8. Potencias de Base Decimal y Exponente Entero

Potencias con Base Decimal

Ahora que dominamos las potencias con base fraccionaria, aplicaremos esas mismas reglas al mundo de los números decimales. La buena noticia es que no hay nada nuevo que memorizar, ¡solo aplicar lo que ya sabes!

💡 ¡Las Reglas no Cambian!

Todas las propiedades de las potencias que aprendiste para las fracciones funcionan exactamente igual para los números decimales. Un decimal es simplemente otra forma de escribir una fracción.

1. Repaso Rápido de las Propiedades Fundamentales

📐 Propiedades Universales

Recordemos las reglas clave con ejemplos en base decimal:

Propiedad Regla General Ejemplo con Decimales
Exponente Natural \( a^n = a \cdot a \cdot ... \) \( (0,2)^3 = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,008 \)
Regla del Signo (Exp. Par) \( (-a)^{par} = + \) \( (-0,5)^2 = 0,25 \)
Regla del Signo (Exp. Impar) \( (-a)^{impar} = - \) \( (-0,5)^3 = -0,125 \)
Exponente Cero \( a^0 = 1 \) \( (-2,3)^0 = 1 \)
Producto de Potencias \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) \( (0,5)^2 \cdot (0,5)^3 = (0,5)^5 \)
Cociente de Potencias \( a^m \div a^n = a^{m-n} \) \( (0,8)^5 \div (0,8)^2 = (0,8)^3 \)

2. Estrategias para Calcular Potencias de Decimales

Al igual que con las otras operaciones, existen dos métodos para resolver estas potencias.

Estrategia 1: Convertir a Fracción (Método Conceptual)

Esta estrategia es muy útil para entender de dónde vienen los resultados y para conectar con lo que ya aprendimos.

Ejemplo: Calcular \( (0,5)^3 \) convirtiendo a fracción

  1. Convertir a fracción: \( 0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)
  2. Resolver la potencia de la fracción: \( \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8} \)
  3. Convertir el resultado a decimal: \( \frac{1}{8} = 1 \div 8 = 0,125 \)

Estrategia 2: Multiplicar Decimales (Método Práctico)

Este es el método directo y más rápido para el cálculo.

Ejemplo: Calcular \( (0,2)^3 \) multiplicando decimales

Simplemente multiplicamos la base por sí misma la cantidad de veces que indica el exponente:

\[ (0,2)^3 = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \]

  • Primero: \( 0,2 \cdot 0,2 = 0,04 \)
  • Luego: \( 0,04 \cdot 0,2 = 0,008 \)

3. Ejercicios Prácticos

Ejercicios Combinados

Resuelve las siguientes operaciones aplicando las propiedades de las potencias.

  1. \( (0,3)^2 \)
  2. \( (-0,5)^2 \)
  3. \( (-0,2)^3 \)
  4. \( (1,7)^0 \)
  5. \( (0,2)^3 \cdot (0,2)^2 \)
  6. \( (-1,1)^4 \cdot (-1,1)^2 \)
  7. \( (0,4)^4 \div (0,4)^2 \)
  8. \( (-0,6)^5 \div (-0,6)^2 \)
  9. \( (-1,2)^4 \div (-1,2)^4 \)
  10. \( (2,5) \cdot (2,5)^3 \)
  11. \( (a)^3 \cdot (a)^2 \)
  12. \( (-3x)^2 \)