5. División de Números Decimales

Idea inicial

La división de decimales cierra nuestro estudio de las operaciones básicas. Al igual que con las operaciones anteriores, existen dos formas de abordar la división: una conceptual y una práctica.

Dos estrategias para dividir

  • Estrategia 1: convertir a fracción. Este método es útil para entender la lógica detrás de la división de decimales.
  • Estrategia 2: usar el método tradicional. Este es el algoritmo práctico que se utiliza para realizar cálculos de manera eficiente.

Estrategia 1: convertir a fracción

El método conceptual

Podemos convertir los números decimales a fracciones y luego aplicar la regla de la división de fracciones: dividir por una fracción equivale a multiplicar por su inverso.

Ejemplo A: \(1{,}2\div 0{,}03\)

  1. Convertir a fracción: \(1{,}2=\frac{12}{10}\) y \(0{,}03=\frac{3}{100}\).
  2. Dividir fracciones: \[ \frac{12}{10}\div \frac{3}{100} = \frac{12}{10}\cdot \frac{100}{3} \]
  3. Resolver: \[ \frac{12\cdot 100}{10\cdot 3} = \frac{1200}{30} = 40 \]

Respuesta:

\[1{,}2\div 0{,}03=40\]

Ejercicios: método fraccionario

Resuelve las siguientes divisiones usando la estrategia de convertir a fracción.

  1. \(0{,}6\div 0{,}2\)
  2. \(1{,}5\div 0{,}05\)
  3. \(-0{,}75\div 0{,}25\)
  4. \(-1{,}4\div (-0{,}2)\)
  5. \(0{,}9\div 2\)
  6. \(0{,}2\div 0{,}5\)
  7. \(3{,}5\div 2\)
  8. \(-5{,}1\div 0{,}2\)

Estrategia 2: división tradicional

Procedimiento para dividir decimales

  1. Igualar cifras decimales: agrega ceros a la derecha hasta que el dividendo y el divisor tengan la misma cantidad de cifras después de la coma.
  2. Suprimir la coma: reescribe la división sin comas. Así los números se tratan como enteros.
  3. Dividir: realiza la división con los nuevos números enteros. Si es necesario, continúa la división para obtener cifras decimales en el cociente.
  4. Aplicar la regla de los signos: signos iguales dan resultado positivo; signos distintos dan resultado negativo.

La lógica detrás del procedimiento

Este método funciona porque si multiplicamos el dividendo y el divisor por el mismo número, el resultado de la división no cambia.

Al igualar las cifras decimales y suprimir la coma, en realidad estamos multiplicando ambos números por la misma potencia de \(10\).

Por ejemplo, en la división \(7{,}75\div 2{,}5\):

\[ \frac{7{,}75}{2{,}5} = \frac{7{,}75\cdot 100}{2{,}5\cdot 100} = \frac{775}{250} \]

Así transformamos una división con decimales en una división equivalente con números enteros.

Regla de los signos

La regla de los signos para la división es la misma que para la multiplicación:

  • Signos iguales dan resultado positivo.
  • Signos distintos dan resultado negativo.

Ejemplo: \(7{,}75\div (-2{,}5)\)

1. Igualar decimales: \(7{,}75\) tiene dos cifras decimales y \(-2{,}5\) tiene una. Agregamos un cero al divisor:

\[ 7{,}75\div (-2{,}50) \]

2. Suprimir la coma: la división equivalente es:

\[ 775\div (-250) \]

3. Dividir los valores absolutos:

   3,1
  -----
250|775,0
   750
   ---
    25,0
    25,0
    ----
       0

4. Aplicar el signo: como los signos originales son distintos, el resultado es negativo.

Respuesta:

\[ 7{,}75\div (-2{,}5)=-3{,}1 \]

Ejercicios: método práctico

Resuelve las siguientes divisiones.

  1. \(-9{,}6\div 3{,}2\)
  2. \(1{,}25\div 0{,}5\)
  3. \(-2{,}5\div (-0{,}05)\)
  4. \(6\div 0{,}3\)
  5. \(0{,}8\div 5\)
  6. \(-0{,}7\div 2\)
  7. \(15\div 4\)
  8. \(-10\div 0{,}8\)

Caso especial: división por \(10\), \(100\), \(1000\), etc.

Conectando con la multiplicación

Dividir por un número es lo mismo que multiplicar por su inverso.

  • Dividir por \(10\) es lo mismo que multiplicar por \(\frac{1}{10}\), es decir, por \(0{,}1\).
  • Dividir por \(100\) es lo mismo que multiplicar por \(\frac{1}{100}\), es decir, por \(0{,}01\).
  • Dividir por \(1000\) es lo mismo que multiplicar por \(\frac{1}{1000}\), es decir, por \(0{,}001\).

Atajo para dividir por potencias de \(10\)

Para dividir por \(10\), \(100\), \(1000\), etc., se mueve la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros tenga la potencia de \(10\).

Ejercicios: división por \(10\), \(100\), \(1000\), etc.

Resuelve las siguientes divisiones.

  1. \(28{,}3\div 10\)
  2. \(6{,}5\div 100\)
  3. \(-19{,}2\div 1000\)
  4. \(0{,}7\div 10\)
  5. \(450\div 10\)
  6. \(-300\div 100\)
  7. \(582\div 10\)
  8. \(-45{,}5\div 10\)

Caso especial: división por \(0{,}1\), \(0{,}01\), \(0{,}001\), etc.

Multiplicar por el inverso

Dividir por un decimal como \(0{,}1\), \(0{,}01\) o \(0{,}001\) equivale a multiplicar por su inverso.

  • El inverso de \(0{,}1=\frac{1}{10}\) es \(10\).
  • El inverso de \(0{,}01=\frac{1}{100}\) es \(100\).
  • El inverso de \(0{,}001=\frac{1}{1000}\) es \(1000\).

Por eso, dividir por \(0{,}1\) equivale a multiplicar por \(10\).

Una idea antiintuitiva

Dividir por un decimal entre \(0\) y \(1\) aumenta el valor absoluto del resultado.

Esto ocurre porque estamos preguntando cuántas veces cabe una cantidad pequeña dentro de otra cantidad.

Regla práctica: dividir por \(0{,}1\), \(0{,}01\), \(0{,}001\), etc., equivale a mover la coma hacia la derecha.

Ejercicios: división por \(0{,}1\), \(0{,}01\), \(0{,}001\), etc.

Resuelve las siguientes divisiones.

  1. \(5{,}2\div 0{,}1\)
  2. \(-1{,}45\div 0{,}01\)
  3. \(35\div 0{,}1\)
  4. \(-0{,}8\div 0{,}01\)
  5. \(0{,}08\div 0{,}1\)
  6. \(-0{,}45\div 0{,}1\)
  7. \(0{,}15\div 0{,}1\)
  8. \(-2{,}34\div 0{,}1\)