aquellas cuya fracción generatriz tiene denominadores con nueves).
Paso 1: Nombrar la Fracción
El primer paso para entender un decimal es saber leer su fracción. El denominador nos da el "apellido" del número:
- Si el denominador es 10, hablamos de décimos. Ej: \( \frac{7}{10} \) se lee "siete décimos".
- Si el denominador es 100, hablamos de centésimos. Ej: \( \frac{25}{100} \) se lee "veinticinco centésimos".
- Si el denominador es 1000, hablamos de milésimos. Ej: \( \frac{123}{1000} \) se lee "ciento veintitrés milésimos".
Paso 2: Ubicar en la Tabla de Valor Posicional
El "apellido" que aprendimos (décimo, centésimo...) nos dice dónde debe terminar el número después de la coma decimal.
| Posición | Representación Decimal | Nombre | Representación Fraccional |
|---|---|---|---|
| 1er lugar después de la coma | 0,1 | Décimo | \( \frac{1}{10} \) |
| 2do lugar después de la coma | 0,01 | Centésimo | \( \frac{1}{100} \) |
| 3er lugar después de la coma | 0,001 | Milésimo | \( \frac{1}{1000} \) |
Paso 3: Escribir el Número Decimal
- Lee la fracción para saber su "apellido" (décimos, centésimos, etc.).
- Escribe el número del numerador.
- Coloca la coma decimal de manera que la última cifra del numerador quede en la posición que indica su apellido.
- Si es necesario, agrega ceros entre la coma y el número.
Ejemplos de Conversión
- \( \frac{17}{100} \): Se lee "diecisiete centésimos". Por lo tanto, el 7 debe quedar en la 2ª posición decimal \(\Rightarrow\) 0,17.
- \( \frac{9}{1000} \): Se lee "nueve milésimos". El 9 debe quedar en la 3ª posición decimal \(\Rightarrow\) 0,009.
- \( 2\frac{35}{100} \): Se lee "dos enteros y treinta y cinco centésimos". El 2 es la parte entera y el 35 termina en la 2ª posición \(\Rightarrow\) 2,35.
- \( \frac{235}{100} = 2,35 \) (doscientos treinta y cinco centésimos) 2,35.
Un método mecánico y rápido es escribir el numerador y asegurarse de que tenga tantas cifras decimales como ceros hay en el denominador. Si es necesario, se agregan ceros a la izquierda del número.
- Ejemplo A ( \( \frac{17}{100} \) ): El 100 tiene 2 ceros, por lo tanto, el resultado debe tener 2 cifras decimales \(\Rightarrow\) 0,17.
- Ejemplo B ( \( \frac{9}{1000} \) ): El 1000 tiene 3 ceros, por lo tanto, el resultado necesita 3 cifras decimales (agregamos ceros) \(\Rightarrow\) 0,009.
3. Decimales Equivalentes
Con los números enteros, estamos acostumbrados a que agregar un cero a la derecha cambie completamente el valor (por ejemplo, 4 es muy distinto de 40).
Pero ¡cuidado!, en la parte decimal de un número, los ceros que se agregan al final NO cambian su valor.
\( 0,4 = 0,40 = 0,400 \)
Esto se debe a que \( \frac{4}{10} \) es una fracción equivalente a \( \frac{40}{100} \) y a \( \frac{400}{1000} \).
La razón es que al agregar ceros, estamos amplificando la fracción original por una fracción equivalente a 1 (como \( \frac{10}{10} \)). Esto cambia cómo se escribe la fracción, pero no su valor.
| Decimal Original | Fracción Inicial | Proceso de Amplificación | Fracción Equivalente | Resultado Decimal |
|---|---|---|---|---|
| \(0,4\) | \( \frac{4}{10} \) (cuatro décimos) | \( \frac{4}{10} \cdot \frac{10}{10} \) | \( \frac{40}{100} \) (cuarenta centésimos) | \(0,40\) |
| \(0,4\) | \( \frac{4}{10} \) (cuatro décimos) | \( \frac{4}{10} \cdot \frac{100}{100} \) | \( \frac{400}{1000} \) (cuatrocientos milésimos) | \(0,400\) |
Ejercicios Prácticos
Ejercicio 1: Lectura y Conversión a Decimal
Escribe las siguientes fracciones con palabras y luego conviértelas a su forma decimal.
- \( \frac{7}{10} \)
- \( \frac{83}{100} \)
- \( \frac{235}{1000} \)
- \( -\frac{9}{10} \)
- \( \frac{42}{100} \)
- \( -\frac{5}{100} \)
- \( \frac{7}{1000} \)
- \( 3\frac{2}{10} \)
- \( -5\frac{12}{100} \)
- \( \frac{2531}{1000} \)
- Siete décimos; \(0,7\)
- Ochenta y tres centésimos; \(0,83\)
- Doscientos treinta y cinco milésimos; \(0,235\)
- Menos nueve décimos; \(-0,9\)
- Cuarenta y dos centésimos; \(0,42\)
- Menos cinco centésimos; \(-0,05\)
- Siete milésimos; \(0,007\)
- Tres enteros y dos décimos; \(3,2\)
- Menos cinco enteros y doce centésimos; \(-5,12\)
- Dos mil quinientos treinta y un milésimos; \(2,531\)
Ejercicio 2: Nombrar y Convertir a Fracción Decimal
Nombra los siguientes números decimales con palabras y luego escríbelos en forma de fracción decimal:
- 0,9
- 0,27
- 0,605
- -0,5
- 4,7
- 0,53
- 0,072
- -0,19
- -0,003
- 12,345
- Nueve décimos; \( \frac{9}{10} \)
- Veintisiete centésimos; \( \frac{27}{100} \)
- Seiscientos cinco milésimos; \( \frac{605}{1000} \)
- Menos cinco décimos; \( -\frac{5}{10} \)
- Cuatro enteros y siete décimos (\( 4\frac{7}{10} \)) o cuarenta y siete décimos (\( \frac{47}{10} \)).
- Cincuenta y tres centésimos; \( \frac{53}{100} \)
- Setenta y dos milésimos; \( \frac{72}{1000} \)
- Menos diecinueve centésimos; \( -\frac{19}{100} \)
- Menos tres milésimos; \( -\frac{3}{1000} \)
- Doce enteros y trescientos cuarenta y cinco milésimos (\( 12\frac{345}{1000} \)) o doce mil trescientos cuarenta y cinco milésimos (\( \frac{12345}{1000} \)).