10. Potencias de Base Decimal y Exponente Entero

Potencias de Base Decimal y Exponente Entero

💡 Construyendo sobre lo aprendido

Las propiedades que veremos en esta página son como "movimientos especiales" que podemos hacer con las potencias. Dominarlas te permitirá simplificar expresiones complejas de manera muy rápida y eficiente. ¡Vamos a ello!

Potencia de una Potencia

📐 Propiedad: Para calcular la potencia de una potencia, se mantiene la base y se multiplican los exponentes.

\( ((a)^m)^n = a^{m \cdot n} \)

Ejemplo: \( ((0,5)^2)^3 = (0,5)^{2 \cdot 3} = (0,5)^6 = 0,015625 \)

Ejercicio 1: Potencia de una potencia

  1. \( ((0,2)^2)^2 \)
  2. \( ((1,5)^3)^2 \)
  3. \( ((-0,3)^2)^3 \)
  4. \( ((-1,1)^3)^2 \)
  5. \( ((0,\overline{3})^2)^3 \)
  6. \( ((0,1\overline{6})^2)^2 \)
  7. \( ((a)^2)^4 \)
  8. \( ((0,2b)^2)^3 \)
  9. \( ((-0,1x)^3)^2 \)
  10. \( ((-0,5y)^3)^3 \)
🤓 Para profundizar: ¿Por qué se multiplican los exponentes?

Imagina que la potencia interna es un "grupo". La expresión \( ((0,5)^2)^3 \) significa que tienes que repetir el grupo \( (0,5)^2 \) tres veces:

\( (0,5)^2 \cdot (0,5)^2 \cdot (0,5)^2 \)

Si expandimos eso, tenemos: \( (0,5 \cdot 0,5) \cdot (0,5 \cdot 0,5) \cdot (0,5 \cdot 0,5) \). Al final, simplemente estás contando cuántos 0,5 hay en total. Tienes 3 grupos de 2, es decir, \(2 \cdot 3 = 6\) factores. Por eso el resultado es \( (0,5)^6 \). ¡Multiplicar los exponentes es un atajo para contar los factores en grupos!

Exponente Negativo

📐 Propiedad: Una base elevada a un exponente negativo es igual al inverso multiplicativo de la base elevado al exponente positivo.

\( a^{-n} = (\frac{1}{a})^n = \frac{1}{a^n} \)

Ejemplo: \( (0,5)^{-3} = (\frac{1}{0,5})^3 = (2)^3 = 8 \)

Ejercicio 2: Exponente negativo

  1. \( (0,2)^{-1} \)
  2. \( (-0,25)^{-1} \)
  3. \( (0,5)^{-2} \)
  4. \( (-0,1)^{-3} \)
  5. \( (0,\overline{3})^{-2} \)
  6. \( (0,1\overline{6})^{-2} \)
  7. \( (a)^{-5} \)
  8. \( (0,1b)^{-3} \)
  9. \( (-0,2x)^{-2} \)
  10. \( (-0,5y)^{-3} \)
🤓 Para profundizar: ¿De dónde viene el exponente negativo?

El exponente negativo es una consecuencia lógica de la propiedad de la división. Observa qué pasa si el exponente de abajo es más grande que el de arriba:

\( \frac{(0,5)^2}{(0,5)^5} \)

  • Aplicando la propiedad de la división, restamos exponentes: \( (0,5)^{2-5} = (0,5)^{-3} \).
  • Si expandimos y cancelamos: \( \frac{\cancel{0,5} \cdot \cancel{0,5}}{0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 \cdot \cancel{0,5} \cdot \cancel{0,5}} = \frac{1}{(0,5)^3} \).

Como ambos caminos deben dar el mismo resultado, concluimos que \( (0,5)^{-3} \) es exactamente lo mismo que \( \frac{1}{(0,5)^3} \). El signo negativo en el exponente significa "inverso multiplicativo".

Producto de Potencias de Igual Exponente

📐 Propiedad: Para multiplicar potencias con el mismo exponente, se multiplican las bases y se mantiene el exponente.

\( a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \)

Ejemplo: \( (0,5)^3 \cdot (0,2)^3 = (0,5 \cdot 0,2)^3 = (0,1)^3 = 0,001 \)

Ejercicio 3: Multiplicación con igual exponente

  1. \( (0,4)^2 \cdot (0,6)^2 \)
  2. \( (1,2)^3 \cdot (0,5)^3 \)
  3. \( (2,5)^2 \cdot (0,4)^2 \)
  4. \( (-0,5)^3 \cdot (0,8)^3 \)
  5. \( (-1,2)^2 \cdot (-0,6)^2 \)
  6. \( (0,\overline{3})^2 \cdot (0,6)^2 \)
  7. \( (0,2\overline{7})^4 \cdot (1,8)^4 \)
  8. \( (a)^5 \cdot (b)^5 \)
  9. \( (0,5x)^2 \cdot (0,2y)^2 \)
  10. \( (-0,1m)^3 \cdot (2n)^3 \)
🤓 Para profundizar: ¿Por qué se pueden agrupar las bases?

Esta propiedad funciona gracias a que el orden de los factores no altera el producto (propiedad conmutativa). Si tienes \( (0,5)^3 \cdot (0,2)^3 \), al expandirlo obtienes:

\( (0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5) \cdot (0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2) \)

Como puedes multiplicar en el orden que quieras, podemos reordenarlos en parejas:

\( (0,5 \cdot 0,2) \cdot (0,5 \cdot 0,2) \cdot (0,5 \cdot 0,2) \)

Esto es simplemente el grupo \( (0,5 \cdot 0,2) \) repetido 3 veces, es decir, \( (0,5 \cdot 0,2)^3 \). ¡Agrupar las bases primero es un atajo para reordenar los factores!

Cociente de Potencias de Igual Exponente

📐 Propiedad: Para dividir potencias con el mismo exponente, se dividen las bases y se mantiene el exponente.

\( a^n : b^n = (a : b)^n \)

Ejemplo: \( (0,8)^2 : (0,4)^2 = (0,8 : 0,4)^2 = (2)^2 = 4 \)

Ejercicio 4: División con igual exponente

  1. \( (0,9)^3 : (0,3)^3 \)
  2. \( (1,5)^4 : (0,5)^4 \)
  3. \( (-0,8)^4 : (0,4)^4 \)
  4. \( (-1,5)^3 : (-0,3)^3 \)
  5. \( (0,\overline{6})^2 : (0,\overline{3})^2 \)
  6. \( (0,2\overline{7})^3 : (0,1\overline{6})^3 \)
  7. \( (a)^4 : (b)^4 \)
  8. \( (0,6x)^3 : (0,2x)^3 \)
  9. \( (-0,9m)^2 : (0,3n)^2 \)
  10. \( (xy)^5 : (0,5x)^5 \)
🤓 Para profundizar: ¿Por qué funciona también en la división?

La lógica es muy similar. Una división es una fracción. Si tienes \( (0,8)^3 : (0,4)^3 \), es lo mismo que escribir:

\( \frac{(0,8)^3}{(0,4)^3} = \frac{0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8}{0,4 \cdot 0,4 \cdot 0,4} \)

Podemos separar esta gran fracción en el producto de tres fracciones más pequeñas:

\( (\frac{0,8}{0,4}) \cdot (\frac{0,8}{0,4}) \cdot (\frac{0,8}{0,4}) \)

Esto es simplemente el grupo \( (\frac{0,8}{0,4}) \) repetido 3 veces, es decir, \( (\frac{0,8}{0,4})^3 \). Dividir las bases primero es un atajo para reagrupar la fracción.

⚠️ ¡El Paréntesis lo es Todo! La Posición del Signo Negativo

Es fundamental entender qué parte de la expresión está siendo afectada por el exponente. La regla de oro es: el exponente solo afecta a lo que tiene inmediatamente a su izquierda.

  • Caso 1: \( (-0,2)^2 \)
    El exponente está afectando al paréntesis. Por lo tanto, la base completa es -0,2. La operación es \( (-0,2) \cdot (-0,2) = +0,04 \).

  • Caso 2: \( -0,2^2 \) o \( -(0,2)^2 \)
    Aquí, el exponente solo afecta al 0,2. El signo negativo está fuera de la potencia. La operación se resuelve por orden: primero la potencia, luego el signo. Es como leer "el opuesto de 0,2 al cuadrado".
    Paso 1: \( (0,2)^2 = 0,04 \).
    Paso 2: Aplicar el signo \( \rightarrow -0,04 \).

Ambas expresiones, \( -0,2^2 \) y \( -(0,2)^2 \), significan lo mismo y dan un resultado negativo.

Ejercicio: ¿Dónde está el Signo?

Calcula las siguientes potencias, prestando mucha atención a los paréntesis.

  1. \( -0,5^2 \)
  2. \( (-0,5)^2 \)
  3. \( -(0,1)^4 \)
  4. \( (-0,1)^4 \)
  5. \( (-0,1)^3 \)
  6. \( -0,1^3 \)
  7. \( -(-0,2)^3 \)
  8. \( -(-0,2x)^2 \)