Capitulo 1.2 N° Racionales , algunos decimales tambien son fracciones
7. NÚMEROS DECIMALES PERIÓDICOS Y SEMIPERIÓDICOS
En la lección anterior, vimos que las fracciones decimales (con denominador 10, 100, etc.) siempre generan decimales finitos. Ahora exploraremos qué sucede con el resto de las fracciones.
Cuando una fracción no es equivalente a una fracción decimal, al dividir su numerador por el denominador, el resto nunca llega a ser cero. Esto provoca que las cifras decimales se repitan en un patrón infinito, creando un número decimal periódico.
- Periódicos Puros: El patrón (período) comienza inmediatamente después de la coma. Se escribe con una barra sobre el período. Ej: \( 0,333... = 0,\overline{3} \)
- Semiperiódicos (o Mixtos): Hay una o más cifras entre la coma y el período, llamadas anteperíodo. Ej: \( 0,1666... = 0,1\overline{6} \)
La siguiente tabla te ayudará a visualizar la diferencia clave entre ambos tipos con más ejemplos:
| Decimal Periódico Puro | Decimal Semiperiódico (Mixto) |
|---|---|
| El período (parte que se repite) comienza inmediatamente después de la coma. | Existe un anteperíodo (parte decimal que no se repite) entre la coma y el período. |
| \( 0,\overline{5} \) Parte entera: 0 Período: 5 |
\( 0,91\overline{6} \) Parte entera: 0 Anteperíodo: 91 Período: 6 |
| \( 2,\overline{18} \) Parte entera: 2 Período: 18 |
\( 1,2\overline{7} \) Parte entera: 1 Anteperíodo: 2 Período: 7 |
| \( 0,\overline{123} \) Parte entera: 0 Período: 123 |
\( 4,00\overline{3} \) Parte entera: 4 Anteperíodo: 00 Período: 3 |
Ejercicio: Identificar, Clasificar y Abreviar
Para cada número, identifica sus partes (entera, anteperíodo, período), clasifícalo como periódico puro o semiperiódico, y escríbelo en notación abreviada.
- 0,5555...
- 2,121212...
- -0,345345345...
- 0,1666...
- 4,0333...
- -1,2777...
- 0,8333...
- 5,010101...
- -0,123123123...
- 0,41888...
- 7,12343434...
- -0,00555...
- Notación: \( 0,\overline{5} \)
Clasificación: Periódico Puro
Parte entera: 0, Período: 5 - Notación: \( 2,\overline{12} \)
Clasificación: Periódico Puro
Parte entera: 2, Período: 12 - Notación: \( -0,\overline{345} \)
Clasificación: Periódico Puro
Parte entera: 0, Período: 345 - Notación: \( 0,1\overline{6} \)
Clasificación: Semiperiódico
Parte entera: 0, Anteperíodo: 1, Período: 6 - Notación: \( 4,0\overline{3} \)
Clasificación: Semiperiódico
Parte entera: 4, Anteperíodo: 0, Período: 3 - Notación: \( -1,2\overline{7} \)
Clasificación: Semiperiódico
Parte entera: 1, Anteperíodo: 2, Período: 7 - Notación: \( 0,8\overline{3} \)
Clasificación: Semiperiódico
Parte entera: 0, Anteperíodo: 8, Período: 3 - Notación: \( 5,\overline{01} \)
Clasificación: Periódico Puro
Parte entera: 5, Período: 01 - Notación: \( -0,\overline{123} \)
Clasificación: Periódico Puro
Parte entera: 0, Período: 123 - Notación: \( 0,41\overline{8} \)
Clasificación: Semiperiódico
Parte entera: 0, Anteperíodo: 41, Período: 8 - Notación: \( 7,12\overline{34} \)
Clasificación: Semiperiódico
Parte entera: 7, Anteperíodo: 12, Período: 34 - Notación: \( -0,00\overline{5} \)
Clasificación: Semiperiódico
Parte entera: 0, Anteperíodo: 00, Período: 5
1. De Fracción a Decimal Infinito
Para convertir una fracción a su forma decimal, simplemente realizamos la división del numerador por el denominador hasta que identifiquemos el patrón que se repite.
Ejemplo A: Convertir \( \Huge \frac{4}{33} \) a decimal
Al dividir 4 entre 33, obtenemos 0,121212... Esto es un decimal periódico puro.
Respuesta: \( 0,\overline{12} \)
Ejemplo B: Convertir \( \Huge \frac{5}{12} \) a decimal
Al dividir 5 entre 12, obtenemos 0,41666... El 41 es el anteperíodo y el 6 es el período. Esto es un decimal semiperiódico.
Respuesta: \( 0,41\overline{6} \)
Ejercicios: Convertir Fracciones a Decimales
Convierte las siguientes fracciones a números decimales, clasifícalos y escríbelos en notación periódica.
- \( \frac{2}{3} \)
- \( \frac{5}{6} \)
- \( \frac{1}{9} \)
- \( \frac{2}{11} \)
- \( \frac{7}{15} \)
- \( \frac{1}{12} \)
- \( \frac{5}{11} \)
- \( \frac{13}{15} \)
- \( \frac{1}{7} \)
- 0,666... = \( 0,\overline{6} \) (Periódico puro)
- 0,8333... = \( 0,8\overline{3} \) (Semiperiódico)
- 0,111... = \( 0,\overline{1} \) (Periódico puro)
- 0,181818... = \( 0,\overline{18} \) (Periódico puro)
- 0,4666... = \( 0,4\overline{6} \) (Semiperiódico)
- 0,08333... = \( 0,08\overline{3} \) (Semiperiódico)
- 0,454545... = \( 0,\overline{45} \) (Periódico puro)
- 0,8666... = \( 0,8\overline{6} \) (Semiperiódico)
- 0,14285714... = \( 0,\overline{142857} \) (Periódico puro)
2. De Decimal Infinito a Fracción (Fracción Generatriz)
Todo número decimal periódico o semiperiódico puede expresarse como una fracción, llamada fracción generatriz. Antes de aprender el procedimiento formal, observemos una regularidad muy interesante en los periódicos puros.
Analiza las siguientes conversiones. ¿Qué patrón observas entre el período del decimal y la fracción que lo genera?
| Con 1 Cifra Periódica | Con 2 Cifras Periódicas | Con 3 Cifras Periódicas |
|---|---|---|
| \( 0,111... = 0,\overline{1} = \frac{1}{9} \) | \( 0,1212... = 0,\overline{12} = \frac{12}{99} \) | \( 0,101101... = 0,\overline{101} = \frac{101}{999} \) |
| \( 0,222... = 0,\overline{2} = \frac{2}{9} \) | \( 0,1313... = 0,\overline{13} = \frac{13}{99} \) | \( 0,102102... = 0,\overline{102} = \frac{102}{999} \) |
| \( 0,555... = 0,\overline{5} = \frac{5}{9} \) | \( 0,4747... = 0,\overline{47} = \frac{47}{99} \) | \( 0,123123... = 0,\overline{123} = \frac{123}{999} \) |
| ... | ... | ... |
| \( 0,888... = 0,\overline{8} = \frac{8}{9} \) | \( 0,9898... = 0,\overline{98} = \frac{98}{99} \) | \( 0,998998... = 0,\overline{998} = \frac{998}{999} \) |
Como puedes ver en la primera columna, la regularidad nos lleva a una conclusión sorprendente pero matemáticamente correcta: \( 0,999... = 0,\overline{9} = \frac{9}{9} = 1 \). ¡El número 1 tiene dos representaciones decimales!
A. Convertir un Decimal Periódico Puro a Fracción
- Numerador: Se escribe el número completo sin coma y si existe se le resta la parte entera.
- Denominador: Se escriben tantos nueves (9) como cifras tenga el período.
Ejemplo 1: Sin Parte Entera (0,...)
Encontrar la fracción generatriz de: \( 0,\overline{123} \)
Numerador: El número sin coma (123) menos la parte entera (0) \(\Rightarrow\) \(123 - 0 = 123\).
Denominador: El período (123) tiene 3 cifras, por lo tanto, el denominador es 999.
Fracción: \( \frac{123}{999} \), que simplificada es \( \frac{41}{333} \).
Ejemplo 2: Con Parte Entera
Encontrar la fracción generatriz de: \( 3,\overline{21} \)
Numerador: El número sin coma (321) menos la parte entera (3) \(\Rightarrow\) \(321 - 3 = 318\).
Denominador: El período (21) tiene 2 cifras, por lo tanto, el denominador es 99.
Fracción: \( \frac{318}{99} \), que simplificada es \( \frac{106}{33} \).
Ejercicios: Decimales Periódicos Puros
Encuentra la fracción generatriz y simplifícala.
- \( 0,\overline{4} \)
- \( 0,\overline{8} \)
- \( -0,\overline{45} \)
- \( 0,\overline{123} \)
- \( 2,\overline{7} \)
- \( 4,\overline{5} \)
- \( 3,\overline{21} \)
- \( 1,\overline{234} \)
- \( \frac{4}{9} \)
- \( \frac{8}{9} \)
- \( -\frac{45}{99} = -\frac{5}{11} \)
- \( \frac{123}{999} = \frac{41}{333} \)
- \( \frac{27-2}{9} = \frac{25}{9} \)
- \( \frac{45-4}{9} = \frac{41}{9} \)
- \( \frac{321-3}{99} = \frac{318}{99} = \frac{106}{33} \)
- \( \frac{1234-1}{999} = \frac{1233}{999} = \frac{137}{111} \)
B. Convertir un Decimal Semiperiódico a Fracción
Ahora, analiza estas otras conversiones. ¿Qué patrón observas aquí? Fíjate en cómo el anteperíodo (la parte que no se repite) afecta al cálculo del numerador y del denominador.
| Decimal Extendido | Notación Abreviada | Análisis de Partes | Cálculo de la Fracción | Fracción Final |
|---|---|---|---|---|
| 0,1666... | \( 0,1\overline{6} \) | Ent: 0, Ant: 1, Per: 6 | \( \frac{16-1}{90} \) | \( \frac{15}{90} = \frac{1}{6} \) |
| 0,8333... | \( 0,8\overline{3} \) | Ent: 0, Ant: 8, Per: 3 | \( \frac{83-8}{90} \) | \( \frac{75}{90} = \frac{5}{6} \) |
| 0,12333... | \( 0,12\overline{3} \) | Ent: 0, Ant: 12, Per: 3 | \( \frac{123-12}{900} \) | \( \frac{111}{900} = \frac{37}{300} \) |
| 0,234242... | \( 0,2\overline{342} \) | Ent: 0, Ant: 2, Per: 342 | \( \frac{2342-2}{9990} \) | \( \frac{2340}{9990} = \frac{234}{999} \) |
| 1,0333... | \( 1,0\overline{3} \) | Ent: 1, Ant: 0, Per: 3 | \( \frac{103-10}{90} \) | \( \frac{93}{90} = \frac{31}{30} \) |
| 12,05444... | \( 12,05\overline{4} \) | Ent: 12, Ant: 05, Per: 4 | \( \frac{12054-1205}{900} \) | \( \frac{10849}{900} \) |
- Numerador: Se escribe el número completo sin coma y se le resta el número formado por la parte entera junto al anteperíodo.
- Denominador: Se escriben tantos nueves (9) como cifras tenga el período, seguidos de tantos ceros (0) como cifras tenga el anteperíodo.
Es un error común confundir estos dos conceptos. La diferencia es clave para aplicar bien la fórmula:
- El Anteperíodo son solo las cifras decimales que están entre la coma y el período.
- La Parte no Periódica que se Resta en el numerador es el número completo que se forma al juntar la parte entera y el anteperíodo.
Ejemplo con \(2,1\overline{36}\):
| Anteperíodo: | 1 |
| Parte no Periódica (a restar): | 21 |
¡Sí! Y es un caso muy importante. Un número como \(0,00\overline{3}\) (0,00333...) es un semiperiódico.
- El anteperíodo (la parte que no se repite) es '00' (los dos ceros después de la coma).
- El período (la parte que se repite) es el 3.
La clave es que exista al menos una cifra decimal que no se repita antes de que comience el patrón infinito.
Ejemplo 1: Sin Parte Entera (0,...)
Encontrar la fracción generatriz de: \( 0,12\overline{6} \)
Numerador: Número completo (126) menos la parte no periódica (12) \(\Rightarrow\) \(126 - 12 = 114\).
Denominador: El período (6) tiene 1 cifra \(\Rightarrow\) un 9. El anteperíodo (12) tiene 2 cifras \(\Rightarrow\) dos 0s. El denominador es 900.
Fracción: \( \frac{114}{900} \), que simplificada es \( \frac{19}{150} \).
Ejemplo 2: Con Parte Entera
Encontrar la fracción generatriz de: \( 3,1\overline{42} \)
Numerador: Número completo (3142) menos la parte no periódica (31) \(\Rightarrow\) \(3142 - 31 = 3111\).
Denominador: El período (42) tiene 2 cifras \(\Rightarrow\) dos 9s. El anteperíodo (1) tiene 1 cifra \(\Rightarrow\) un 0. El denominador es 990.
Fracción: \( \frac{3111}{990} \), que simplificada es \( \frac{1037}{330} \).
Ejercicios: Decimales Semiperiódicos
Encuentra la fracción generatriz y simplifícala.
- \( 0,1\overline{6} \)
- \( 0,2\overline{3} \)
- \( -0,4\overline{6} \)
- \( 0,0\overline{5} \)
- \( 2,8\overline{3} \)
- \( -5,1\overline{6} \)
- \( 1,2\overline{18} \)
- \( 2,0\overline{18} \)
- \( \frac{16-1}{90} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6} \)
- \( \frac{23-2}{90} = \frac{21}{90} = \frac{7}{30} \)
- \( -\frac{46-4}{90} = -\frac{42}{90} = -\frac{7}{15} \)
- \( \frac{5-0}{90} = \frac{5}{90} = \frac{1}{18} \)
- \( \frac{283-28}{90} = \frac{255}{90} = \frac{17}{6} \)
- \( -\frac{516-51}{90} = -\frac{465}{90} = -\frac{31}{6} \)
- \( \frac{1218-12}{990} = \frac{1206}{990} = \frac{67}{55} \)
- \( \frac{2018-20}{990} = \frac{1998}{990} = \frac{111}{55} \)