11. problemas usando las propiedades

Operaciones Combinadas: Multiplicación y División de Potencias

Estrategia y Conceptos Clave

💡 Estrategia Principal: Paso a Paso y de Izquierda a Derecha

Al enfrentar una serie de multiplicaciones y divisiones con potencias, no hay que asustarse. La clave es el orden. Generalmente, se resuelve de izquierda a derecha, aplicando las propiedades que ya conoces.

📐 Procedimiento General

Para resolver expresiones fraccionarias con potencias de igual base, como \( \frac{a^m \cdot a^n}{a^p} \), se recomienda seguir estos pasos:

  1. Resolver el numerador: Si hay un producto de potencias de igual base, se mantiene la base y se suman los exponentes (\(a^{m+n}\)).
  2. Resolver la división: Se mantiene la base y se resta el exponente del denominador del exponente del numerador (\(a^{(m+n)-p}\)).
🤓 Para profundizar: ¿Por qué funciona este orden?

Imagina la expresión \( \frac{(0,2)^5 \cdot (0,2)^3}{(0,2)^6} \). Si la expandimos, tenemos 8 factores de 0,2 en el numerador y 6 en el denominador.

El paso de "sumar exponentes" es el atajo para contar los 8 factores de arriba. El paso de "restar exponentes" es el atajo para cancelar los 6 factores de abajo con 6 de los de arriba. Al final, sobreviven solo 2 factores, es decir, \( (0,2)^2 \).

Ejemplos Resueltos Paso a Paso

Ejemplo 1 (General):

Resolver \( \frac{(0,2)^5 \cdot (0,2)^3}{(0,2)^6} \)

1. Numerador: Sumamos exponentes \( 5+3=8 \). La expresión queda \( \frac{(0,2)^8}{(0,2)^6} \).

2. División: Restamos exponentes \( 8-6=2 \). El resultado es \( (0,2)^2 \).

3. Cálculo: \( (0,2)^2 = 0,04 \).

Ejemplo 2 (Numérico Combinado):

Resolver \( ((0,5)^3 \cdot (0,2)^3)^{-2} \)

1. Interior del Paréntesis (Producto de igual exponente): Multiplicamos las bases \( 0,5 \cdot 0,2 = 0,1 \). La expresión se convierte en \( (0,1)^3 \).

2. Potencia de una Potencia: Ahora tenemos \( ((0,1)^3)^{-2} \). Multiplicamos los exponentes \( 3 \cdot (-2) = -6 \). El resultado es \( (0,1)^{-6} \).

3. Exponente Negativo y Cálculo: Invertimos la base (el inverso de 0,1 es 10). La expresión final es \( (10)^6 = 1.000.000 \).

Ejemplo 3 (Algebraico Combinado):

Simplificar \( \frac{((a^2)^3 \cdot (b^3)^2)}{(ab)^4} \)

1. Numerador (Potencia de potencia): Multiplicamos exponentes en cada factor: \( (a^2)^3 = a^6 \) y \( (b^3)^2 = b^6 \). La expresión es \( \frac{a^6 \cdot b^6}{(ab)^4} \).

2. Numerador (Producto de igual exponente): Agrupamos las bases: \( a^6 \cdot b^6 = (ab)^6 \). La expresión es \( \frac{(ab)^6}{(ab)^4} \).

3. División (Cociente de igual base): Restamos los exponentes \( 6-4=2 \). El resultado es \( (ab)^2 \).

Respuesta Final: \( a^2b^2 \).

Ejemplo 4 (Con Exponentes Negativos):

Resolver y expresar con exponente positivo: \( \frac{(0,2)^3 \cdot (0,2)^{-5}}{(0,2)^2} \)

1. Numerador: Sumamos exponentes \( 3 + (-5) = -2 \). La expresión se convierte en \( \frac{(0,2)^{-2}}{(0,2)^2} \).

2. División: Restamos exponentes \( -2 - 2 = -4 \). El resultado es \( (0,2)^{-4} \).

3. Exponente positivo: Aplicamos la propiedad del exponente negativo. \( (0,2)^{-4} = \frac{1}{(0,2)^4} = \frac{1}{0,0016} = 625 \).

Ejemplo 5 (Problema de Aplicación):

El área de un cuadrado es \( ((0,1)^3)^4 \text{ m}^2 \). ¿Cuál es la medida de su lado?

1. Simplificar el área: Aplicamos potencia de una potencia. Área = \( (0,1)^{3 \cdot 4} = (0,1)^{12} \text{ m}^2 \).

2. Relacionar con el lado: Sabemos que Área = Lado². Por lo tanto, Lado² = \( (0,1)^{12} \).

3. Despejar el lado: Sacamos la raíz cuadrada (elevar a \( \frac{1}{2} \)).
Lado = \( ((0,1)^{12})^{\frac{1}{2}} = (0,1)^{12 \cdot \frac{1}{2}} = (0,1)^6 \).

Respuesta: El lado del cuadrado mide \( (0,1)^6 \) metros.

Ejercicios Propuestos

Tanda 1: Resuelve aplicando las propiedades

  1. \( \frac{((0,3)^2)^3}{(0,3)^4} \)
  2. \( (0,2)^4 \cdot (0,2)^{-2} \)
  3. \( ((0,5)^2 \cdot (4)^2)^3 \)
  4. \( (\frac{(0,6)^4}{(0,3)^4})^{-1} \)
  5. \( \frac{((-0,1)^3)^5}{(-0,1)^{12}} \)
  6. \( ((0,\overline{3})^5 \cdot (0,\overline{3})^{-2})^2 \)
  7. \( ( (0,1\overline{6})^{-3} \cdot (6)^{-3} )^2 \)
  8. \( \frac{(0,5x^2)^3}{(0,5x)^3} \)
  9. \( (\frac{(a^3b)^2}{(ab^2)})^3 \)
  10. \( (\frac{((0,2)^4 \cdot (5)^4)^{-1}}{(0,\overline{9})^5})^{-2} \)

Tanda 2: Piensa un poco más

  1. Resuelve: \( \frac{(0,1)^4 \cdot (0,1)^5}{(0,1)^2 \cdot (0,1)^3} \)
  2. Resuelve (con exponente negativo): \( (0,2)^5 \cdot (0,2)^{-3} \)
  3. Resuelve y expresa con exponente positivo: \( \frac{(0,5)^4}{(0,5)^7} \)
  4. Calcula: \( \frac{((0,7)^3)^2 \cdot (0,7)^{-6}}{(-2,5)^0} \)
  5. El área de un rectángulo es \( (0,5)^8 \text{ cm}^2 \). Si su ancho mide \( (0,5)^3 \text{ cm} \), ¿cuál es su largo?
  6. El volumen de un cubo es \( (0,2)^{12} \text{ m}^3 \). ¿Cuál es la medida de su arista?
  7. Simplifica la expresión: \( \frac{(ax)^m \cdot (ax)^n}{(ax)^p} \)
  8. Resuelve y expresa como fracción: \( \frac{(0,\overline{6})^2}{(0,\overline{6})^4} \)
  9. Simplifica: \( \frac{((0,1a)^3 \cdot (0,1a)^4)^2}{((0,1a)^5)^2} \)
  10. Un estudiante resolvió \( \frac{(-0,2)^3}{(-0,2)^5} \) como \( (-0,2)^2 = 0,04 \). ¿Dónde está el error y cuál es la respuesta correcta?