El valor \(P(X=2)=0{,}18\) significa que hay un 18% de probabilidad de que, en un lote de \(5\) piezas, salgan exactamente \(2\) piezas defectuosas.

No significa que siempre saldrán \(2\) piezas defectuosas, sino que ese evento tiene probabilidad \(0{,}18\).

a) Obtener \(0\) caras significa que los \(4\) lanzamientos son sellos:

\[ P(X=0)=\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16} \]

b) Para obtener exactamente \(2\) caras:

\[ P(X=2)=\binom{4}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^2 \]

\[ P(X=2)=6\cdot\frac{1}{16}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8} \]

c) Comparamos:

\[ \frac{1}{16}<\frac{3}{8} \]

Es más probable obtener exactamente \(2\) caras que obtener 0 caras.

Esto significa que, al lanzar \(4\) veces una moneda equilibrada, es más esperable obtener una mezcla de caras y sellos que no obtener ninguna cara.

El valor \(P(X=3)=0{,}216\) significa que hay un 21,6% de probabilidad de que el arquero ataje los \(3\) penales.

No es un resultado seguro, porque la probabilidad no es \(1\).

Además, como \(0{,}216\) es menor que \(0{,}5\), puede ocurrir, pero no conviene describirlo como un resultado muy esperable.

Comparamos las probabilidades dadas:

\[ 0{,}36015>0{,}16807 \]

Por lo tanto, es más probable que respondan “sí” exactamente \(4\) personas que las \(5\) personas.

En este contexto, aunque la respuesta “sí” tiene alta probabilidad individual, sigue siendo más esperable que aparezca algún “no” antes que unanimidad total.

El evento \(X=4\) representa que el estudiante acierta exactamente \(4\) preguntas de las \(6\).

Como responde \(6\) preguntas en total, eso también significa que falla las otras \(2\) preguntas.

No necesariamente.

Que el valor numérico sea el mismo solo indica que ambos eventos tienen la misma probabilidad.

Sin embargo, podrían referirse a contextos distintos, con diferente cantidad de ensayos, distinta probabilidad de éxito o diferente significado del éxito.

No, la afirmación es incorrecta.

Que la probabilidad sea \(0{,}8\) significa que el evento es muy probable, pero no seguro.

Para que fuera seguro, la probabilidad tendría que ser \(1\). Como \(0{,}8<1\), todavía existe un \(0{,}2\) de probabilidad de que ocurra otra cosa.

Una conclusión posible es:

“Hay un \(51,2\%\) de probabilidad de que en una revisión de \(3\) piezas no aparezca ninguna defectuosa. Por lo tanto, es un resultado algo más probable que no encontrar fallas, aunque sigue existiendo un \(48,8\%\) de probabilidad de encontrar al menos una pieza defectuosa.”

Esta conclusión es útil porque no solo informa el número, sino también el significado del resultado para el control de calidad.

Como \(X\) representa la cantidad de caras obtenidas, \(P(X=1)\) se interpreta como la probabilidad de obtener exactamente \(1\) cara en los \(3\) lanzamientos.

No significa “al menos \(1\) cara”, porque eso incluiría \(1\), \(2\) o \(3\) caras.

Alternativa correcta: b.

Como la probabilidad de que una pieza sea buena es \(0{,}9\), la probabilidad de que no sea buena es \(0{,}1\).

Calculamos:

\[ P(X=2)=(0{,}9)^2=0{,}81 \]

\[ P(X=1)=\binom{2}{1}(0{,}9)(0{,}1)=0{,}18 \]

\[ P(X=0)=(0{,}1)^2=0{,}01 \]

El evento más probable es \(X=2\), es decir, que las \(2\) piezas sean buenas.

Alternativa correcta: c.

En un dado equilibrado, los números pares son \(2\), \(4\) y \(6\). Entonces:

\[ p=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \]

Para \(X=0\):

\[ P(X=0)=\binom{4}{0}\left(\frac{1}{2}\right)^0\left(\frac{1}{2}\right)^4 \]

\[ P(X=0)=\frac{1}{16} \]

Por lo tanto, la afirmación verdadera es la alternativa a.

Alternativa correcta: a.

El valor \(0{,}72\) corresponde a una probabilidad alta, por lo que el evento es bastante probable.

Sin embargo, no equivale a certeza, porque para que fuera seguro la probabilidad tendría que ser \(1\).

Además, \(X=3\) significa exactamente \(3\) éxitos, no que \(3\) sea la probabilidad de éxito.

Alternativa correcta: b.

La expresión \(P(X=2)\) significa la probabilidad de obtener exactamente \(2\) éxitos.

La estudiante escribió “al menos \(2\) éxitos”, lo que incluiría \(2\), \(3\), \(4\) o más éxitos, dependiendo del número total de ensayos.

Por lo tanto, el error es confundir \(P(X=2)\) con “al menos \(2\) éxitos”.

Alternativa correcta: b.