Repaso de Funciones y Conceptos Clave
Requisitos de finalización
2. Potencias y Exponentes
Potencias y Exponentes: Propiedades y Operaciones
💡 ¿Qué son las Potencias?
Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación repetida de un mismo número (la base) por sí mismo. El número de veces que se multiplica la base se llama exponente.
Notación: \( b^n \)
- \( b \): base (el número que se multiplica).
- \( n \): exponente (cuántas veces se multiplica la base).
Ejemplo: \( 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \)
📐 Propiedades Fundamentales de las Potencias
Estas propiedades son esenciales para trabajar con funciones exponenciales y logarítmicas. ¡Asegúrate de dominarlas!
- Producto de potencias de igual base: \( b^m \cdot b^n = b^{m+n} \) (Se suman los exponentes).
Ejemplo: \( 2^3 \cdot 2^2 = 2^{5} = 32 \) - Cociente de potencias de igual base: \( \frac{b^m}{b^n} = b^{m-n} \) (Se restan los exponentes).
Ejemplo: \( 5^4 / 5^2 = 5^2 = 25 \) - Potencia de una potencia: \( (b^m)^n = b^{m \cdot n} \) (Se multiplican los exponentes).
Ejemplo: \( (3^2)^3 = 3^6 = 729 \) - Exponente cero: \( b^0 = 1 \) (para \(b \neq 0\)).
Ejemplo: \( 7^0 = 1 \) - Exponente negativo: \( b^{-n} = \frac{1}{b^n} \) (para \(b \neq 0\)).
Ejemplo: \( 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \) - Exponente fraccionario (raíces): \( b^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{b^m} \)
Ejemplo: \( 8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4 \) - Potencia de un producto: \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \)
Ejemplo: \( (2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3= 1000 \) - Potencia de un cociente: \( (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} \)
Ejemplo: \( (\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27} \)
Ejercicios
1. \( 5^2 \cdot 5^3 \)
\(5^{2+3} = 5^5 = 3125\)
2. \( \frac{7^6}{7^4} \)
\(7^{6-4} = 7^2 = 49\)
3. \( (3^4)^2 \)
\(3^{4 \cdot 2} = 3^8 = 6561\)
4. \( 12^0 \)
1
5. \( 4^{-2} \)
\( \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} \)
6. \( 25^{\frac{1}{2}} \)
\( \sqrt{25} = 5 \)
7. \( 8^{\frac{2}{3}} \)
\( (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4 \)
8. \( (2x)^3 \)
\( 2^3 \cdot x^3 = 8x^3 \)
9. \( (\frac{3}{4})^2 \)
\( \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16} \)
10. \( \frac{x^7}{x^5} \) (x ≠ 0)
\( x^{7-5} = x^2 \)
11. \( (a^2b^3)^4 \)
\( a^{2 \cdot 4}b^{3 \cdot 4} = a^8b^{12} \)
12. \( 5^{-3} \)
\( \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125} \)
13. \( \frac{x^4y^2}{x^2y^5} \) (x, y ≠ 0)
\( x^{4-2}y^{2-5} = x^2y^{-3} = \frac{x^2}{y^3} \)
14. \( (9x^6)^{\frac{1}{2}} \)
\( \sqrt{9} \cdot (x^6)^{\frac{1}{2}} = 3x^{3} \)
15. \( \frac{1}{x^{-4}} \) (x ≠ 0)
\( x^4 \)
16. \( (3x^2y^{-1})^2(2xy^3) \)
\( (9x^4y^{-2})(2xy^3) = 18x^{5}y^{1} = 18x^5y \)
17. \( \sqrt[4]{x^8} \) (x ≥ 0)
\( (x^8)^{\frac{1}{4}} = x^2 \)
18. \( \frac{4a^3b^{-2}}{2a^{-1}b} \)
\( 2a^{3-(-1)}b^{-2-1} = 2a^4b^{-3} = \frac{2a^4}{b^3} \)
19. \( (x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{2}{3}})^6 \)
\( x^{\frac{1}{2} \cdot 6} y^{\frac{2}{3} \cdot 6} = x^3y^4 \)
20. \( \sqrt[5]{32x^{10}y^{15}} \)
\( 32^{\frac{1}{5}} x^{\frac{10}{5}} y^{\frac{15}{5}} = 2x^2y^3 \)
21. Simplifica \( \frac{x^{-2} + y^{-2}}{x^{-1}y^{-1}} \)
\[ \frac{\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2}}{\frac{1}{xy}} = \frac{\frac{y^2 + x^2}{x^2y^2}}{\frac{1}{xy}} = \frac{y^2 + x^2}{x^2y^2} \cdot \frac{xy}{1} = \frac{y^2 + x^2}{xy} \]
22. Simplifica \( \sqrt[3]{27x^6y^9} \)
\( (27)^{\frac{1}{3}} (x^6)^{\frac{1}{3}} (y^9)^{\frac{1}{3}} = 3x^2y^3 \)
🌍 Problemas de Aplicación
23. La población de una bacteria se duplica cada hora. Si inicialmente hay 100 bacterias, ¿cuántas habrá después de 5 horas?
La población se multiplica por 2 cada hora. Después de 5 horas, se habrá multiplicado por \(2^5 = 32\).
Total = \(100 \cdot 2^5 = 100 \cdot 32 = 3200\) bacterias.
Total = \(100 \cdot 2^5 = 100 \cdot 32 = 3200\) bacterias.
24. Un material radiactivo se reduce a la mitad cada 10 años. Si inicialmente hay 1000 gramos, ¿cuántos gramos quedarán después de 30 años?
En 30 años hay 3 períodos de 10 años, por lo que la cantidad se reduce a la mitad 3 veces.
Total = \(1000 \cdot (\frac{1}{2})^3 = 1000 \cdot \frac{1}{8} = 125\) gramos.
Total = \(1000 \cdot (\frac{1}{2})^3 = 1000 \cdot \frac{1}{8} = 125\) gramos.
25. El área de un cuadrado es \(x^6\). ¿Cuál es la longitud de su lado?
La longitud del lado es la raíz cuadrada del área.
Lado = \(\sqrt{x^6} = (x^6)^{\frac{1}{2}} = x^{3}\).
Lado = \(\sqrt{x^6} = (x^6)^{\frac{1}{2}} = x^{3}\).