Libro de datos y modelos probabilisticos
2. Situaciones de dos resultados posibles
Situaciones de dos resultados posibles
Presentación
En muchas situaciones aleatorias, cada intento puede clasificarse en solo dos resultados posibles. Por ejemplo: acertar o fallar, aprobar o no aprobar, encender o no encender, ganar o perder. A este tipo de situaciones las describiremos con las categorías éxito y fracaso.
Esta idea será la base para estudiar más adelante el modelo binomial. Por ahora, nos interesa reconocer cuándo una situación puede representarse con estos dos resultados y cómo describirla correctamente.
Objetivo de la página
- Reconocer situaciones que pueden clasificarse en dos resultados posibles.
- Determinar si una situación puede modelarse como éxito o fracaso.
- Identificar qué se considera éxito y qué se considera fracaso según el contexto.
- Definir con claridad el éxito en un experimento aleatorio.
- Relacionar experiencias cotidianas con la lógica inicial del modelo binomial.
- Calcular probabilidades simples asociadas a éxito o fracaso.
- Usar \(P(\text{fracaso})=1-p\) cuando \(p\) es la probabilidad de éxito.
Idea central
En un experimento de dos resultados posibles, cada ensayo se clasifica en una de estas dos categorías:
- Éxito: ocurre el resultado que nos interesa observar.
- Fracaso: no ocurre el resultado que nos interesa observar.
Si la probabilidad de éxito es \(p\), entonces la probabilidad de fracaso es:
Idea clave
Éxito no significa necesariamente “algo bueno”. En probabilidad, éxito es simplemente el resultado que decidimos estudiar.
Por ejemplo, al lanzar una moneda, si estamos interesados en obtener sello, entonces:
- Éxito: obtener sello.
- Fracaso: no obtener sello.
Error frecuente
No confundas “éxito” con “resultado favorable en la vida real”. En matemáticas, éxito es solo la categoría que definimos como importante para el problema.
Situaciones cotidianas de éxito y fracaso
| Situación | Éxito | Fracaso |
|---|---|---|
| Lanzar una moneda | Obtener cara | No obtener cara |
| Responder una pregunta | Responder correctamente | No responder correctamente |
| Fabricar una pieza | La pieza no tiene defectos | La pieza tiene defecto |
| Lanzar un dado | Obtener un número par | No obtener un número par |
| Lanzar al aro en básquetbol | Encestar | No encestar |
Ejemplo guiado 1
Se lanza una moneda equilibrada y se define como éxito “obtener cara”.
Los resultados posibles son:
\[ \{\text{cara},\text{sello}\} \]
Si el éxito es obtener cara, entonces el fracaso es no obtener cara, es decir, obtener sello.
- \(P(\text{éxito})=P(\text{cara})=\frac{1}{2}\)
- \(P(\text{fracaso})=P(\text{sello})=\frac{1}{2}\)
Ejemplo guiado 2
Se lanza un dado equilibrado y se define como éxito “obtener un número mayor que \(4\)”.
El espacio muestral es:
\[ \{1,2,3,4,5,6\} \]
Los resultados de éxito son:
\[ \{5,6\} \]
Por lo tanto:
\[ P(\text{éxito})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \]
La probabilidad de fracaso es:
\[ P(\text{fracaso})=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} \]
Ejemplo guiado 3
En una caja hay \(7\) ampolletas buenas y \(3\) defectuosas. Se extrae una al azar. Se define éxito como “extraer una ampolleta defectuosa”.
Total de ampolletas:
\[ 7+3=10 \]
Como hay \(3\) ampolletas defectuosas, los casos favorables al éxito son \(3\).
\[ P(\text{éxito})=\frac{3}{10} \]
Entonces:
\[ P(\text{fracaso})=1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10} \]
En este caso, el fracaso corresponde a extraer una ampolleta buena.
¿Por qué esto prepara el modelo binomial?
Porque en el modelo binomial se repite varias veces un mismo tipo de ensayo y en cada uno solo hay dos opciones: éxito o fracaso. En esta página todavía trabajamos con situaciones simples, pero ya estamos construyendo esa idea.
Aplicación en el mundo real
En encuestas, controles de calidad, medicina, deportes y estudios de opinión se analizan muchas veces variables de dos resultados: sí/no, aprueba/no aprueba, compra/no compra, presenta falla/no presenta falla. Por eso este modelo es tan importante.
Ejercicios
Ejercicio 1
Indica si la siguiente situación puede modelarse con dos resultados posibles:
“Se lanza una moneda y se observa si sale cara”.
Luego identifica el éxito y el fracaso.
Sí, puede modelarse con dos resultados posibles, porque solo interesa distinguir si ocurre o no ocurre el evento “sale cara”.
- Éxito: obtener cara.
- Fracaso: no obtener cara, es decir, obtener sello.
Ejercicio 2
En una prueba de selección múltiple se considera éxito “responder correctamente una pregunta”.
Escribe cuál sería el fracaso.
El fracaso es no responder correctamente la pregunta.
Esto incluye equivocarse o no responder, si el contexto del problema considera ambas situaciones como no correctas.
Ejercicio 3
Se lanza un dado equilibrado y se define como éxito “obtener un número par”.
- Escribe los resultados de éxito.
- Calcula la probabilidad de éxito.
- Calcula la probabilidad de fracaso.
El espacio muestral del dado es:
\[ \{1,2,3,4,5,6\} \]
a) Los resultados de éxito son:
\[ \{2,4,6\} \]
b) Hay \(3\) casos favorables de \(6\) posibles:
\[ P(\text{éxito})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]
c) La probabilidad de fracaso es:
\[ P(\text{fracaso})=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \]
Ejercicio 4
En una bolsa hay \(6\) fichas rojas y \(4\) fichas azules. Se extrae una ficha al azar. Se define éxito “obtener una ficha azul”.
- Calcula la probabilidad de éxito.
- Calcula la probabilidad de fracaso.
Primero calculamos el total de fichas:
\[ 6+4=10 \]
a) Como hay \(4\) fichas azules, la probabilidad de éxito es:
\[ P(\text{éxito})=\frac{4}{10}=\frac{2}{5} \]
b) El fracaso es no obtener una ficha azul, es decir, obtener una ficha roja:
\[ P(\text{fracaso})=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5} \]
Ejercicio 5
Una ruleta tiene \(5\) sectores iguales numerados del \(1\) al \(5\). Se define éxito “obtener un número menor que \(3\)”.
- Escribe los resultados que corresponden al éxito.
- Calcula la probabilidad de éxito.
- Calcula la probabilidad de fracaso.
Los resultados posibles son:
\[ \{1,2,3,4,5\} \]
a) Los números menores que \(3\) son:
\[ \{1,2\} \]
b) Hay \(2\) casos favorables de \(5\) posibles:
\[ P(\text{éxito})=\frac{2}{5} \]
c) La probabilidad de fracaso es:
\[ P(\text{fracaso})=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5} \]
Ejercicio 6
Se extrae al azar una carta numerada del \(1\) al \(12\). Se define éxito “obtener un múltiplo de \(4\)”.
- ¿Cuáles son los resultados de éxito?
- ¿Cuál es la probabilidad de éxito?
- ¿Cuál es la probabilidad de fracaso?
Los resultados posibles son los números del \(1\) al \(12\).
a) Los múltiplos de \(4\) entre \(1\) y \(12\) son:
\[ \{4,8,12\} \]
b) Hay \(3\) resultados de éxito de \(12\) posibles:
\[ P(\text{éxito})=\frac{3}{12}=\frac{1}{4} \]
c) La probabilidad de fracaso es:
\[ P(\text{fracaso})=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} \]
Ejercicio 7
En una fábrica, una pieza puede salir defectuosa o sin defecto. En un lote pequeño se observa que \(2\) de \(20\) piezas son defectuosas.
- Si se define éxito “la pieza es defectuosa”, ¿cuál es la probabilidad de éxito?
- ¿Cuál es la probabilidad de fracaso?
a) Como \(2\) de \(20\) piezas son defectuosas:
\[ P(\text{éxito})=\frac{2}{20}=\frac{1}{10} \]
b) El fracaso corresponde a que la pieza no sea defectuosa:
\[ P(\text{fracaso})=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10} \]
Ejercicio 8
En un lanzamiento de básquetbol se considera éxito “encestar”. Si una jugadora encesta \(7\) de cada \(10\) lanzamientos en promedio, responde:
- ¿Cuál es la probabilidad de éxito?
- ¿Cuál es la probabilidad de fracaso?
a) Si encesta \(7\) de cada \(10\) lanzamientos, la probabilidad de éxito es:
\[ P(\text{éxito})=\frac{7}{10} \]
b) La probabilidad de fracaso es:
\[ P(\text{fracaso})=1-\frac{7}{10}=\frac{3}{10} \]
Esto significa que, en promedio, no encesta \(3\) de cada \(10\) lanzamientos.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
Al lanzar un dado equilibrado, se define éxito “obtener un número primo”. ¿Cuál es la probabilidad de éxito?
- \(\frac{1}{6}\)
- \(\frac{2}{6}\)
- \(\frac{3}{6}\)
- \(\frac{4}{6}\)
Los números primos en un dado son:
\[ \{2,3,5\} \]
Hay \(3\) resultados favorables de \(6\) posibles:
\[ P(\text{éxito})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]
Alternativa correcta: c.
PAES 2
En una bolsa hay \(3\) bolitas verdes y \(5\) bolitas amarillas. Se extrae una bolita al azar. Si el éxito es “sacar una bolita verde”, ¿cuál es la probabilidad de fracaso?
- \(\frac{3}{8}\)
- \(\frac{5}{8}\)
- \(\frac{1}{8}\)
- \(\frac{3}{5}\)
El total de bolitas es:
\[ 3+5=8 \]
La probabilidad de éxito es sacar una bolita verde:
\[ P(\text{éxito})=\frac{3}{8} \]
Entonces, la probabilidad de fracaso es:
\[ P(\text{fracaso})=1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8} \]
Alternativa correcta: b.
PAES 3
¿En cuál de las siguientes situaciones se puede aplicar correctamente un modelo de dos resultados posibles?
- Registrar el número exacto que sale al lanzar un dado.
- Clasificar una respuesta como correcta o incorrecta.
- Identificar el mes de cumpleaños de una persona.
- Elegir una carta entre \(52\) distintas y anotar su pinta exacta.
La situación que tiene dos categorías naturales es clasificar una respuesta como correcta o incorrecta.
Las otras situaciones tienen más de dos resultados posibles:
- Un dado puede entregar \(6\) números distintos.
- El mes de cumpleaños puede ser cualquiera de los \(12\) meses.
- Una carta puede clasificarse de distintas formas según el criterio usado.
Alternativa correcta: b.
PAES 4
Una situación se modela con éxito y fracaso. Si la probabilidad de éxito es \(\frac{2}{7}\), entonces la probabilidad de fracaso es:
- \(\frac{5}{7}\)
- \(\frac{2}{5}\)
- \(\frac{1}{7}\)
- \(\frac{9}{7}\)
Como éxito y fracaso son resultados complementarios:
\[ P(\text{fracaso})=1-P(\text{éxito}) \]
Reemplazamos:
\[ P(\text{fracaso})=1-\frac{2}{7}=\frac{7}{7}-\frac{2}{7}=\frac{5}{7} \]
Alternativa correcta: a.
PAES 5
Una caja contiene \(9\) lápices en buen estado y \(1\) lápiz defectuoso. Se extrae un lápiz al azar. Si se define éxito como “obtener un lápiz defectuoso”, ¿cuál es la probabilidad de fracaso?
- \(\frac{1}{10}\)
- \(\frac{9}{10}\)
- \(\frac{1}{9}\)
- \(\frac{10}{9}\)
El total de lápices es:
\[ 9+1=10 \]
El éxito es obtener un lápiz defectuoso, por lo tanto:
\[ P(\text{éxito})=\frac{1}{10} \]
El fracaso es no obtener un lápiz defectuoso, es decir, obtener uno en buen estado:
\[ P(\text{fracaso})=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10} \]
Alternativa correcta: b.
Cierre
Síntesis
En esta página estudiamos situaciones con dos resultados posibles y vimos que la elección de lo que se llama éxito depende de lo que interesa analizar. Esta idea será fundamental cuando avancemos hacia ensayos repetidos y lectura de parámetros del modelo binomial.
Para recordar
- Éxito y fracaso son categorías matemáticas.
- El éxito es el resultado que interesa estudiar.
- El fracaso corresponde a que no ocurra el éxito.
- Si \(P(\text{éxito})=p\), entonces \(P(\text{fracaso})=1-p\).
- Estas situaciones preparan el estudio del modelo binomial.