Estadistica
4. Cálculo de probabilidades binomiales en casos simples
Cálculo de probabilidades binomiales en casos simples
En las páginas anteriores vimos situaciones de éxito y fracaso, y también aprendimos a reconocer cuándo un contexto puede modelarse con una distribución binomial. Ahora daremos el siguiente paso: calcular probabilidades binomiales en situaciones simples.
En particular, nos interesará responder preguntas como estas:
- ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 éxitos?
- ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 3 caras?
- ¿Cuál es la probabilidad de encestar exactamente 1 lanzamiento?
Para ello utilizaremos la fórmula de la distribución binomial y también haremos interpretaciones en lenguaje cotidiano.
Objetivo de la página
- Aplicar la fórmula binomial en casos simples.
- Identificar \(n\), \(p\), \(k\) y el evento a calcular.
- Calcular probabilidades de obtener exactamente cierta cantidad de éxitos.
- Interpretar el resultado en el contexto del problema.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Reconocer cuándo usar la fórmula binomial.
- Calcular \(P(X=k)\) en ejemplos sencillos.
- Explicar con palabras qué significa la probabilidad obtenida.
Si una variable aleatoria \(X\) sigue una distribución binomial con parámetros \(n\) y \(p\), entonces la probabilidad de obtener exactamente \(k\) éxitos está dada por:
\[ P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \]
donde:
- \(n\): número de ensayos,
- \(k\): número de éxitos que queremos calcular,
- \(p\): probabilidad de éxito,
- \(1-p\): probabilidad de fracaso.
Este número indica de cuántas maneras se pueden ubicar los \(k\) éxitos dentro de los \(n\) ensayos.
Por ejemplo, si queremos exactamente 2 éxitos en 3 ensayos, esos éxitos pueden ocurrir en distintos órdenes:
- éxito, éxito, fracaso
- éxito, fracaso, éxito
- fracaso, éxito, éxito
Por eso aparece el factor combinatorio en la fórmula.
La fórmula binomial permite calcular la probabilidad de obtener una cantidad exacta de éxitos, no solo un éxito cualquiera.
No confundas:
- “exactamente 2 éxitos” con
- “a lo más 2 éxitos” o “al menos 2 éxitos”.
En esta página trabajaremos solo con exactamente.
Tabla de referencia
| Símbolo | Significado | Ejemplo |
|---|---|---|
| \(n\) | Número de ensayos | 4 lanzamientos de moneda |
| \(k\) | Número exacto de éxitos | 2 caras |
| \(p\) | Probabilidad de éxito | \(\frac{1}{2}\) |
| \(1-p\) | Probabilidad de fracaso | \(\frac{1}{2}\) |
| \(P(X=k)\) | Probabilidad de obtener exactamente \(k\) éxitos | \(P(X=2)\) |
Ejemplo guiado 1
Se lanza una moneda equilibrada 3 veces. Calcula la probabilidad de obtener exactamente 2 caras.
Definimos éxito = obtener cara.
- \(n=3\)
- \(k=2\)
- \(p=\frac{1}{2}\)
Aplicamos la fórmula:
\[ P(X=2)=\binom{3}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^{1} \]
Como \(\binom{3}{2}=3\), resulta:
\[ P(X=2)=3\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2} \]
\[ P(X=2)=\frac{3}{8} \]
Ejemplo guiado 2
Una jugadora encesta un lanzamiento libre con probabilidad \(0{,}7\). Si realiza 4 lanzamientos independientes, ¿cuál es la probabilidad de encestar exactamente 3?
- \(n=4\)
- \(k=3\)
- \(p=0{,}7\)
- \(1-p=0{,}3\)
\[ P(X=3)=\binom{4}{3}(0{,}7)^3(0{,}3)^1 \]
\[ P(X=3)=4\cdot 0{,}343\cdot 0{,}3 \]
\[ P(X=3)=0{,}4116 \]
La probabilidad de encestar exactamente 3 de los 4 lanzamientos es 0,4116.
Ejemplo guiado 3
Un test rápido tiene probabilidad \(0{,}2\) de dar positivo en cierto grupo. Si se aplica a 5 personas independientes, calcula la probabilidad de que exactamente 1 obtenga resultado positivo.
- \(n=5\)
- \(k=1\)
- \(p=0{,}2\)
- \(1-p=0{,}8\)
\[ P(X=1)=\binom{5}{1}(0{,}2)^1(0{,}8)^4 \]
\[ P(X=1)=5\cdot 0{,}2\cdot 0{,}4096 \]
\[ P(X=1)=0{,}4096 \]
Este tipo de cálculo se usa cuando queremos estimar cuántas veces ocurrirá un resultado en varios intentos: cuántos productos pueden salir defectuosos, cuántos pacientes podrían dar positivo, cuántos tiros libres se encestarán o cuántas personas responderán de cierta manera en una encuesta.
Ejercicios
Ejercicio 1
Se lanza una moneda equilibrada 4 veces. Calcula la probabilidad de obtener exactamente 1 cara.
Definimos éxito = obtener cara.
- \(n=4\)
- \(k=1\)
- \(p=\frac{1}{2}\)
\[ P(X=1)=\binom{4}{1}\left(\frac{1}{2}\right)^1\left(\frac{1}{2}\right)^3 \]
\[ P(X=1)=4\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{8} \]
\[ P(X=1)=\frac{4}{16}=\frac{1}{4} \]
Ejercicio 2
Se lanza una moneda equilibrada 5 veces. Calcula la probabilidad de obtener exactamente 3 caras.
- \(n=5\)
- \(k=3\)
- \(p=\frac{1}{2}\)
\[ P(X=3)=\binom{5}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^2 \]
\[ P(X=3)=10\cdot \frac{1}{8}\cdot \frac{1}{4} \]
\[ P(X=3)=\frac{10}{32}=\frac{5}{16} \]
Ejercicio 3
Un dado equilibrado se lanza 3 veces. Se define éxito como “obtener un 6”. Calcula la probabilidad de obtener exactamente 1 éxito.
Aquí:
- \(n=3\)
- \(k=1\)
- \(p=\frac{1}{6}\)
- \(1-p=\frac{5}{6}\)
\[ P(X=1)=\binom{3}{1}\left(\frac{1}{6}\right)^1\left(\frac{5}{6}\right)^2 \]
\[ P(X=1)=3\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{25}{36} \]
\[ P(X=1)=\frac{75}{216}=\frac{25}{72} \]
Ejercicio 4
Una jugadora encesta con probabilidad \(0{,}6\). Si realiza 3 lanzamientos independientes, calcula la probabilidad de encestar exactamente 2.
- \(n=3\)
- \(k=2\)
- \(p=0{,}6\)
- \(1-p=0{,}4\)
\[ P(X=2)=\binom{3}{2}(0{,}6)^2(0{,}4) \]
\[ P(X=2)=3\cdot 0{,}36\cdot 0{,}4 \]
\[ P(X=2)=0{,}432 \]
Ejercicio 5
La probabilidad de que una pieza salga defectuosa es \(0{,}1\). Se revisan 4 piezas independientes. Calcula la probabilidad de que exactamente 2 sean defectuosas.
- \(n=4\)
- \(k=2\)
- \(p=0{,}1\)
- \(1-p=0{,}9\)
\[ P(X=2)=\binom{4}{2}(0{,}1)^2(0{,}9)^2 \]
\[ P(X=2)=6\cdot 0{,}01\cdot 0{,}81 \]
\[ P(X=2)=0{,}0486 \]
Ejercicio 6
En una encuesta, la probabilidad de que una persona responda “sí” es \(0{,}3\). Se seleccionan 5 personas independientes. Calcula la probabilidad de que exactamente 0 respondan “sí”.
En este caso:
- \(n=5\)
- \(k=0\)
- \(p=0{,}3\)
- \(1-p=0{,}7\)
\[ P(X=0)=\binom{5}{0}(0{,}3)^0(0{,}7)^5 \]
Como \(\binom{5}{0}=1\) y \((0{,}3)^0=1\), queda:
\[ P(X=0)=0{,}7^5 \]
\[ P(X=0)=0{,}16807 \]
Ejercicio 7
Un arquero ataja un penal con probabilidad \(0{,}25\). Si enfrenta 4 penales independientes, calcula la probabilidad de atajar exactamente 1.
- \(n=4\)
- \(k=1\)
- \(p=0{,}25\)
- \(1-p=0{,}75\)
\[ P(X=1)=\binom{4}{1}(0{,}25)(0{,}75)^3 \]
\[ P(X=1)=4\cdot 0{,}25\cdot 0{,}421875 \]
\[ P(X=1)=0{,}421875 \]
Ejercicio 8
Un test detecta cierta condición con probabilidad \(0{,}2\) en una población específica. Si se aplica a 3 personas independientes, calcula la probabilidad de que exactamente 3 obtengan resultado positivo.
- \(n=3\)
- \(k=3\)
- \(p=0{,}2\)
- \(1-p=0{,}8\)
\[ P(X=3)=\binom{3}{3}(0{,}2)^3(0{,}8)^0 \]
\[ P(X=3)=1\cdot 0{,}008\cdot 1 \]
\[ P(X=3)=0{,}008 \]
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
Se lanza una moneda equilibrada 3 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras?
- \(\frac{1}{8}\)
- \(\frac{2}{8}\)
- \(\frac{3}{8}\)
- \(\frac{4}{8}\)
\[ P(X=2)=\binom{3}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right) \]
\[ P(X=2)=3\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{8} \]
Alternativa correcta: c
PAES 2
Un dado equilibrado se lanza 2 veces. Se define éxito como “obtener un 6”. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente un éxito?
- \(\frac{5}{18}\)
- \(\frac{10}{36}\)
- \(\frac{1}{6}\)
- \(\frac{25}{36}\)
\[ P(X=1)=\binom{2}{1}\left(\frac{1}{6}\right)\left(\frac{5}{6}\right) \]
\[ P(X=1)=2\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}=\frac{10}{36}=\frac{5}{18} \]
Las alternativas a y b representan el mismo valor, así que esta pregunta, tal como está escrita, tendría dos respuestas equivalentes.
Corrección pedagógica: para evitar ambigüedad, conviene modificar una de esas alternativas. La respuesta esperada es \(\frac{5}{18}\).
PAES 3
Una variable binomial tiene parámetros \(n=4\) y \(p=0{,}5\). ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 4 éxitos?
- \(0{,}5\)
- \(0{,}25\)
- \(0{,}125\)
- \(0{,}0625\)
\[ P(X=4)=\binom{4}{4}(0{,}5)^4(0{,}5)^0 \]
\[ P(X=4)=1\cdot 0{,}0625\cdot 1=0{,}0625 \]
Alternativa correcta: d
PAES 4
Una estudiante responde 3 preguntas de verdadero o falso al azar. ¿Cuál es la probabilidad de responder correctamente exactamente 1?
- \(\frac{1}{8}\)
- \(\frac{3}{8}\)
- \(\frac{1}{2}\)
- \(\frac{3}{4}\)
Aquí \(p=\frac{1}{2}\), \(n=3\), \(k=1\).
\[ P(X=1)=\binom{3}{1}\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^2 \]
\[ P(X=1)=3\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{8} \]
Alternativa correcta: b
Cierre
En esta página aprendimos a calcular probabilidades binomiales simples usando la fórmula:
\[ P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \]
La idea principal es identificar correctamente el número de ensayos, la probabilidad de éxito y la cantidad exacta de éxitos que queremos calcular.
- Primero identifica \(n\), \(k\) y \(p\).
- Luego aplica la fórmula con orden y cuidado.
- Finalmente interpreta el resultado en el contexto del problema.