Libro Decimales racionales
11. problemas usando las propiedades
Operaciones combinadas: multiplicación y división de potencias
Estrategia principal: paso a paso y de izquierda a derecha
Al enfrentar una serie de multiplicaciones y divisiones con potencias, la clave es mantener el orden. Generalmente se resuelve de izquierda a derecha, aplicando las propiedades ya conocidas.
Procedimiento general
Para resolver expresiones fraccionarias con potencias de igual base, como
\[ \frac{a^m\cdot a^n}{a^p} \]
se recomienda seguir estos pasos:
- Resolver el numerador: si hay un producto de potencias de igual base, se mantiene la base y se suman los exponentes.
- Resolver la división: se mantiene la base y se resta el exponente del denominador al exponente del numerador.
\[ \frac{a^m\cdot a^n}{a^p}=a^{m+n-p}, \qquad a\neq 0 \]
¿Por qué funciona este orden?
Considera la expresión:
\[ \frac{(0{,}2)^5\cdot(0{,}2)^3}{(0{,}2)^6} \]
En el numerador hay \(5+3=8\) factores iguales a \(0{,}2\). En el denominador hay \(6\) factores iguales a \(0{,}2\).
Al simplificar, se cancelan \(6\) factores y quedan \(2\) factores en el numerador:
\[ \frac{(0{,}2)^8}{(0{,}2)^6}=(0{,}2)^{8-6}=(0{,}2)^2 \]
Ejemplos resueltos paso a paso
Ejemplo 1: expresión fraccionaria de igual base
Resolver:
\[ \frac{(0{,}2)^5\cdot(0{,}2)^3}{(0{,}2)^6} \]
1. Numerador: sumamos exponentes:
\[ (0{,}2)^5\cdot(0{,}2)^3=(0{,}2)^8 \]
2. División: restamos exponentes:
\[ \frac{(0{,}2)^8}{(0{,}2)^6}=(0{,}2)^{8-6}=(0{,}2)^2 \]
3. Cálculo:
\[ (0{,}2)^2=0{,}04 \]
Ejemplo 2: expresión numérica combinada
Resolver:
\[ \left((0{,}5)^3\cdot(0{,}2)^3\right)^{-2} \]
1. Producto de igual exponente:
\[ (0{,}5)^3\cdot(0{,}2)^3=(0{,}5\cdot0{,}2)^3=(0{,}1)^3 \]
2. Potencia de una potencia:
\[ \left((0{,}1)^3\right)^{-2}=(0{,}1)^{3\cdot(-2)}=(0{,}1)^{-6} \]
3. Exponente negativo:
\[ (0{,}1)^{-6}=10^6=1.000.000 \]
Ejemplo 3: expresión algebraica combinada
Simplificar:
\[ \frac{(a^2)^3\cdot(b^3)^2}{(ab)^4} \]
1. Potencia de una potencia:
\[ (a^2)^3=a^6 \qquad (b^3)^2=b^6 \]
Entonces:
\[ \frac{(a^2)^3\cdot(b^3)^2}{(ab)^4} = \frac{a^6b^6}{(ab)^4} \]
2. Producto de igual exponente:
\[ a^6b^6=(ab)^6 \]
3. Cociente de igual base:
\[ \frac{(ab)^6}{(ab)^4}=(ab)^{6-4}=(ab)^2 \]
Respuesta final:
\[ (ab)^2=a^2b^2 \]
Ejemplo 4: expresión con exponentes negativos
Resolver y expresar con exponente positivo:
\[ \frac{(0{,}2)^3\cdot(0{,}2)^{-5}}{(0{,}2)^2} \]
1. Numerador:
\[ (0{,}2)^3\cdot(0{,}2)^{-5}=(0{,}2)^{3+(-5)}=(0{,}2)^{-2} \]
2. División:
\[ \frac{(0{,}2)^{-2}}{(0{,}2)^2}=(0{,}2)^{-2-2}=(0{,}2)^{-4} \]
3. Exponente positivo:
\[ (0{,}2)^{-4}=\frac{1}{(0{,}2)^4} \]
Como \((0{,}2)^4=0{,}0016\), entonces:
\[ \frac{1}{0{,}0016}=625 \]
Ejemplo 5: problema de aplicación
Problema: El área de un cuadrado es \(\left((0{,}1)^3\right)^4\text{ m}^2\). ¿Cuál es la medida de su lado?
1. Simplificar el área:
\[ \left((0{,}1)^3\right)^4=(0{,}1)^{3\cdot4}=(0{,}1)^{12} \]
2. Relacionar con el lado:
Como el área de un cuadrado es \(L^2\), se cumple:
\[ L^2=(0{,}1)^{12} \]
3. Despejar el lado:
\[ L=\sqrt{(0{,}1)^{12}}=(0{,}1)^6 \]
Respuesta: el lado del cuadrado mide \((0{,}1)^6\) metros.
Ejercicios propuestos
Tanda 1: resuelve aplicando las propiedades
- \(\frac{\left((0{,}3)^2\right)^3}{(0{,}3)^4}\)
- \((0{,}2)^4\cdot(0{,}2)^{-2}\)
- \(\left((0{,}5)^2\cdot4^2\right)^3\)
- \(\left(\frac{(0{,}6)^4}{(0{,}3)^4}\right)^{-1}\)
- \(\frac{\left((-0{,}1)^3\right)^5}{(-0{,}1)^{12}}\)
- \(\left((0{,}\overline{3})^5\cdot(0{,}\overline{3})^{-2}\right)^2\)
- \(\left((0{,}1\overline{6})^{-3}\cdot6^{-3}\right)^2\)
- \(\frac{(0{,}5x^2)^3}{(0{,}5x)^3}\)
- \(\left(\frac{(a^3b)^2}{ab^2}\right)^3\)
- \(\left(\frac{\left((0{,}2)^4\cdot5^4\right)^{-1}}{(0{,}\overline{9})^5}\right)^{-2}\)
-
\[ \frac{\left((0{,}3)^2\right)^3}{(0{,}3)^4} = \frac{(0{,}3)^6}{(0{,}3)^4} = (0{,}3)^2 = 0{,}09 \]
-
\[ (0{,}2)^4\cdot(0{,}2)^{-2} = (0{,}2)^{4+(-2)} = (0{,}2)^2 = 0{,}04 \]
-
\[ \left((0{,}5)^2\cdot4^2\right)^3 = \left((0{,}5\cdot4)^2\right)^3 = (2^2)^3 = 4^3 = 64 \]
-
\[ \left(\frac{(0{,}6)^4}{(0{,}3)^4}\right)^{-1} = \left(\left(\frac{0{,}6}{0{,}3}\right)^4\right)^{-1} = (2^4)^{-1} = 16^{-1} = \frac{1}{16} \]
-
\[ \frac{\left((-0{,}1)^3\right)^5}{(-0{,}1)^{12}} = \frac{(-0{,}1)^{15}}{(-0{,}1)^{12}} = (-0{,}1)^3 = -0{,}001 \]
-
\[ \left((0{,}\overline{3})^5\cdot(0{,}\overline{3})^{-2}\right)^2 = \left((0{,}\overline{3})^3\right)^2 = (0{,}\overline{3})^6 \]
Como \(0{,}\overline{3}=\frac{1}{3}\), entonces:
\[ (0{,}\overline{3})^6=\left(\frac{1}{3}\right)^6=\frac{1}{729} \]
-
Como \(0{,}1\overline{6}=\frac{1}{6}\), entonces:
\[ \left((0{,}1\overline{6})^{-3}\cdot6^{-3}\right)^2 = \left(\left(\frac{1}{6}\right)^{-3}\cdot6^{-3}\right)^2 \]
\[ = \left(6^3\cdot6^{-3}\right)^2 = (6^0)^2 = 1 \]
-
\[ \frac{(0{,}5x^2)^3}{(0{,}5x)^3} = \left(\frac{0{,}5x^2}{0{,}5x}\right)^3 = x^3,\qquad x\neq0 \]
-
\[ \left(\frac{(a^3b)^2}{ab^2}\right)^3 = \left(\frac{a^6b^2}{ab^2}\right)^3 = (a^5)^3 = a^{15} \]
-
Como \(0{,}2\cdot5=1\) y \(0{,}\overline{9}=1\), entonces:
\[ \left(\frac{\left((0{,}2)^4\cdot5^4\right)^{-1}}{(0{,}\overline{9})^5}\right)^{-2} = \left(\frac{\left((0{,}2\cdot5)^4\right)^{-1}}{1^5}\right)^{-2} \]
\[ = \left(\frac{(1^4)^{-1}}{1}\right)^{-2} = 1 \]
Tanda 2: piensa un poco más
- Resuelve: \(\frac{(0{,}1)^4\cdot(0{,}1)^5}{(0{,}1)^2\cdot(0{,}1)^3}\)
- Resuelve con exponente negativo: \((0{,}2)^5\cdot(0{,}2)^{-3}\)
- Resuelve y expresa con exponente positivo: \(\frac{(0{,}5)^4}{(0{,}5)^7}\)
- Calcula: \(\frac{\left((0{,}7)^3\right)^2\cdot(0{,}7)^{-6}}{(-2{,}5)^0}\)
- El área de un rectángulo es \((0{,}5)^8\text{ cm}^2\). Si su ancho mide \((0{,}5)^3\text{ cm}\), ¿cuál es su largo?
- El volumen de un cubo es \((0{,}2)^{12}\text{ m}^3\). ¿Cuál es la medida de su arista?
- Simplifica la expresión: \(\frac{(ax)^m\cdot(ax)^n}{(ax)^p}\)
- Resuelve y expresa como fracción: \(\frac{(0{,}\overline{6})^2}{(0{,}\overline{6})^4}\)
- Simplifica: \(\frac{\left((0{,}1a)^3\cdot(0{,}1a)^4\right)^2}{\left((0{,}1a)^5\right)^2}\)
- Un estudiante resolvió \(\frac{(-0{,}2)^3}{(-0{,}2)^5}\) como \((-0{,}2)^2=0{,}04\). ¿Dónde está el error y cuál es la respuesta correcta?
-
Primero sumamos exponentes en numerador y denominador:
\[ \frac{(0{,}1)^4\cdot(0{,}1)^5}{(0{,}1)^2\cdot(0{,}1)^3} = \frac{(0{,}1)^9}{(0{,}1)^5} = (0{,}1)^{9-5} = (0{,}1)^4 = 0{,}0001 \]
-
\[ (0{,}2)^5\cdot(0{,}2)^{-3} = (0{,}2)^{5+(-3)} = (0{,}2)^2 = 0{,}04 \]
-
\[ \frac{(0{,}5)^4}{(0{,}5)^7} = (0{,}5)^{4-7} = (0{,}5)^{-3} \]
Con exponente positivo:
\[ (0{,}5)^{-3} = \frac{1}{(0{,}5)^3} = \frac{1}{0{,}125} = 8 \]
-
\[ \frac{\left((0{,}7)^3\right)^2\cdot(0{,}7)^{-6}}{(-2{,}5)^0} = \frac{(0{,}7)^6\cdot(0{,}7)^{-6}}{1} = (0{,}7)^{6-6} = (0{,}7)^0 = 1 \]
-
El largo se obtiene dividiendo área por ancho:
\[ \text{Largo} = \frac{(0{,}5)^8}{(0{,}5)^3} = (0{,}5)^{8-3} = (0{,}5)^5 = 0{,}03125 \]
El largo mide \(0{,}03125\text{ cm}\).
-
Si \(a\) es la arista del cubo, entonces:
\[ a^3=(0{,}2)^{12} \]
Por lo tanto:
\[ a=\sqrt[3]{(0{,}2)^{12}}=(0{,}2)^4=0{,}0016 \]
La arista mide \(0{,}0016\text{ m}\).
-
\[ \frac{(ax)^m\cdot(ax)^n}{(ax)^p} = \frac{(ax)^{m+n}}{(ax)^p} = (ax)^{m+n-p} \]
Esta simplificación requiere \(ax\neq0\).
-
\[ \frac{(0{,}\overline{6})^2}{(0{,}\overline{6})^4} = (0{,}\overline{6})^{2-4} = (0{,}\overline{6})^{-2} \]
Como \(0{,}\overline{6}=\frac{2}{3}\), entonces:
\[ \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} \]
-
Primero simplificamos el numerador:
\[ (0{,}1a)^3\cdot(0{,}1a)^4=(0{,}1a)^7 \]
Luego elevamos al cuadrado:
\[ \left((0{,}1a)^7\right)^2=(0{,}1a)^{14} \]
El denominador es:
\[ \left((0{,}1a)^5\right)^2=(0{,}1a)^{10} \]
Entonces:
\[ \frac{(0{,}1a)^{14}}{(0{,}1a)^{10}} = (0{,}1a)^4 = 0{,}0001a^4 \]
-
El error está en restar los exponentes al revés. En un cociente de potencias de igual base se resta:
\[ \text{exponente del numerador} - \text{exponente del denominador} \]
Por lo tanto:
\[ \frac{(-0{,}2)^3}{(-0{,}2)^5} = (-0{,}2)^{3-5} = (-0{,}2)^{-2} \]
Ahora expresamos con exponente positivo:
\[ (-0{,}2)^{-2} = \left(\frac{1}{-0{,}2}\right)^2 = (-5)^2 = 25 \]
La respuesta correcta es \(25\).