Capitulo 1.2 N° Racionales , algunos decimales tambien son fracciones
6. División de Números Decimales
División de Números Decimales
La división de decimales cierra nuestro estudio de las operaciones básicas. Al igual que con las operaciones anteriores, existen dos formas de abordar la división: una conceptual y una práctica.
- Estrategia 1 (Conceptual): Convertir a fracción. Este método es útil para entender la lógica detrás de la división de decimales.
- Estrategia 2 (Práctica): El método tradicional. Este es el algoritmo rápido que se utiliza para los cálculos.
Estrategia 1: Convertir a Fracción (El Método Conceptual)
Podemos convertir los números decimales a fracciones y luego aplicar la regla de la división de fracciones (multiplicar por el inverso del divisor).
Ejemplo A: 1,2 ÷ 0,03
- Convertir a fracción: \( 1,2 = \frac{12}{10} \) y \( 0,03 = \frac{3}{100} \)
- Dividir fracciones (multiplicar por el inverso): \( \frac{12}{10} \div \frac{3}{100} = \frac{12}{10} \cdot \frac{100}{3} \)
- Resolver: \( \frac{12 \cdot 100}{10 \cdot 3} = \frac{1200}{30} = 40 \)
Ejercicios (Método Fraccionario)
Resuelve las siguientes divisiones usando la estrategia de convertir a fracción.
- 0,6 ÷ 0,2
- 1,5 ÷ 0,05
- -0,75 ÷ 0,25
- -1,4 ÷ (-0,2)
- 0,9 ÷ 2
- 0,2 ÷ 0,5
- 3,5 ÷ 2
- -5,1 ÷ 0,2
- \( \frac{6}{10} \div \frac{2}{10} = \frac{6}{10} \cdot \frac{10}{2} = 3 \)
- \( \frac{15}{10} \div \frac{5}{100} = \frac{15}{10} \cdot \frac{100}{5} = 30 \)
- \( -\frac{75}{100} \div \frac{25}{100} = -\frac{75}{100} \cdot \frac{100}{25} = -3 \)
- \( \left(-\frac{14}{10}\right) \cdot \left(-\frac{10}{2}\right) = +\frac{14}{2} = 7 \)
- \( \frac{9}{10} \div 2 = \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{20} = 0,45 \)
- \( \frac{2}{10} \div \frac{5}{10} = \frac{2}{10} \cdot \frac{10}{5} = \frac{2}{5} = 0,4 \)
- \( \frac{35}{10} \div 2 = \frac{35}{10} \cdot \frac{1}{2} = \frac{35}{20} = 1,75 \)
- \( -\frac{51}{10} \div \frac{2}{10} = -\frac{51}{10} \cdot \frac{10}{2} = -\frac{51}{2} = -25,5 \)
Estrategia 2: División Tradicional (El Método Práctico)
- Igualar Cifras Decimales: Agrega ceros a la derecha a uno de los números hasta que ambos (dividendo y divisor) tengan la misma cantidad de cifras después de la coma.
- Suprimir la Coma: Reescribe la división, pero ahora sin las comas. Los números se tratarán como enteros.
- Dividir: Realiza la división con los nuevos números enteros. Si es necesario, continúa la división para obtener decimales en el cociente.
- Aplicar Regla de los Signos: Aplica la regla de los signos al resultado final.
Este método funciona gracias a una propiedad clave de las divisiones (o fracciones): si multiplicas tanto el dividendo como el divisor por el mismo número, el resultado de la división no cambia.
Al "igualar las cifras decimales y suprimir la coma", lo que realmente estamos haciendo es multiplicar ambos números por la misma potencia de 10 (10, 100, 1000...) para convertirlos en enteros sin alterar el resultado final.
Por ejemplo, en la división \(7,75 \div 2,5\):
\[ \frac{7,75}{2,5} = \frac{7,75 \times \mathbf{100}}{2,5 \times \mathbf{100}} = \frac{775}{250} \]
¡Hemos transformado una división de decimales en una división equivalente de enteros!
La regla de los signos para la división es idéntica a la de la multiplicación: signos iguales dan (+), signos distintos dan (-).
Ejemplo: 7,75 ÷ (-2,5)
1. Igualar Decimales: El dividendo (7,75) tiene 2 cifras decimales. El divisor (-2,5) tiene 1. Agregamos un cero al divisor: 7,75 ÷ (-2,50).
2. Suprimir la Coma: La operación se convierte en la división de enteros: 775 ÷ (-250).
3. Dividir:
3,1
----
250|775,0
-750
----
25 0
-25 0
-----
0
4. Aplicar Signo: Como los signos originales eran distintos (+ y -), el resultado es negativo.
Respuesta: -3,1
Ejercicios (Método Práctico)
Resuelve las siguientes divisiones.
- -9,6 ÷ 3,2
- 1,25 ÷ 0,5
- -2,5 ÷ (-0,05)
- 6 ÷ 0,3
- 0,8 ÷ 5
- -0,7 ÷ 2
- 15 ÷ 4
- -10 ÷ 0,8
- \( -96 \div 32 = -3 \)
- \( 125 \div 50 = 2,5 \)
- \( -250 \div (-5) = 50 \)
- \( 60 \div 3 = 20 \)
- \( 8 \div 50 = 0,16 \)
- \( -7 \div 20 = -0,35 \)
- \( 1500 \div 400 = 3,75 \)
- \( -100 \div 8 = -12,5 \)
Caso Especial: División por 10, 100, 1000...
Dividir por un número es exactamente lo mismo que multiplicar por su inverso. Por lo tanto:
- Dividir por 10 es lo mismo que multiplicar por \( \frac{1}{10} \), es decir, por 0,1.
- Dividir por 100 es lo mismo que multiplicar por \( \frac{1}{100} \), es decir, por 0,01.
¡Esto nos permite usar la regla que ya aprendimos en la lección anterior!
Como dividir por 10, 100, etc., es igual a multiplicar por 0,1, 0,01, etc., la regla es la misma: mueve la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros tenga la potencia de 10.
Ejercicios (División por 10, 100...)
Resuelve las siguientes divisiones.
- 28,3 ÷ 10
- 6,5 ÷ 100
- -19,2 ÷ 1000
- 0,7 ÷ 10
- 450 ÷ 10
- -300 ÷ 100
- 582 ÷ 10
- -45,5 ÷ 10
- 2,83
- 0,065
- -0,0192
- 0,07
- 45
- -3
- 58,2
- -4,55
Caso Especial: División por 0,1, 0,01, 0,001...
Siguiendo la misma lógica, dividir por un decimal como 0,1 es lo mismo que multiplicar por su inverso.
- El inverso de 0,1 (\( \frac{1}{10} \)) es 10.
- El inverso de 0,01 (\( \frac{1}{100} \)) es 100.
Por lo tanto, ¡dividir por 0,1 es en realidad multiplicar por 10!
Dividir por un número decimal entre 0 y 1 hace que el resultado sea MÁS GRANDE que el número original. Esto ocurre porque estamos preguntando "¿cuántas veces cabe este trozo pequeño en este número más grande?".
Regla práctica: Dividir por 0,1, 0,01, etc., equivale a mover la coma hacia la derecha.
Ejercicios (División por 0,1, 0,01...)
Resuelve las siguientes divisiones.
- 5,2 ÷ 0,1
- -1,45 ÷ 0,01
- 35 ÷ 0,1
- -0,8 ÷ 0,01
- 0,08 ÷ 0,1
- -0,45 ÷ 0,1
- 0,15 ÷ 0,1
- -2,34 ÷ 0,1
- 52
- -145
- 350
- -80
- 0,8
- -4,5
- 1,5
- -23,4