6. Decimales infinitos racionales y fracción generatriz

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En la lección anterior vimos que las fracciones decimales, es decir, aquellas con denominador \(10\), \(100\), \(1000\), etc., siempre generan decimales finitos. Ahora exploraremos qué sucede con el resto de las fracciones.

¿De dónde vienen los decimales infinitos?

Cuando una fracción no es equivalente a una fracción decimal, al dividir su numerador por el denominador, el resto nunca llega a ser cero. Esto provoca que las cifras decimales se repitan en un patrón infinito, creando un número decimal periódico.

Los dos tipos de decimales infinitos racionales

  • Periódicos puros: el patrón que se repite, llamado período, comienza inmediatamente después de la coma. Se escribe con una barra sobre el período. Por ejemplo: \(0{,}333...=0{,}\overline{3}\).
  • Semiperiódicos o mixtos: hay una o más cifras entre la coma y el período. Esa parte se llama anteperíodo. Por ejemplo: \(0{,}1666...=0{,}1\overline{6}\).

Diferencia entre periódico puro y semiperiódico

La siguiente tabla ayuda a visualizar la diferencia clave entre ambos tipos de decimales infinitos racionales:

Decimal periódico puro Decimal semiperiódico o mixto
El período comienza inmediatamente después de la coma. Existe un anteperíodo entre la coma y el período.
\(0{,}\overline{5}\)
Parte entera: \(0\)
Período: \(5\)		 \(0{,}91\overline{6}\)
Parte entera: \(0\)
Anteperíodo: \(91\)
Período: \(6\)
\(2{,}\overline{18}\)
Parte entera: \(2\)
Período: \(18\)		 \(1{,}2\overline{7}\)
Parte entera: \(1\)
Anteperíodo: \(2\)
Período: \(7\)
\(0{,}\overline{123}\)
Parte entera: \(0\)
Período: \(123\)		 \(4{,}00\overline{3}\)
Parte entera: \(4\)
Anteperíodo: \(00\)
Período: \(3\)

Ejercicio: identificar, clasificar y abreviar

Para cada número, identifica sus partes, clasifícalo como periódico puro o semiperiódico, y escríbelo en notación abreviada.

  1. \(0{,}5555...\)
  2. \(2{,}121212...\)
  3. \(-0{,}345345345...\)
  4. \(0{,}1666...\)
  5. \(4{,}0333...\)
  6. \(-1{,}2777...\)
  7. \(0{,}8333...\)
  8. \(5{,}010101...\)
  9. \(-0{,}123123123...\)
  10. \(0{,}41888...\)
  11. \(7{,}12343434...\)
  12. \(-0{,}00555...\)

1. De fracción a decimal infinito

Procedimiento general

Para convertir una fracción a su forma decimal, realizamos la división del numerador por el denominador hasta identificar si el decimal termina o si aparece un patrón que se repite.

Ejemplo A: convertir \( \frac{4}{33} \) a decimal

Al dividir \(4\) entre \(33\), obtenemos:

\[ \frac{4}{33}=0{,}121212... \]

El período es \(12\), y comienza inmediatamente después de la coma. Por lo tanto, es un decimal periódico puro.

Respuesta:

\[ \frac{4}{33}=0{,}\overline{12} \]

Ejemplo B: convertir \( \frac{5}{12} \) a decimal

Al dividir \(5\) entre \(12\), obtenemos:

\[ \frac{5}{12}=0{,}41666... \]

El \(41\) es el anteperíodo y el \(6\) es el período. Por lo tanto, es un decimal semiperiódico.

Respuesta:

\[ \frac{5}{12}=0{,}41\overline{6} \]

Ejercicios: convertir fracciones a decimales

Convierte las siguientes fracciones a números decimales, clasifícalos y escríbelos en notación periódica.

  1. \( \frac{2}{3} \)
  2. \( \frac{5}{6} \)
  3. \( \frac{1}{9} \)
  4. \( \frac{2}{11} \)
  5. \( \frac{7}{15} \)
  6. \( \frac{1}{12} \)
  7. \( \frac{5}{11} \)
  8. \( \frac{13}{15} \)
  9. \( \frac{1}{7} \)

2. De decimal infinito a fracción: fracción generatriz

Fracción generatriz

Todo número decimal periódico o semiperiódico puede expresarse como una fracción. Esa fracción se llama fracción generatriz.

Antes de aprender el procedimiento formal, observemos una regularidad importante en los decimales periódicos puros.

Regularidad de los periódicos puros

En los decimales periódicos puros, el período se relaciona directamente con un denominador formado por nueves.

Con 1 cifra periódica Con 2 cifras periódicas Con 3 cifras periódicas
\(0{,}\overline{1}=\frac{1}{9}\) \(0{,}\overline{12}=\frac{12}{99}\) \(0{,}\overline{101}=\frac{101}{999}\)
\(0{,}\overline{2}=\frac{2}{9}\) \(0{,}\overline{13}=\frac{13}{99}\) \(0{,}\overline{102}=\frac{102}{999}\)
\(0{,}\overline{5}=\frac{5}{9}\) \(0{,}\overline{47}=\frac{47}{99}\) \(0{,}\overline{123}=\frac{123}{999}\)
\(0{,}\overline{8}=\frac{8}{9}\) \(0{,}\overline{98}=\frac{98}{99}\) \(0{,}\overline{998}=\frac{998}{999}\)

Un caso famoso: \(0{,}999...=1\)

La regularidad anterior nos lleva a una conclusión sorprendente pero correcta:

\[ 0{,}999...=0{,}\overline{9}=\frac{9}{9}=1 \]

Por eso, el número \(1\) tiene dos representaciones decimales: \(1{,}000...\) y \(0{,}999...\).

A. Convertir un decimal periódico puro a fracción

Procedimiento para periódico puro

  1. Numerador: se escribe el número completo sin coma y se resta la parte entera.
  2. Denominador: se escriben tantos nueves como cifras tenga el período.
  3. Signo: si el decimal es negativo, el signo negativo se conserva en la fracción.

Ejemplo 1: sin parte entera

Encontrar la fracción generatriz de: \(0{,}\overline{123}\)

Numerador: el número sin coma es \(123\) y la parte entera es \(0\). Entonces:

\[ 123-0=123 \]

Denominador: el período \(123\) tiene \(3\) cifras, por lo tanto el denominador es \(999\).

\[ 0{,}\overline{123}=\frac{123}{999} \]

Simplificamos dividiendo por \(3\):

\[ \frac{123}{999}=\frac{41}{333} \]

Respuesta: \( \frac{41}{333} \).

Ejemplo 2: con parte entera

Encontrar la fracción generatriz de: \(3{,}\overline{21}\)

Numerador: el número sin coma es \(321\) y la parte entera es \(3\). Entonces:

\[ 321-3=318 \]

Denominador: el período \(21\) tiene \(2\) cifras, por lo tanto el denominador es \(99\).

\[ 3{,}\overline{21}=\frac{318}{99} \]

Simplificamos dividiendo por \(3\):

\[ \frac{318}{99}=\frac{106}{33} \]

Respuesta: \( \frac{106}{33} \).

Ejercicios: decimales periódicos puros

Encuentra la fracción generatriz y simplifícala.

  1. \(0{,}\overline{4}\)
  2. \(0{,}\overline{8}\)
  3. \(-0{,}\overline{45}\)
  4. \(0{,}\overline{123}\)
  5. \(2{,}\overline{7}\)
  6. \(4{,}\overline{5}\)
  7. \(3{,}\overline{21}\)
  8. \(1{,}\overline{234}\)

B. Convertir un decimal semiperiódico a fracción

Regularidad de los semiperiódicos

En los decimales semiperiódicos, el anteperíodo afecta tanto al numerador como al denominador de la fracción generatriz.

Decimal extendido Notación abreviada Análisis de partes Cálculo de la fracción Fracción final
\(0{,}1666...\) \(0{,}1\overline{6}\) Parte entera: \(0\)
Anteperíodo: \(1\)
Período: \(6\)		 \(\frac{16-1}{90}\) \(\frac{15}{90}=\frac{1}{6}\)
\(0{,}8333...\) \(0{,}8\overline{3}\) Parte entera: \(0\)
Anteperíodo: \(8\)
Período: \(3\)		 \(\frac{83-8}{90}\) \(\frac{75}{90}=\frac{5}{6}\)
\(0{,}12333...\) \(0{,}12\overline{3}\) Parte entera: \(0\)
Anteperíodo: \(12\)
Período: \(3\)		 \(\frac{123-12}{900}\) \(\frac{111}{900}=\frac{37}{300}\)
\(0{,}234234234...\) \(0{,}2\overline{342}\) Parte entera: \(0\)
Anteperíodo: \(2\)
Período: \(342\)		 \(\frac{2342-2}{9990}\) \(\frac{2340}{9990}=\frac{26}{111}\)
\(1{,}0333...\) \(1{,}0\overline{3}\) Parte entera: \(1\)
Anteperíodo: \(0\)
Período: \(3\)		 \(\frac{103-10}{90}\) \(\frac{93}{90}=\frac{31}{30}\)
\(12{,}05444...\) \(12{,}05\overline{4}\) Parte entera: \(12\)
Anteperíodo: \(05\)
Período: \(4\)		 \(\frac{12054-1205}{900}\) \(\frac{10849}{900}\)

Procedimiento para semiperiódico

  1. Numerador: se escribe el número completo sin coma, incluyendo parte entera, anteperíodo y período. Luego se resta el número formado por la parte entera junto al anteperíodo.
  2. Denominador: se escriben tantos nueves como cifras tenga el período, seguidos de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo.
  3. Signo: si el decimal es negativo, el signo negativo se conserva en la fracción.

No confundas anteperíodo con la parte que se resta

El anteperíodo son solo las cifras decimales que están entre la coma y el período.

La parte no periódica que se resta se forma juntando la parte entera con el anteperíodo.

Ejemplo con \(2{,}1\overline{36}\):

Anteperíodo \(1\)
Parte no periódica que se resta \(21\)

¿Un decimal semiperiódico puede tener un anteperíodo de ceros?

Sí. Un número como \(0{,}00\overline{3}\), es decir, \(0{,}00333...\), es semiperiódico.

  • El anteperíodo es \(00\).
  • El período es \(3\).

La clave es que exista al menos una cifra decimal que no se repita antes de que comience el patrón infinito.

Ejemplo 1: sin parte entera

Encontrar la fracción generatriz de: \(0{,}12\overline{6}\)

Numerador: el número completo sin coma es \(126\). La parte no periódica es \(12\). Entonces:

\[ 126-12=114 \]

Denominador: el período \(6\) tiene una cifra, por eso escribimos un \(9\). El anteperíodo \(12\) tiene dos cifras, por eso agregamos dos ceros. El denominador es \(900\).

\[ 0{,}12\overline{6}=\frac{114}{900} \]

Simplificamos dividiendo por \(6\):

\[ \frac{114}{900}=\frac{19}{150} \]

Respuesta: \( \frac{19}{150} \).

Ejemplo 2: con parte entera

Encontrar la fracción generatriz de: \(3{,}1\overline{42}\)

Numerador: el número completo sin coma es \(3142\). La parte no periódica es \(31\). Entonces:

\[ 3142-31=3111 \]

Denominador: el período \(42\) tiene dos cifras, por eso escribimos \(99\). El anteperíodo \(1\) tiene una cifra, por eso agregamos un cero. El denominador es \(990\).

\[ 3{,}1\overline{42}=\frac{3111}{990} \]

Simplificamos dividiendo por \(3\):

\[ \frac{3111}{990}=\frac{1037}{330} \]

Respuesta: \( \frac{1037}{330} \).

Ejercicios: decimales semiperiódicos

Encuentra la fracción generatriz y simplifícala.

  1. \(0{,}1\overline{6}\)
  2. \(0{,}2\overline{3}\)
  3. \(-0{,}4\overline{6}\)
  4. \(0{,}0\overline{5}\)
  5. \(2{,}8\overline{3}\)
  6. \(-5{,}1\overline{6}\)
  7. \(1{,}2\overline{18}\)
  8. \(2{,}0\overline{18}\)