8. Potencias de Base Decimal y Exponente Natural

¿Dónde usamos esto?

Las potencias con base decimal aparecen en ciencias, economía y finanzas. Por ejemplo, una tasa de crecimiento del \(3\%\) puede escribirse como \(0{,}03\), y en ciertos cálculos se trabaja con potencias de números decimales.

Definición

Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de un número por sí mismo varias veces. En esta guía trabajaremos potencias cuya base puede ser un número decimal y cuyo exponente es natural. También revisaremos el caso especial del exponente cero.

Fórmula general

La potencia se escribe como \(a^n\), donde \(a\) es la base y \(n\) es el exponente.

Si \(n\) es natural, entonces:

\[ a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdots a}_{n\text{ veces}} \]

Ejemplo: \((0{,}5)^3\)

La base es \(0{,}5\) y el exponente es \(3\). Por lo tanto:

\[ (0{,}5)^3=0{,}5\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5=0{,}125 \]

El resultado tiene tres cifras decimales porque cada factor tiene una cifra decimal:

\[ 1+1+1=3 \]

Ejercicio 1A: potencias de base positiva

Calcula las siguientes potencias.

  1. \((0{,}3)^2\)
  2. \((0{,}4)^3\)
  3. \((1{,}2)^4\)
  4. \((0{,}\overline{3})^2\)
  5. \((0{,}1\overline{6})^2\)
  6. \((0{,}1a)^2\)
  7. \((0{,}5b)^3\)

Propiedades de potencias con base decimal

Una nota sobre las propiedades

Las propiedades de las potencias con base decimal son las mismas que ya se aplican a las potencias con base fraccionaria.

Esto ocurre porque todo decimal racional puede escribirse como fracción. Por ejemplo, trabajar con \((0{,}5)^2\) es equivalente a trabajar con \(\left(\frac{1}{2}\right)^2\).

Propiedades fundamentales

Propiedad Regla general Ejemplo con decimales
Exponente natural \(a^n=a\cdot a\cdot ...\cdot a\) \((0{,}2)^3=0{,}2\cdot 0{,}2\cdot 0{,}2=0{,}008\)
Base negativa y exponente par \((-a)^{\text{par}}\) es positivo \((-0{,}5)^2=0{,}25\)
Base negativa y exponente impar \((-a)^{\text{impar}}\) es negativo \((-0{,}5)^3=-0{,}125\)
Producto de potencias de igual base \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\) \((0{,}5)^2\cdot(0{,}5)^3=(0{,}5)^5\)
Cociente de potencias de igual base \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\), con \(a\neq 0\) \((0{,}8)^5\div(0{,}8)^2=(0{,}8)^3\)
Exponente cero \(a^0=1\), con \(a\neq 0\) \((-3{,}2)^0=1\)

Base negativa y exponente par o impar

Cuidado con los signos y los paréntesis

Cuando la base es negativa, el signo del resultado depende de si el exponente es par o impar.

  • Si el exponente es par, el resultado es positivo.
  • Si el exponente es impar, el resultado es negativo.

Ejemplos con base negativa

Con exponente par:

\[ (-0{,}5)^2=(-0{,}5)\cdot(-0{,}5)=0{,}25 \]

Con exponente impar:

\[ (-0{,}5)^3=(-0{,}5)\cdot(-0{,}5)\cdot(-0{,}5)=-0{,}125 \]

Tip para recordar

Piensa en los signos negativos como parejas. Cada pareja de signos negativos da un resultado positivo. Si el exponente es impar, sobra un signo negativo y el resultado final queda negativo.

Ejercicio 1B: potencias de base negativa

Calcula las siguientes potencias. Presta atención al signo del resultado.

  1. \((-0{,}5)^2\)
  2. \((-0{,}2)^4\)
  3. \((-2{,}5)^3\)
  4. \((-0{,}\overline{3})^3\)
  5. \((-0{,}2y)^5\)
  6. \((-0{,}1x)^2\)

Multiplicación de potencias de igual base

Procedimiento

Para multiplicar potencias de igual base, se mantiene la base y se suman los exponentes.

\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n} \]

¿Por qué se suman los exponentes?

Multiplicar potencias de igual base significa juntar factores iguales.

Por ejemplo:

\[ (0{,}2)^3\cdot(0{,}2)^2 = (0{,}2\cdot0{,}2\cdot0{,}2)\cdot(0{,}2\cdot0{,}2) \]

En total hay \(5\) factores iguales a \(0{,}2\), por eso:

\[ (0{,}2)^3\cdot(0{,}2)^2=(0{,}2)^5 \]

Ejercicio 2: multiplicación de potencias

Resuelve las siguientes multiplicaciones de potencias de igual base.

  1. \((0{,}2)^3\cdot(0{,}2)^2\)
  2. \((1{,}3)^4\cdot(1{,}3)\)
  3. \((2{,}5)\cdot(2{,}5)^3\)
  4. \((-0{,}3)^2\cdot(-0{,}3)^3\)
  5. \((-0{,}7)^3\cdot(-0{,}7)\)
  6. \((-2{,}2)^2\cdot(-2{,}2)^2\)
  7. \((0{,}\overline{6})^2\cdot(0{,}\overline{6})^3\)
  8. \((0{,}8\overline{3})^4\cdot(0{,}8\overline{3})\)
  9. \(a^3\cdot a^2\)
  10. \((0{,}2b)\cdot(0{,}2b)^4\)
  11. \((-0{,}\overline{1}x)^5\cdot(-0{,}\overline{1}x)^2\)

Cociente de potencias de igual base

Procedimiento

Para dividir potencias de igual base, se mantiene la base y se restan los exponentes.

\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}, \qquad a\neq 0 \]

¿Por qué se restan los exponentes?

La división de potencias de igual base puede entenderse como una simplificación de factores iguales.

Por ejemplo:

\[ \frac{(0{,}8)^5}{(0{,}8)^2} = \frac{0{,}8\cdot0{,}8\cdot0{,}8\cdot0{,}8\cdot0{,}8}{0{,}8\cdot0{,}8} \]

Se cancelan dos factores iguales en el numerador y en el denominador, quedando tres factores \(0{,}8\):

\[ \frac{(0{,}8)^5}{(0{,}8)^2}=(0{,}8)^3 \]

Ejercicio 3: cociente de potencias

Resuelve las siguientes divisiones de potencias de igual base.

  1. \((0{,}4)^4\div(0{,}4)^2\)
  2. \((1{,}6)^5\div(1{,}6)^3\)
  3. \((0{,}9)^6\div(0{,}9)^3\)
  4. \((-0{,}6)^5\div(-0{,}6)^2\)
  5. \((-0{,}5)^7\div(-0{,}5)^3\)
  6. \((-2{,}8)^6\div(-2{,}8)^2\)
  7. \((0{,}\overline{2})^5\div(0{,}\overline{2})^3\)
  8. \((0{,}41\overline{6})^7\div(0{,}41\overline{6})^5\)
  9. \(x^5\div x^2\)
  10. \((-0{,}5z)^4\div(-0{,}5z)\)

Exponente cero

Regla del exponente cero

Cualquier número o expresión distinta de cero elevada a cero es igual a \(1\).

\[ a^0=1,\qquad a\neq 0 \]

Ejercicio 4: calcula las siguientes potencias

Aplica la regla del exponente cero.

  1. \((0{,}6)^0\)
  2. \((-3{,}2)^0\)
  3. \((1{,}2\overline{3})^0\)
  4. \((-0{,}01x)^0\)