3. Introducción a las Tasas de Cambio

Introducción a las Tasas de Cambio

💡 Cambio Constante vs. Cambio Variable

En el mundo real, las cosas cambian. Algunas lo hacen a un ritmo constante (como un auto a velocidad fija), mientras que otras lo hacen a un ritmo variable (como el crecimiento de una planta). Entender la diferencia es crucial para el modelado matemático.

Ejemplo de Cambio Constante (Función Lineal)
Un automóvil viaja a 60 km/h. Cada hora, la distancia aumenta en exactamente 60 km. Su gráfico es una línea recta.
Ejemplo de Cambio Variable (Función No Lineal)
El crecimiento de una planta. Puede crecer 1 cm el primer día, 2 cm el segundo, 3 cm el tercero, etc. El ritmo de crecimiento no es el mismo cada día. Su gráfico es una curva.

📐 Tasa de Cambio Promedio

Mide cuánto cambia una cantidad en relación a otra, en un intervalo determinado. Se calcula con la siguiente fórmula:

Tasa de Cambio Promedio = \(\frac{\text{Cambio en y}}{\text{Cambio en x}} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)

🤓 Interpretación Gráfica

En un gráfico, la tasa de cambio promedio entre dos puntos \((x_1, y_1)\) y \((x_2, y_2)\) es simplemente la pendiente de la recta secante que une esos dos puntos.

  • Tasa positiva: La recta secante sube (la función crece en ese intervalo).
  • Tasa negativa: La recta secante baja (la función decrece en ese intervalo).
  • Tasa cero: La recta secante es horizontal (no hay cambio neto en ese intervalo).

Ejercicios

1. La tabla muestra la distancia recorrida por un ciclista:
Tiempo (min) Distancia (m)
0 0
10 500
20 1000
30 1500
  1. Calcula la tasa de cambio promedio entre 0 y 10 minutos.
  2. Calcula la tasa de cambio promedio entre 10 y 20 minutos.
  3. ¿La tasa de cambio es constante? ¿Qué tipo de función es?
2. La tabla muestra la temperatura de una taza de café:
Tiempo (min) Temperatura (°C)
0 90
5 70
10 55
15 45
  1. Calcula la tasa de cambio promedio entre 0 y 5 minutos.
  2. Calcula la tasa de cambio promedio entre 10 y 15 minutos.
  3. ¿La tasa de cambio es constante?
3. Un gráfico muestra la altura de un cohete de juguete. En el segundo 1 está a 10 metros, y en el segundo 3 alcanza su altura máxima de 50 metros. Luego, en el segundo 5, cae de vuelta al suelo (0 metros).
  1. ¿Cuál es la tasa de cambio promedio durante el ascenso (entre t=1 y t=3)?
  2. ¿Cuál es la tasa de cambio promedio durante el descenso (entre t=3 y t=5)?