Libro de datos y modelos probabilisticos
4. Cálculo de probabilidades binomiales en casos simples
Cálculo de probabilidades binomiales en casos simples
Presentación
En las páginas anteriores vimos situaciones de éxito y fracaso, y también aprendimos a reconocer cuándo un contexto puede modelarse con una distribución binomial. Ahora daremos el siguiente paso: calcular probabilidades binomiales en situaciones simples.
En particular, nos interesará responder preguntas como estas:
- ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente \(2\) éxitos?
- ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente \(3\) caras?
- ¿Cuál es la probabilidad de encestar exactamente \(1\) lanzamiento?
Para ello utilizaremos la fórmula de la distribución binomial e interpretaremos los resultados en lenguaje cotidiano.
Objetivo de la página
- Aplicar la fórmula binomial en casos simples.
- Reconocer cuándo usar la fórmula binomial.
- Identificar \(n\), \(p\), \(k\) y el evento a calcular.
- Calcular probabilidades de obtener exactamente cierta cantidad de éxitos.
- Calcular \(P(X=k)\) en ejemplos sencillos.
- Interpretar el resultado en el contexto del problema.
- Explicar con palabras qué significa la probabilidad obtenida.
Fórmula binomial
Si una variable aleatoria \(X\) sigue una distribución binomial con parámetros \(n\) y \(p\), entonces la probabilidad de obtener exactamente \(k\) éxitos está dada por:
donde:
- \(n\): número de ensayos.
- \(k\): número exacto de éxitos que queremos calcular.
- \(p\): probabilidad de éxito.
- \(1-p\): probabilidad de fracaso.
¿Qué significa \(\binom{n}{k}\)?
El número \(\binom{n}{k}\) indica de cuántas maneras se pueden ubicar los \(k\) éxitos dentro de los \(n\) ensayos.
Por ejemplo, si queremos exactamente \(2\) éxitos en \(3\) ensayos, esos éxitos pueden ocurrir en distintos órdenes:
- éxito, éxito, fracaso;
- éxito, fracaso, éxito;
- fracaso, éxito, éxito.
Por eso aparece el factor combinatorio en la fórmula.
Idea clave
La fórmula binomial permite calcular la probabilidad de obtener una cantidad exacta de éxitos, no solo un éxito cualquiera.
Por ejemplo, “exactamente \(2\) caras” significa que deben salir \(2\) caras y el resto de los lanzamientos deben ser sellos.
Error frecuente
No confundas:
- “exactamente \(2\) éxitos”,
- “a lo más \(2\) éxitos”,
- “al menos \(2\) éxitos”.
En esta página trabajaremos solo con probabilidades de la forma exactamente \(k\) éxitos.
Tabla de referencia
| Símbolo | Significado | Ejemplo |
|---|---|---|
| \(n\) | Número de ensayos | \(4\) lanzamientos de moneda |
| \(k\) | Número exacto de éxitos | \(2\) caras |
| \(p\) | Probabilidad de éxito | \(\frac{1}{2}\) |
| \(1-p\) | Probabilidad de fracaso | \(\frac{1}{2}\) |
| \(P(X=k)\) | Probabilidad de obtener exactamente \(k\) éxitos | \(P(X=2)\) |
Ejemplo guiado 1
Se lanza una moneda equilibrada \(3\) veces. Calcula la probabilidad de obtener exactamente \(2\) caras.
Definimos éxito como obtener cara.
- \(n=3\)
- \(k=2\)
- \(p=\frac{1}{2}\)
- \(1-p=\frac{1}{2}\)
Aplicamos la fórmula:
\[ P(X=2)=\binom{3}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^{3-2} \]
Como \(\binom{3}{2}=3\), resulta:
\[ P(X=2)=3\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2} \]
\[ P(X=2)=\frac{3}{8} \]
La probabilidad de obtener exactamente \(2\) caras en \(3\) lanzamientos es \(\frac{3}{8}\).
Ejemplo guiado 2
Una jugadora encesta un lanzamiento libre con probabilidad \(0{,}7\). Si realiza \(4\) lanzamientos independientes, ¿cuál es la probabilidad de encestar exactamente \(3\)?
Definimos éxito como encestar.
- \(n=4\)
- \(k=3\)
- \(p=0{,}7\)
- \(1-p=0{,}3\)
Aplicamos la fórmula:
\[ P(X=3)=\binom{4}{3}(0{,}7)^3(0{,}3)^1 \]
Como \(\binom{4}{3}=4\), queda:
\[ P(X=3)=4\cdot 0{,}343\cdot 0{,}3 \]
\[ P(X=3)=0{,}4116 \]
La probabilidad de encestar exactamente \(3\) de los \(4\) lanzamientos es \(0{,}4116\).
Ejemplo guiado 3
Un test rápido tiene probabilidad \(0{,}2\) de dar positivo en cierto grupo. Si se aplica a \(5\) personas independientes, calcula la probabilidad de que exactamente \(1\) obtenga resultado positivo.
Definimos éxito como obtener resultado positivo.
- \(n=5\)
- \(k=1\)
- \(p=0{,}2\)
- \(1-p=0{,}8\)
Aplicamos la fórmula:
\[ P(X=1)=\binom{5}{1}(0{,}2)^1(0{,}8)^4 \]
Como \(\binom{5}{1}=5\) y \(0{,}8^4=0{,}4096\), resulta:
\[ P(X=1)=5\cdot 0{,}2\cdot 0{,}4096 \]
\[ P(X=1)=0{,}4096 \]
La probabilidad de que exactamente \(1\) persona obtenga resultado positivo es \(0{,}4096\).
Aplicación en el mundo real
Este tipo de cálculo se usa cuando queremos estimar cuántas veces ocurrirá un resultado en varios intentos: cuántos productos pueden salir defectuosos, cuántos pacientes podrían dar positivo, cuántos tiros libres se encestarán o cuántas personas responderán de cierta manera en una encuesta.
Ejercicios
Ejercicio 1
Se lanza una moneda equilibrada \(4\) veces. Calcula la probabilidad de obtener exactamente \(1\) cara.
Definimos éxito como obtener cara.
- \(n=4\)
- \(k=1\)
- \(p=\frac{1}{2}\)
- \(1-p=\frac{1}{2}\)
Aplicamos la fórmula:
\[ P(X=1)=\binom{4}{1}\left(\frac{1}{2}\right)^1\left(\frac{1}{2}\right)^3 \]
\[ P(X=1)=4\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{8} \]
\[ P(X=1)=\frac{4}{16}=\frac{1}{4} \]
La probabilidad de obtener exactamente \(1\) cara es \(\frac{1}{4}\).
Ejercicio 2
Se lanza una moneda equilibrada \(5\) veces. Calcula la probabilidad de obtener exactamente \(3\) caras.
Definimos éxito como obtener cara.
- \(n=5\)
- \(k=3\)
- \(p=\frac{1}{2}\)
- \(1-p=\frac{1}{2}\)
Aplicamos la fórmula:
\[ P(X=3)=\binom{5}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^2 \]
Como \(\binom{5}{3}=10\):
\[ P(X=3)=10\cdot \frac{1}{8}\cdot \frac{1}{4} \]
\[ P(X=3)=\frac{10}{32}=\frac{5}{16} \]
La probabilidad de obtener exactamente \(3\) caras es \(\frac{5}{16}\).
Ejercicio 3
Un dado equilibrado se lanza \(3\) veces. Se define éxito como “obtener un \(6\)”. Calcula la probabilidad de obtener exactamente \(1\) éxito.
Definimos éxito como obtener un \(6\).
- \(n=3\)
- \(k=1\)
- \(p=\frac{1}{6}\)
- \(1-p=\frac{5}{6}\)
Aplicamos la fórmula:
\[ P(X=1)=\binom{3}{1}\left(\frac{1}{6}\right)^1\left(\frac{5}{6}\right)^2 \]
\[ P(X=1)=3\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{25}{36} \]
\[ P(X=1)=\frac{75}{216}=\frac{25}{72} \]
La probabilidad de obtener exactamente un \(6\) es \(\frac{25}{72}\).
Ejercicio 4
Una jugadora encesta con probabilidad \(0{,}6\). Si realiza \(3\) lanzamientos independientes, calcula la probabilidad de encestar exactamente \(2\).
Definimos éxito como encestar.
- \(n=3\)
- \(k=2\)
- \(p=0{,}6\)
- \(1-p=0{,}4\)
Aplicamos la fórmula:
\[ P(X=2)=\binom{3}{2}(0{,}6)^2(0{,}4)^1 \]
\[ P(X=2)=3\cdot 0{,}36\cdot 0{,}4 \]
\[ P(X=2)=0{,}432 \]
La probabilidad de encestar exactamente \(2\) lanzamientos es \(0{,}432\).
Ejercicio 5
La probabilidad de que una pieza salga defectuosa es \(0{,}1\). Se revisan \(4\) piezas independientes. Calcula la probabilidad de que exactamente \(2\) sean defectuosas.
Definimos éxito como que una pieza salga defectuosa.
- \(n=4\)
- \(k=2\)
- \(p=0{,}1\)
- \(1-p=0{,}9\)
Aplicamos la fórmula:
\[ P(X=2)=\binom{4}{2}(0{,}1)^2(0{,}9)^2 \]
\[ P(X=2)=6\cdot 0{,}01\cdot 0{,}81 \]
\[ P(X=2)=0{,}0486 \]
La probabilidad de que exactamente \(2\) piezas sean defectuosas es \(0{,}0486\).
Ejercicio 6
En una encuesta, la probabilidad de que una persona responda “sí” es \(0{,}3\). Se seleccionan \(5\) personas independientes. Calcula la probabilidad de que exactamente \(0\) respondan “sí”.
Definimos éxito como responder “sí”.
- \(n=5\)
- \(k=0\)
- \(p=0{,}3\)
- \(1-p=0{,}7\)
Aplicamos la fórmula:
\[ P(X=0)=\binom{5}{0}(0{,}3)^0(0{,}7)^5 \]
Como \(\binom{5}{0}=1\) y \((0{,}3)^0=1\), queda:
\[ P(X=0)=0{,}7^5 \]
\[ P(X=0)=0{,}16807 \]
La probabilidad de que exactamente \(0\) personas respondan “sí” es \(0{,}16807\).
Ejercicio 7
Un arquero ataja un penal con probabilidad \(0{,}25\). Si enfrenta \(4\) penales independientes, calcula la probabilidad de atajar exactamente \(1\).
Definimos éxito como atajar un penal.
- \(n=4\)
- \(k=1\)
- \(p=0{,}25\)
- \(1-p=0{,}75\)
Aplicamos la fórmula:
\[ P(X=1)=\binom{4}{1}(0{,}25)^1(0{,}75)^3 \]
\[ P(X=1)=4\cdot 0{,}25\cdot 0{,}421875 \]
\[ P(X=1)=0{,}421875 \]
La probabilidad de atajar exactamente \(1\) penal es \(0{,}421875\).
Ejercicio 8
Un test detecta cierta condición con probabilidad \(0{,}2\) en una población específica. Si se aplica a \(3\) personas independientes, calcula la probabilidad de que exactamente \(3\) obtengan resultado positivo.
Definimos éxito como obtener resultado positivo.
- \(n=3\)
- \(k=3\)
- \(p=0{,}2\)
- \(1-p=0{,}8\)
Aplicamos la fórmula:
\[ P(X=3)=\binom{3}{3}(0{,}2)^3(0{,}8)^0 \]
Como \(\binom{3}{3}=1\) y \((0{,}8)^0=1\):
\[ P(X=3)=1\cdot 0{,}008\cdot 1 \]
\[ P(X=3)=0{,}008 \]
La probabilidad de que exactamente \(3\) personas obtengan resultado positivo es \(0{,}008\).
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
Se lanza una moneda equilibrada \(3\) veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente \(2\) caras?
- \(\frac{1}{8}\)
- \(\frac{2}{8}\)
- \(\frac{3}{8}\)
- \(\frac{4}{8}\)
En este caso:
- \(n=3\)
- \(k=2\)
- \(p=\frac{1}{2}\)
\[ P(X=2)=\binom{3}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right) \]
\[ P(X=2)=3\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{8} \]
Alternativa correcta: c.
PAES 2
Un dado equilibrado se lanza \(2\) veces. Se define éxito como “obtener un \(6\)”. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente un éxito?
- \(\frac{5}{18}\)
- \(\frac{1}{36}\)
- \(\frac{1}{6}\)
- \(\frac{25}{36}\)
En este caso:
- \(n=2\)
- \(k=1\)
- \(p=\frac{1}{6}\)
- \(1-p=\frac{5}{6}\)
\[ P(X=1)=\binom{2}{1}\left(\frac{1}{6}\right)\left(\frac{5}{6}\right) \]
\[ P(X=1)=2\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}=\frac{10}{36}=\frac{5}{18} \]
Alternativa correcta: a.
PAES 3
Una variable binomial tiene parámetros \(n=4\) y \(p=0{,}5\). ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente \(4\) éxitos?
- \(0{,}5\)
- \(0{,}25\)
- \(0{,}125\)
- \(0{,}0625\)
En este caso:
- \(n=4\)
- \(k=4\)
- \(p=0{,}5\)
- \(1-p=0{,}5\)
\[ P(X=4)=\binom{4}{4}(0{,}5)^4(0{,}5)^0 \]
\[ P(X=4)=1\cdot 0{,}0625\cdot 1=0{,}0625 \]
Alternativa correcta: d.
PAES 4
Una estudiante responde \(3\) preguntas de verdadero o falso al azar. ¿Cuál es la probabilidad de responder correctamente exactamente \(1\)?
- \(\frac{1}{8}\)
- \(\frac{3}{8}\)
- \(\frac{1}{2}\)
- \(\frac{3}{4}\)
En cada pregunta de verdadero o falso respondida al azar:
\[ p=\frac{1}{2} \]
Además, \(n=3\) y \(k=1\). Entonces:
\[ P(X=1)=\binom{3}{1}\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^2 \]
\[ P(X=1)=3\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{8} \]
Alternativa correcta: b.
PAES 5
Una máquina produce artículos defectuosos con probabilidad \(0{,}2\). Se revisan \(3\) artículos independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente \(2\) sean defectuosos?
- \(0{,}096\)
- \(0{,}104\)
- \(0{,}192\)
- \(0{,}384\)
Definimos éxito como que el artículo sea defectuoso.
- \(n=3\)
- \(k=2\)
- \(p=0{,}2\)
- \(1-p=0{,}8\)
Aplicamos la fórmula:
\[ P(X=2)=\binom{3}{2}(0{,}2)^2(0{,}8)^1 \]
\[ P(X=2)=3\cdot 0{,}04\cdot 0{,}8=0{,}096 \]
Alternativa correcta: a.
Cierre
Síntesis
En esta página aprendimos a calcular probabilidades binomiales simples usando la fórmula:
\[ P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \]
La idea principal es identificar correctamente el número de ensayos, la probabilidad de éxito y la cantidad exacta de éxitos que queremos calcular.
Para recordar
- Primero identifica \(n\), \(k\) y \(p\).
- Luego calcula \(1-p\).
- Después aplica la fórmula con orden y cuidado.
- Finalmente interpreta el resultado en el contexto del problema.