3. Ensayos repetidos e independencia

Ensayos repetidos e independencia

Presentación

En la página anterior trabajamos con situaciones de dos resultados posibles: éxito o fracaso. Ahora avanzaremos un paso más: estudiaremos qué ocurre cuando ese mismo tipo de experimento se repite varias veces.

Esta idea es la base del modelo binomial. Para usarlo correctamente, necesitamos reconocer tres elementos fundamentales: un número fijo de ensayos, dos resultados posibles en cada ensayo e independencia entre ensayos.

Objetivo de la página

  • Comprender qué significa repetir un ensayo aleatorio.
    • Reconocer el número de ensayos \(n\).
  • Reconocer cuándo los ensayos son independientes.
  • Identificar los parámetros principales del modelo binomial.
    • Reconocer la probabilidad de éxito \(p\).
  • Interpretar el significado de \(n\), \(p\), éxito y variable aleatoria en contexto.
    • Interpretar la variable \(X\) como número de éxitos en \(n\) ensayos.

Elementos del modelo binomial

Una situación puede modelarse con una distribución binomial cuando cumple estas condiciones:

  1. Se repite un mismo experimento un número fijo de veces.
  2. Cada ensayo tiene solo dos resultados posibles: éxito o fracaso.
  3. La probabilidad de éxito es la misma en cada ensayo.
  4. Los ensayos son independientes.

Sus parámetros principales son:

  • \(n\): número de ensayos.
  • \(p\): probabilidad de éxito en cada ensayo.
  • \(1-p\): probabilidad de fracaso en cada ensayo.
  • \(X\): número de éxitos obtenidos en los \(n\) ensayos.

Idea clave

En un modelo binomial no interesa tanto el orden en que ocurren los éxitos, sino cuántos éxitos se obtienen en total.

Por ejemplo, al lanzar una moneda \(5\) veces, nos puede interesar cuántas veces sale cara. En ese caso, \(X\) puede tomar los valores:

\[ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5 \]

¿Qué significa independencia?

Dos ensayos son independientes cuando el resultado de uno no cambia la probabilidad del siguiente.

Por ejemplo, al lanzar una moneda varias veces, que en un lanzamiento salga cara no cambia la probabilidad de obtener cara en el siguiente lanzamiento.

Error frecuente

No toda repetición de un experimento forma un modelo binomial. Si al repetir el experimento la probabilidad de éxito cambia, entonces no corresponde usar este modelo.

Esto puede ocurrir, por ejemplo, cuando se extraen objetos sin reposición desde una bolsa pequeña.

Resumen de parámetros

Elemento Significado Ejemplo
\(n\) Número total de ensayos Lanzar una moneda \(6\) veces \(\rightarrow n=6\)
\(p\) Probabilidad de éxito en un ensayo Éxito = cara \(\rightarrow p=\frac{1}{2}\)
\(1-p\) Probabilidad de fracaso \(1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)
\(X\) Número de éxitos obtenidos \(X\): cantidad de caras obtenidas

Ejemplo guiado 1

Se lanza una moneda equilibrada \(4\) veces. Se define éxito como “obtener cara”.

Esta situación sí puede modelarse con una distribución binomial porque:

  • hay un número fijo de ensayos: \(n=4\),
  • en cada ensayo hay dos resultados posibles: cara o sello,
  • la probabilidad de éxito es constante: \(p=\frac{1}{2}\),
  • los lanzamientos son independientes.

La variable aleatoria puede definirse como:

\[ X=\text{número de caras obtenidas en 4 lanzamientos} \]

Entonces los posibles valores de \(X\) son:

\[ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4 \]

Ejemplo guiado 2

Una jugadora de básquetbol encesta un lanzamiento libre con probabilidad \(0{,}8\). Realiza \(3\) lanzamientos, considerando que cada uno es independiente.

Definimos éxito como “encestar”.

  • \(n=3\)
  • \(p=0{,}8\)
  • \(1-p=1-0{,}8=0{,}2\)

La variable aleatoria es:

\[ X=\text{número de lanzamientos encestados} \]

Los posibles valores de \(X\) son:

\[ 0,\ 1,\ 2,\ 3 \]

Ejemplo guiado 3

En una bolsa hay \(3\) bolitas rojas y \(2\) azules. Se extraen \(2\) bolitas sin reposición. Se define éxito como “obtener una bolita roja”.

Aunque hay dos resultados posibles en cada extracción, esta situación no es binomial si la extracción es sin reposición.

La razón es que la probabilidad cambia entre una extracción y otra.

Al inicio:

\[ P(\text{roja})=\frac{3}{5} \]

Si en la primera extracción sale roja, para la segunda extracción quedarían \(2\) rojas de \(4\) bolitas:

\[ P(\text{roja en la segunda})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \]

Como la probabilidad de éxito cambia, no se cumple la condición de independencia.

Aplicación en el mundo real

Los modelos binomiales aparecen en encuestas, controles de calidad, diagnósticos médicos, deportes y sondeos. En todos esos casos interesa contar cuántas veces ocurre un resultado específico dentro de varios intentos.

Ejercicios

Ejercicio 1

Se lanza una moneda equilibrada \(6\) veces y se define éxito como “obtener cara”.

  1. Indica el valor de \(n\).
  2. Indica el valor de \(p\).
  3. Describe la variable aleatoria \(X\).

Ejercicio 2

Una ampolleta sale defectuosa con probabilidad \(0{,}03\). Se revisan \(10\) ampolletas, suponiendo ensayos independientes.

  1. ¿Cuál es el éxito?
  2. ¿Cuál es el valor de \(n\)?
  3. ¿Cuál es el valor de \(p\)?
  4. ¿Cuál es el valor de \(1-p\)?

Ejercicio 3

Un estudiante responde \(8\) preguntas de verdadero o falso al azar. Se define éxito como “responder correctamente”.

  1. ¿Puede modelarse con una distribución binomial?
  2. ¿Cuál es el valor de \(p\)?
  3. ¿Qué representa \(X\)?

Ejercicio 4

Se lanza un dado equilibrado \(5\) veces. Se define éxito como “obtener un número mayor que \(4\)”.

  1. Calcula \(p\).
  2. Indica \(n\).
  3. Escribe los valores posibles de \(X\).

Ejercicio 5

En una encuesta, cada persona puede responder “sí” o “no”. Se entrevista a \(20\) personas y se define éxito como “responder sí”. La probabilidad de responder sí es \(0{,}4\) para cada persona, de manera independiente.

  1. Indica \(n\).
  2. Indica \(p\).
  3. Explica qué representa \(X\).
  4. Calcula \(1-p\).

Ejercicio 6

En una caja hay \(4\) lápices rojos y \(6\) azules. Se extraen \(3\) lápices sin reposición. Se define éxito como “extraer un lápiz rojo”.

¿Corresponde a un modelo binomial? Justifica.

Ejercicio 7

Un arquero ataja un penal con probabilidad \(0{,}25\). En una práctica enfrenta \(4\) penales independientes.

  1. ¿Cuál es el éxito?
  2. ¿Cuál es \(n\)?
  3. ¿Cuál es \(p\)?
  4. ¿Qué representa \(X\)?

Ejercicio 8

Para cierto test rápido, la probabilidad de que una persona obtenga resultado positivo es \(0{,}12\). Se aplica el test a \(15\) personas, considerando independencia.

  1. Indica el valor de \(n\).
  2. Indica el valor de \(p\).
  3. Indica el valor de \(1-p\).
  4. Describe la variable aleatoria \(X\).

Ejercicios tipo PAES

PAES 1

Se lanza una moneda equilibrada \(7\) veces y se define \(X\) como el número de veces que sale cara. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

  1. \(n=\frac{1}{2}\) y \(p=7\)
  2. \(n=7\) y \(p=\frac{1}{2}\)
  3. \(n=2\) y \(p=7\)
  4. \(n=7\) y \(p=1\)

PAES 2

¿Cuál de las siguientes situaciones no puede modelarse binomialmente?

  1. Lanzar un dado \(10\) veces y registrar cuántas veces sale \(6\).
  2. Aplicar una encuesta a \(12\) personas y contar cuántas responden sí, suponiendo respuestas independientes e igual probabilidad.
  3. Extraer \(4\) bolitas de una urna sin reposición y contar cuántas son rojas.
  4. Lanzar una moneda \(8\) veces y contar cuántas veces sale sello.

PAES 3

Una variable aleatoria binomial \(X\) representa el número de éxitos en \(9\) ensayos independientes, con probabilidad de éxito \(0{,}3\). ¿Qué representa el valor \(9\)?

  1. La probabilidad de fracaso
  2. El número de éxitos
  3. El número de ensayos
  4. La probabilidad de éxito

PAES 4

En cierto experimento binomial, la probabilidad de éxito es \(0{,}65\). Entonces, la probabilidad de fracaso es:

  1. \(0{,}35\)
  2. \(0{,}65\)
  3. \(1{,}65\)
  4. \(0\)

PAES 5

Se define \(X\) como el número de estudiantes que aprueban una evaluación entre \(30\) estudiantes. Se sabe que cada estudiante aprueba con probabilidad \(0{,}7\), de forma independiente. ¿Cuál de las siguientes interpretaciones de \(X\) es correcta?

  1. \(X\) representa la probabilidad de aprobar.
  2. \(X\) representa el número de estudiantes que aprueban entre los \(30\).
  3. \(X\) representa el número total de preguntas de la evaluación.
  4. \(X\) representa la probabilidad de no aprobar.

Cierre

Síntesis

En esta página aprendimos que el modelo binomial se usa cuando un mismo experimento se repite bajo condiciones estables: dos resultados posibles, igual probabilidad de éxito e independencia entre ensayos.

En la próxima página avanzaremos al cálculo de probabilidades binomiales en casos simples, es decir, comenzaremos a responder preguntas como: “¿cuál es la probabilidad de obtener exactamente \(3\) éxitos?”.

Para recordar

  • \(n\) indica cuántas veces se repite el experimento.
  • \(p\) indica la probabilidad de éxito en cada ensayo.
  • \(1-p\) indica la probabilidad de fracaso en cada ensayo.
  • \(X\) cuenta cuántos éxitos se obtienen.
  • Si no hay independencia, no corresponde usar el modelo binomial.