9. Potencias de Base Decimal y Exponente Entero

Construyendo sobre lo aprendido

Las propiedades que veremos en esta página permiten simplificar expresiones con potencias de manera rápida y ordenada.

Como un número decimal racional puede escribirse como fracción, las propiedades de potencias se aplican igual que con bases fraccionarias.

Condición importante

Cuando trabajamos con exponentes negativos o con divisiones de potencias, la base no puede ser cero.

Por ejemplo, \(a^{-3}\) solo está definido si \(a\neq 0\).

Potencia de una potencia

Propiedad

Para calcular la potencia de una potencia, se mantiene la base y se multiplican los exponentes.

\[ \left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n} \]

Ejemplo: potencia de una potencia

Calculemos:

\[ \left((0{,}5)^2\right)^3 \]

Aplicamos la propiedad:

\[ \left((0{,}5)^2\right)^3=(0{,}5)^{2\cdot 3}=(0{,}5)^6 \]

Luego calculamos:

\[ (0{,}5)^6=0{,}015625 \]

Ejercicio 1: potencia de una potencia

Resuelve aplicando la propiedad correspondiente.

  1. \(\left((0{,}2)^2\right)^2\)
  2. \(\left((1{,}5)^3\right)^2\)
  3. \(\left((-0{,}3)^2\right)^3\)
  4. \(\left((-1{,}1)^3\right)^2\)
  5. \(\left((0{,}\overline{3})^2\right)^3\)
  6. \(\left((0{,}1\overline{6})^2\right)^2\)
  7. \(\left(a^2\right)^4\)
  8. \(\left((0{,}2b)^2\right)^3\)
  9. \(\left((-0{,}1x)^3\right)^2\)
  10. \(\left((-0{,}5y)^3\right)^3\)

¿Por qué se multiplican los exponentes?

La expresión \(\left((0{,}5)^2\right)^3\) significa repetir el grupo \((0{,}5)^2\) tres veces:

\[ (0{,}5)^2\cdot(0{,}5)^2\cdot(0{,}5)^2 \]

Hay tres grupos de dos factores, por eso hay \(2\cdot 3=6\) factores en total:

\[ \left((0{,}5)^2\right)^3=(0{,}5)^6 \]

Exponente negativo

Propiedad

Una base distinta de cero elevada a un exponente negativo es igual al inverso multiplicativo de la base elevado al exponente positivo.

\[ a^{-n}=\left(\frac{1}{a}\right)^n=\frac{1}{a^n},\qquad a\neq 0 \]

Ejemplo: exponente negativo

Calculemos:

\[ (0{,}5)^{-3} \]

Usamos el inverso de \(0{,}5\):

\[ (0{,}5)^{-3}=\left(\frac{1}{0{,}5}\right)^3=2^3=8 \]

Ejercicio 2: exponente negativo

Resuelve las siguientes potencias. Considera que las variables representan valores distintos de cero.

  1. \((0{,}2)^{-1}\)
  2. \((-0{,}25)^{-1}\)
  3. \((0{,}5)^{-2}\)
  4. \((-0{,}1)^{-3}\)
  5. \((0{,}\overline{3})^{-2}\)
  6. \((0{,}1\overline{6})^{-2}\)
  7. \(a^{-5}\)
  8. \((0{,}1b)^{-3}\)
  9. \((-0{,}2x)^{-2}\)
  10. \((-0{,}5y)^{-3}\)

¿De dónde viene el exponente negativo?

El exponente negativo aparece al aplicar la propiedad del cociente de potencias cuando el exponente del denominador es mayor.

Por ejemplo:

\[ \frac{(0{,}5)^2}{(0{,}5)^5}=(0{,}5)^{2-5}=(0{,}5)^{-3} \]

Pero si simplificamos factores iguales, queda:

\[ \frac{(0{,}5)^2}{(0{,}5)^5}=\frac{1}{(0{,}5)^3} \]

Por eso:

\[ (0{,}5)^{-3}=\frac{1}{(0{,}5)^3} \]

Producto de potencias de igual exponente

Propiedad

Para multiplicar potencias con el mismo exponente, se multiplican las bases y se mantiene el exponente.

\[ a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n \]

Ejemplo: producto con igual exponente

\[ (0{,}5)^3\cdot(0{,}2)^3=(0{,}5\cdot0{,}2)^3=(0{,}1)^3=0{,}001 \]

Ejercicio 3: multiplicación con igual exponente

Resuelve aplicando la propiedad de potencias con igual exponente.

  1. \((0{,}4)^2\cdot(0{,}6)^2\)
  2. \((1{,}2)^3\cdot(0{,}5)^3\)
  3. \((2{,}5)^2\cdot(0{,}4)^2\)
  4. \((-0{,}5)^3\cdot(0{,}8)^3\)
  5. \((-1{,}2)^2\cdot(-0{,}6)^2\)
  6. \((0{,}\overline{3})^2\cdot(0{,}6)^2\)
  7. \((0{,}2\overline{7})^4\cdot(1{,}8)^4\)
  8. \(a^5\cdot b^5\)
  9. \((0{,}5x)^2\cdot(0{,}2y)^2\)
  10. \((-0{,}1m)^3\cdot(2n)^3\)

¿Por qué se pueden agrupar las bases?

Esta propiedad funciona porque el orden de los factores no altera el producto.

Por ejemplo:

\[ (0{,}5)^3\cdot(0{,}2)^3 = (0{,}5\cdot0{,}5\cdot0{,}5)(0{,}2\cdot0{,}2\cdot0{,}2) \]

Podemos reagrupar en parejas:

\[ (0{,}5\cdot0{,}2)(0{,}5\cdot0{,}2)(0{,}5\cdot0{,}2) \]

Por lo tanto:

\[ (0{,}5)^3\cdot(0{,}2)^3=(0{,}5\cdot0{,}2)^3 \]

Cociente de potencias de igual exponente

Propiedad

Para dividir potencias con el mismo exponente, se dividen las bases y se mantiene el exponente.

\[ a^n\div b^n=\left(\frac{a}{b}\right)^n,\qquad b\neq 0 \]

Ejemplo: cociente con igual exponente

\[ (0{,}8)^2\div(0{,}4)^2=\left(\frac{0{,}8}{0{,}4}\right)^2=2^2=4 \]

Ejercicio 4: división con igual exponente

Resuelve aplicando la propiedad de potencias con igual exponente.

  1. \((0{,}9)^3\div(0{,}3)^3\)
  2. \((1{,}5)^4\div(0{,}5)^4\)
  3. \((-0{,}8)^4\div(0{,}4)^4\)
  4. \((-1{,}5)^3\div(-0{,}3)^3\)
  5. \((0{,}\overline{6})^2\div(0{,}\overline{3})^2\)
  6. \((0{,}2\overline{7})^3\div(0{,}1\overline{6})^3\)
  7. \(a^4\div b^4\)
  8. \((0{,}6x)^3\div(0{,}2x)^3\)
  9. \((-0{,}9m)^2\div(0{,}3n)^2\)
  10. \((xy)^5\div(0{,}5x)^5\)

¿Por qué funciona también en la división?

Una división puede escribirse como fracción. Por ejemplo:

\[ (0{,}8)^3\div(0{,}4)^3= \frac{(0{,}8)^3}{(0{,}4)^3} \]

Al expandir:

\[ \frac{0{,}8\cdot0{,}8\cdot0{,}8}{0{,}4\cdot0{,}4\cdot0{,}4} \]

Podemos reagrupar:

\[ \left(\frac{0{,}8}{0{,}4}\right)\cdot \left(\frac{0{,}8}{0{,}4}\right)\cdot \left(\frac{0{,}8}{0{,}4}\right) = \left(\frac{0{,}8}{0{,}4}\right)^3 \]

El signo negativo y los paréntesis

El paréntesis lo es todo

El exponente solo afecta a lo que tiene inmediatamente a su izquierda.

Por eso, no es lo mismo \((-0{,}2)^2\) que \(-0{,}2^2\).

Comparación de casos

Caso 1: en \((-0{,}2)^2\), el exponente afecta a toda la base \(-0{,}2\):

\[ (-0{,}2)^2=(-0{,}2)(-0{,}2)=0{,}04 \]

Caso 2: en \(-0{,}2^2\), el exponente solo afecta al \(0{,}2\). El signo negativo queda fuera:

\[ -0{,}2^2=-(0{,}2^2)=-(0{,}04)=-0{,}04 \]

Ejercicio: ¿dónde está el signo?

Calcula las siguientes potencias prestando atención a los paréntesis.

  1. \(-0{,}5^2\)
  2. \((-0{,}5)^2\)
  3. \(-(0{,}1)^4\)
  4. \((-0{,}1)^4\)
  5. \((-0{,}1)^3\)
  6. \(-0{,}1^3\)
  7. \(-(-0{,}2)^3\)
  8. \(-(-0{,}2x)^2\)