Libro Decimales racionales
3. Adición y Sustracción de números decimales
Idea inicial
Sumar y restar números decimales es una habilidad fundamental. Para ello, existen dos estrategias principales que es importante conocer.
Dos estrategias para un mismo fin
- Estrategia 1: convertir los decimales a fracciones. Este método ayuda a comprender por qué las operaciones funcionan.
- Estrategia 2: alinear las comas decimales. Este es el método rápido y eficiente que se usa con mayor frecuencia.
Estrategia 1: convertir a fracción
El método conceptual
Podemos convertir los números decimales a fracciones, operar con ellas e igualar denominadores si es necesario. Luego, el resultado se puede escribir nuevamente como número decimal.
Ejemplo A: \(0{,}5+0{,}25\)
- Convertir a fracción: \(0{,}5=\frac{5}{10}\) y \(0{,}25=\frac{25}{100}\).
- Igualar denominadores: \(\frac{5}{10}=\frac{50}{100}\).
- Sumar las fracciones: \(\frac{50}{100}+\frac{25}{100}=\frac{75}{100}\).
- Convertir a decimal: \(\frac{75}{100}=0{,}75\).
Respuesta:
\[0{,}5+0{,}25=0{,}75\]
Ejercicios: método fraccionario
Resuelve las siguientes operaciones usando la estrategia de convertir a fracción decimal.
- \(0{,}75+0{,}2\)
- \(0{,}2-0{,}75\)
- \(2{,}4-0{,}35\)
- \(-0{,}4-0{,}8\)
- \(0{,}6+0{,}8\)
- \(1{,}25-0{,}7\)
- \(1{,}2-3{,}05\)
- \(3{,}5+1{,}05\)
-
Convertimos a fracciones con denominador común:
\[\frac{75}{100}+\frac{2}{10}=\frac{75}{100}+\frac{20}{100}=\frac{95}{100}=0{,}95\]
-
Convertimos a centésimos y restamos:
\[\frac{2}{10}-\frac{75}{100}=\frac{20}{100}-\frac{75}{100}=-\frac{55}{100}=-0{,}55\]
-
Convertimos ambos números a centésimos:
\[\frac{24}{10}-\frac{35}{100}=\frac{240}{100}-\frac{35}{100}=\frac{205}{100}=2{,}05\]
-
Ambos términos son negativos, por eso se suman sus valores absolutos y se conserva el signo negativo:
\[-\frac{4}{10}-\frac{8}{10}=-\frac{12}{10}=-1{,}2\]
-
Sumamos décimos con décimos:
\[\frac{6}{10}+\frac{8}{10}=\frac{14}{10}=1{,}4\]
-
Convertimos \(0{,}7\) a centésimos:
\[\frac{125}{100}-\frac{7}{10}=\frac{125}{100}-\frac{70}{100}=\frac{55}{100}=0{,}55\]
-
Convertimos a centésimos y restamos:
\[\frac{12}{10}-\frac{305}{100}=\frac{120}{100}-\frac{305}{100}=-\frac{185}{100}=-1{,}85\]
-
Convertimos ambos números a centésimos:
\[\frac{35}{10}+\frac{105}{100}=\frac{350}{100}+\frac{105}{100}=\frac{455}{100}=4{,}55\]
Estrategia 2: alinear la coma decimal
¿Por qué es tan importante alinear la coma?
Al alinear las comas, garantizamos que cada valor posicional quede en su propia columna. Así sumamos o restamos unidades con unidades, décimos con décimos, centésimos con centésimos, etc.
Algoritmo universal para suma y resta de decimales
Para sumar o restar números decimales positivos o negativos, primero conviene alinear las comas y luego analizar los signos.
Regla 1: números con signos iguales
- Suma los valores absolutos.
- Conserva el signo común en el resultado.
Regla 2: números con signos distintos
- Resta el menor valor absoluto al mayor valor absoluto.
- Conserva en el resultado el signo del número con mayor valor absoluto.
Ejemplo A: signos iguales y resultado negativo
Resolver: \(-4{,}8-2{,}3\)
La operación equivale a sumar dos números negativos:
\[-4{,}8+(-2{,}3)\]
Como los signos son iguales, sumamos los valores absolutos y conservamos el signo negativo.
4,8 + 2,3 ----- 7,1
Respuesta:
\[-4{,}8-2{,}3=-7{,}1\]
Ejemplo B: signos distintos y resultado negativo
Resolver: \(1{,}75-3{,}5\)
La operación equivale a:
\[1{,}75+(-3{,}5)\]
Los signos son distintos. Como \(3{,}5\) tiene mayor valor absoluto que \(1{,}75\), restamos los valores absolutos y el resultado conserva el signo negativo.
3,50 - 1,75 ------ 1,75
Respuesta:
\[1{,}75-3{,}5=-1{,}75\]
Ejemplo C: signos distintos y resultado positivo
Resolver: \(-5{,}3+8\)
Los signos son distintos. Como \(8\) tiene mayor valor absoluto que \(5{,}3\), restamos los valores absolutos y el resultado conserva el signo positivo.
8,0 - 5,3 ----- 2,7
Respuesta:
\[-5{,}3+8=2{,}7\]
Ejercicios: método práctico
Resuelve las siguientes operaciones alineando la coma decimal. Incluye casos con números negativos.
- \(2{,}5+1{,}25\)
- \(10{,}625+5{,}1\)
- \(7-3{,}45\)
- \(2{,}5+(-1{,}2)\)
- \(-1{,}75+3{,}5\)
- \(-4{,}8-2{,}3\)
- \(-8+5{,}3\)
- \(-7{,}2+3{,}12\)
- \(-2{,}3-(-1{,}8)\)
-
Alineamos la coma y agregamos un cero en \(2{,}5\):
2,50 + 1,25 ------ 3,75
\[2{,}5+1{,}25=3{,}75\]
-
Alineamos la coma y escribimos \(5{,}1\) como \(5{,}100\):
10,625 + 5,100 -------- 15,725
\[10{,}625+5{,}1=15{,}725\]
-
Escribimos \(7\) como \(7{,}00\):
7,00 - 3,45 ------ 3,55
\[7-3{,}45=3{,}55\]
-
La operación equivale a \(2{,}5-1{,}2\):
2,5 - 1,2 ----- 1,3
\[2{,}5+(-1{,}2)=1{,}3\]
-
Los signos son distintos. Como \(3{,}5\) tiene mayor valor absoluto, el resultado será positivo:
3,50 - 1,75 ------ 1,75
\[-1{,}75+3{,}5=1{,}75\]
-
Los signos son iguales negativos, por lo tanto sumamos los valores absolutos y conservamos el signo negativo:
4,8 + 2,3 ----- 7,1
\[-4{,}8-2{,}3=-7{,}1\]
-
Los signos son distintos. Como \(8\) tiene mayor valor absoluto que \(5{,}3\), el resultado será negativo:
8,0 - 5,3 ----- 2,7
\[-8+5{,}3=-2{,}7\]
-
Los signos son distintos. Como \(7{,}2\) tiene mayor valor absoluto que \(3{,}12\), el resultado será negativo:
7,20 - 3,12 ------ 4,08
\[-7{,}2+3{,}12=-4{,}08\]
-
Primero transformamos la resta de un negativo en suma:
\[-2{,}3-(-1{,}8)=-2{,}3+1{,}8\]
Los signos son distintos. Como \(2{,}3\) tiene mayor valor absoluto, el resultado será negativo:
2,3 - 1,8 ----- 0,5
\[-2{,}3-(-1{,}8)=-0{,}5\]
Ejercicios combinados y con paréntesis
Resuelve las siguientes operaciones combinadas. Recuerda resolver primero los paréntesis.
- \(5{,}2+1{,}8-3{,}5\)
- \(10-4{,}5-2{,}1\)
- \(-3{,}1+8{,}5-2{,}0\)
- \(4{,}5-9{,}2+1{,}1\)
- \(12{,}5-(3{,}1+4{,}2)\)
- \(8{,}4+(-2{,}1-1{,}1)\)
- \(-5-(2{,}5-4)\)
-
Primero sumamos \(5{,}2+1{,}8\):
\[5{,}2+1{,}8-3{,}5=7{,}0-3{,}5=3{,}5\]
-
Resolvemos de izquierda a derecha:
\[10-4{,}5-2{,}1=5{,}5-2{,}1=3{,}4\]
-
Primero sumamos los dos primeros términos:
\[-3{,}1+8{,}5-2{,}0=5{,}4-2{,}0=3{,}4\]
-
Resolvemos de izquierda a derecha:
\[4{,}5-9{,}2+1{,}1=-4{,}7+1{,}1=-3{,}6\]
-
Primero resolvemos el paréntesis:
\[12{,}5-(3{,}1+4{,}2)=12{,}5-7{,}3=5{,}2\]
-
Primero resolvemos el paréntesis:
\[8{,}4+(-2{,}1-1{,}1)=8{,}4+(-3{,}2)=5{,}2\]
-
Primero resolvemos el paréntesis:
\[-5-(2{,}5-4)=-5-(-1{,}5)\]
Restar un número negativo equivale a sumar:
\[-5+1{,}5=-3{,}5\]
Estimación de resultados
Estimar para verificar
Antes de realizar un cálculo, es útil estimar el resultado. Esto se puede hacer redondeando cada número al entero más cercano.
Si el resultado exacto está muy lejos de la estimación, puede ser una señal de que hubo un error en el cálculo.
Ejemplo de estimación
Estimar el resultado de: \(3{,}8+2{,}1\)
Redondeamos cada número al entero más cercano:
\[3{,}8\approx 4 \qquad 2{,}1\approx 2\]
Entonces:
\[3{,}8+2{,}1\approx 4+2=6\]
El resultado exacto es:
\[3{,}8+2{,}1=5{,}9\]
Como \(5{,}9\) es cercano a \(6\), la estimación confirma que el cálculo es razonable.
Ejercicios de estimación
Para cada operación, primero escribe una estimación redondeando al entero más cercano y luego calcula el resultado exacto.
- \(5{,}7+3{,}2\)
- \(8{,}9-2{,}7\)
- \(12{,}3+4{,}8\)
- \(-2{,}8+(-3{,}9)\)
- \(-8{,}5+4{,}2\)
-
Estimamos:
\[5{,}7\approx 6 \qquad 3{,}2\approx 3\]
\[6+3=9\]
Resultado exacto:
\[5{,}7+3{,}2=8{,}9\]
-
Estimamos:
\[8{,}9\approx 9 \qquad 2{,}7\approx 3\]
\[9-3=6\]
Resultado exacto:
\[8{,}9-2{,}7=6{,}2\]
-
Estimamos:
\[12{,}3\approx 12 \qquad 4{,}8\approx 5\]
\[12+5=17\]
Resultado exacto:
\[12{,}3+4{,}8=17{,}1\]
-
Estimamos:
\[-2{,}8\approx -3 \qquad -3{,}9\approx -4\]
\[-3+(-4)=-7\]
Resultado exacto:
\[-2{,}8+(-3{,}9)=-6{,}7\]
-
Estimamos:
\[-8{,}5\approx -9 \qquad 4{,}2\approx 4\]
\[-9+4=-5\]
Resultado exacto:
\[-8{,}5+4{,}2=-4{,}3\]