9. Potencias de Base Decimal y Exponente Natural

Potencias de Base Decimal y Exponente Natural

🌍 ¿Dónde usamos esto?

Las potencias con base decimal son fundamentales en ciencias y finanzas. Por ejemplo, para calcular el interés compuesto de un capital que crece a una tasa del 3% (o 0.03) anual, usamos fórmulas con potencias. También aparecen en ciencias para describir el decaimiento radioactivo o el crecimiento de poblaciones de bacterias.

Definición

Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de un número por sí mismo varias veces. En el caso de las potencias de base decimal y exponente entero, la base es un número decimal y el exponente es un número entero.

📐 Fórmula General:

La potencia se escribe como \(a^n\), donde "a" es la base y "n" es el exponente. Esto significa que la base "a" se multiplica por sí misma "n" veces.

Ejemplo:

\( (0,5)^3 = 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 0,125 \)

Aquí, la base (0,5) se multiplica por sí misma 3 veces, como indica el exponente.

🤓 Un detalle importante: ¿Por qué el resultado tiene 3 decimales? Porque al multiplicar decimales, la cantidad de cifras decimales del resultado es la suma de las cifras decimales de los factores. En este caso: \( \underbrace{0,5}_{\text{1 decimal}} \cdot \underbrace{0,5}_{\text{1 decimal}} \cdot \underbrace{0,5}_{\text{1 decimal}} \). Por lo tanto, el resultado debe tener \(1+1+1=3\) decimales.

Ejercicio 1A: Potencias de Base Positiva

En este grupo, nos enfocamos en el cálculo de la potencia.

  1. \( (0,3)^2 \)
  2. \( (0,4)^3 \)
  3. \( (1,2)^4 \)
  4. \( (0,\overline{3})^2 \)
  5. \( (0,1\overline{6})^2 \)
  6. \( (0,1a)^2 \)
  7. \( (0,5b)^3 \)

propiedades de potencias con base decimal

🤓 Una Nota Sobre las Demostraciones

En este capítulo, presentaremos las propiedades de las potencias con base decimal sin demostrarlas en profundidad. ¿La razón? ¡Es un conocimiento que ya construimos!

Como vimos en el capítulo de números racionales, todo número decimal que estudiaremos (finito, periódico o semiperiódico) puede ser transformado a una fracción. Por lo tanto, las propiedades que aplicamos aquí son exactamente las mismas que ya demostramos para las potencias de base fraccionaria.

Simplemente, estamos aplicando el mismo principio a una notación diferente. Por ejemplo, demostrar una propiedad para \( (0,5)^2 \) es equivalente a hacerlo para \( (\frac{1}{2})^2 \), ¡y eso ya lo hicimos!

Base Negativa y Exponente Par o Impar

⚠️ ¡Cuidado con los signos!

Un error muy común es confundir el signo del resultado cuando la base es negativa. Recuerda que el signo del resultado depende de si el exponente es par o impar. ¡Presta mucha atención a los paréntesis!

Ejemplos:

  • \( (-0,5)^2 = (-0,5) \cdot (-0,5) = 0,25 \) (exponente par, resultado positivo)
  • \( (-0,5)^3 = (-0,5) \cdot (-0,5) \cdot (-0,5) = -0,125 \) (exponente impar, resultado negativo)
💡 Tip para recordar:

Piensa en los signos como pares de "menos por menos". Si el exponente es par, puedes formar parejas perfectas de signos negativos, y cada pareja da un resultado positivo. Si el exponente es impar, siempre sobrará un signo negativo que teñirá todo el resultado.

Ejercicio 1B: Potencias de Base Negativa

Ahora, ¡mucha atención a la regla de los signos según el exponente!

  1. \( (-0,5)^2 \)
  2. \( (-0,2)^4 \)
  3. \( (-2,5)^3 \)
  4. \( (-0,\overline{3})^3 \)
  5. \( (-0,2y)^5 \)
  6. \( (-0,1x)^2 \)

Multiplicación de Potencias de Igual Base

📐 Procedimiento:

Para multiplicar potencias de igual base, se mantiene la base y se suman los exponentes.

\( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)

Ejercicio 2: Resuelve las siguientes multiplicaciones

  1. \( (0,2)^3 \cdot (0,2)^2 \)
  2. \( (1,3)^4 \cdot (1,3) \)
  3. \( (2,5) \cdot (2,5)^3 \)
  4. \( (-0,3)^2 \cdot (-0,3)^3 \)
  5. \( (-0,7)^3 \cdot (-0,7) \)
  6. \( (-2,2)^2 \cdot (-2,2)^2 \)
  7. \( (0,\overline{6})^2 \cdot (0,\overline{6})^3 \)
  8. \( (0,8\overline{3})^4 \cdot (0,8\overline{3}) \)
  9. \( (a)^3 \cdot (a)^2 \)
  10. \( (0,2b) \cdot (0,2b)^4 \)
  11. \( (-0,\overline{1}x)^5 \cdot (-0,\overline{1}x)^2 \)

Cociente de Potencias de Igual Base

📐 Procedimiento:

Para dividir potencias de igual base, se mantiene la base y se restan los exponentes.

\( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)

🤓 Para profundizar: ¿Por qué la suma en la multiplicación?

Piensa en la multiplicación de potencias como una simple unión de factores. Si tienes \((0,2)^3 \cdot (0,2)^2\), en realidad estás juntando dos grupos de multiplicaciones:

\( \underbrace{(0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2)}_{\text{el primer grupo, (0,2)³}} \cdot \underbrace{(0,2 \cdot 0,2)}_{\text{el segundo grupo, (0,2)²}} \)

Al final, ¿cuántas veces estás multiplicando el 0,2 por sí mismo en total? Simplemente cuentas todos los factores juntos: 3 del primer grupo y 2 del segundo. En total son 5 veces, es decir, \((0,2)^5\). La suma de exponentes ( \(3+2=5\) ) es solo un atajo para contar todos los factores de una vez.

Ejercicio 3: Resuelve las siguientes divisiones

  1. \( (0,4)^4 : (0,4)^2 \)
  2. \( (1,6)^5 : (1,6)^3 \)
  3. \( (0,9)^6 : (0,9)^3 \)
  4. \( (-0,6)^5 : (-0,6)^2 \)
  5. \( (-0,5)^7 : (-0,5)^3 \)
  6. \( (-2,8)^6 : (-2,8)^2 \)
  7. \( (0,\overline{2})^5 : (0,\overline{2})^3 \)
  8. \( (0,41\overline{6})^7 : (0,41\overline{6})^5 \)
  9. \( (x)^5 : (x)^2 \)
  10. \( (-0,5z)^4 : (-0,5z) \)
🤓 Para profundizar: ¿Por qué la resta en la división?

Piensa en la división como una simplificación de fracciones. Si tienes \(\frac{(0,8)^5}{(0,8)^2}\), es lo mismo que \(\frac{0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8 \cdot \cancel{0,8} \cdot \cancel{0,8}}{1 \cdot \cancel{0,8} \cdot \cancel{0,8}}\). Puedes cancelar dos de los 0,8 de arriba con los dos de abajo. Al hacerlo, el denominador se convierte en 1.

¿Y qué te queda? Tres 0,8 multiplicándose en el numerador, es decir, \((0,8)^3\). La resta de exponentes ( \(5-2=3\) ) es solo un atajo para este proceso de cancelación.

Exponente Cero

Cualquier número o expresión (distinta de cero) elevada a la potencia cero es siempre igual a 1.

Ejercicio 4: Calcula las siguientes potencias

  1. \( (0,6)^0 \)
  2. \( (-3,2)^0 \)
  3. \( (1,2\overline{3})^0 \)
  4. \( (-0,01x)^0 \)