Libro de datos y modelos probabilisticos
11. Lectura e interpretación de valores cercanos o alejados del centro en una distribución normal
Uso de desviaciones estándar dadas para interpretar datos en distribución normal
Presentación
En la página anterior vimos que una distribución normal tiene una forma aproximadamente acampanada, con un centro y una cierta dispersión.
En esta página avanzaremos un paso más: usaremos una desviación estándar ya dada para interpretar si un valor está cerca del centro, algo alejado o bastante alejado dentro de una distribución normal.
No trabajaremos aquí calculando la desviación estándar desde los datos, sino usándola como información entregada para interpretar resultados en contexto.
Objetivo de la página
- Interpretar datos en una distribución normal cuando se conoce la media y la desviación estándar.
- Interpretar qué representa la media \(\mu\) y la desviación estándar \(\sigma\).
- Relacionar la distancia al centro con la desviación estándar dada.
- Reconocer intervalos como \(\mu \pm \sigma\) y \(\mu \pm 2\sigma\).
- Comparar qué tan habitual o poco habitual es un valor según cuántas desviaciones estándar lo separan del centro.
- Comparar dos valores según su distancia al centro medida en desviaciones estándar.
- Redactar conclusiones en contexto a partir de \(\mu\) y \(\sigma\).
- Decidir si un valor es habitual, poco habitual o bastante alejado del centro.
Ideas básicas
En una distribución normal se usan con frecuencia dos parámetros:
- Media \(\mu\): indica el centro de la distribución.
- Desviación estándar \(\sigma\): indica qué tan dispersos están los datos alrededor del centro.
Cuando la desviación estándar está dada, podemos construir intervalos importantes:
Estos intervalos ayudan a interpretar qué tan cerca o lejos está un valor del centro.
Distancia medida en desviaciones estándar
Para saber cuántas desviaciones estándar separan un valor \(x\) de la media, podemos calcular:
Este número indica cuántas veces cabe la desviación estándar en la distancia entre el dato y la media.
Idea clave
No basta con saber si un valor es grande o pequeño. Lo importante es ver cuántas desviaciones estándar lo separan de la media.
Error frecuente
Que un valor esté a \(2\) o \(3\) desviaciones estándar del centro no significa que sea imposible. Solo indica que es menos habitual que un valor cercano a la media.
Lectura intuitiva de intervalos
| Ubicación del valor | Interpretación aproximada | Lectura cualitativa |
|---|---|---|
| Cerca de \(\mu\) | Muy habitual | Forma parte del comportamiento típico del grupo |
| Dentro de \(\mu \pm \sigma\) | Habitual | Está relativamente cerca del centro |
| Entre \(\mu \pm \sigma\) y \(\mu \pm 2\sigma\) | Menos habitual | Se aleja del centro, pero sigue siendo razonable |
| Más allá de \(\mu \pm 2\sigma\) | Poco habitual | Está bastante alejado del centro |
| Más allá de \(\mu \pm 3\sigma\) | Muy poco habitual | Es un valor muy extremo dentro del modelo |
Ejemplo guiado 1: interpretar \(\mu \pm \sigma\)
Las estaturas de un grupo de estudiantes siguen aproximadamente una distribución normal con:
\[ \mu = 170 \text{ cm}, \qquad \sigma = 5 \text{ cm} \]
Entonces:
\[ \mu - \sigma = 170 - 5 = 165 \]
\[ \mu + \sigma = 170 + 5 = 175 \]
El intervalo \([165,175]\) reúne estaturas cercanas al centro, por lo que valores como 168 cm, 170 cm o 174 cm se interpretan como bastante habituales.
En cambio, una estatura como 182 cm está más alejada del centro, por lo que sería menos habitual que \(170\) cm.
Ejemplo guiado 2: comparar cuántas desviaciones estándar separan un valor del centro
Supongamos una distribución normal de puntajes con:
\[ \mu = 500, \qquad \sigma = 50 \]
Comparemos los puntajes \(550\) y \(650\).
El valor \(550\) está a:
\[ 550 - 500 = 50 \]
Como \(50=1\cdot 50\), está a 1 desviación estándar sobre la media.
El valor \(650\) está a:
\[ 650 - 500 = 150 \]
Como \(150 = 3 \cdot 50\), está a 3 desviaciones estándar sobre la media.
Por lo tanto, 550 es un puntaje más habitual, mientras que 650 es un puntaje mucho más alejado del centro y, por eso, mucho menos habitual.
¿Por qué sirve medir en desviaciones estándar?
Porque no siempre basta con mirar la diferencia numérica. Una diferencia de \(10\) puede ser pequeña en una distribución y grande en otra. La desviación estándar nos ayuda a decidir si esa distancia es pequeña o grande en relación con la dispersión del grupo.
Aplicación en el mundo real
En pruebas estandarizadas, mediciones médicas, estaturas, tiempos de reacción o resultados financieros, conocer la media y la desviación estándar permite interpretar si un valor es típico del grupo o si se aleja bastante de lo esperado.
Resumen de interpretación
| Dato | Qué indica | Ejemplo de lectura |
|---|---|---|
| \(\mu\) | Centro | Valor típico alrededor del cual se agrupan los datos |
| \(\sigma\) | Dispersión | Qué tan agrupados o extendidos están los datos |
| \(\mu \pm \sigma\) | Zona cercana al centro | Valores habituales |
| \(\mu \pm 2\sigma\) | Zona más alejada | Valores menos habituales |
| \(\mu \pm 3\sigma\) | Zona extrema | Valores muy poco habituales |
Ejercicios
Ejercicio 1
Explica con tus palabras qué representa la media \(\mu\) y qué representa la desviación estándar \(\sigma\) en una distribución normal.
La media \(\mu\) representa el centro de la distribución, es decir, el valor alrededor del cual se agrupan los datos.
La desviación estándar \(\sigma\) representa qué tan dispersos están esos datos respecto del centro. Si \(\sigma\) es mayor, los datos tienden a estar más repartidos; si \(\sigma\) es menor, tienden a estar más concentrados cerca de la media.
Ejercicio 2
Las estaturas de cierto grupo siguen aproximadamente una distribución normal con:
\[ \mu = 160 \text{ cm}, \qquad \sigma = 4 \text{ cm} \]
- Calcula \(\mu - \sigma\) y \(\mu + \sigma\).
- Interpreta el intervalo obtenido.
a) Calculamos los extremos del intervalo:
\[ \mu-\sigma=160-4=156 \]
\[ \mu+\sigma=160+4=164 \]
Entonces:
\[ \mu\pm\sigma=[156,164] \]
b) El intervalo \([156,164]\) corresponde a estaturas cercanas al centro, por lo que valores en ese rango se interpretan como relativamente habituales dentro del grupo.
Ejercicio 3
En una distribución normal se tiene:
\[ \mu = 70, \qquad \sigma = 5 \]
¿Cuál de los valores \(72\) y \(83\) es más habitual? Justifica.
Comparamos la distancia de cada valor respecto de la media.
Para \(72\):
\[ |72-70|=2 \]
Como \(\sigma=5\), esta distancia es menor que una desviación estándar.
Para \(83\):
\[ |83-70|=13 \]
Como \(13\) es más que \(2\) desviaciones estándar, \(83\) está bastante más alejado del centro.
Por lo tanto, el valor 72 es más habitual porque está mucho más cerca de la media que \(83\).
Ejercicio 4
Un grupo de puntajes sigue aproximadamente una distribución normal con:
\[ \mu = 600, \qquad \sigma = 40 \]
Determina los intervalos:
- \(\mu \pm \sigma\)
- \(\mu \pm 2\sigma\)
a) Para \(\mu \pm \sigma\):
\[ 600-40=560,\qquad 600+40=640 \]
Entonces:
\[ \mu \pm \sigma=[560,640] \]
b) Para \(\mu \pm 2\sigma\), primero calculamos:
\[ 2\sigma=2\cdot 40=80 \]
Luego:
\[ 600-80=520,\qquad 600+80=680 \]
Entonces:
\[ \mu \pm 2\sigma=[520,680] \]
Ejercicio 5
En una distribución normal con \(\mu=500\) y \(\sigma=25\), ¿a cuántas desviaciones estándar de la media se encuentra el valor \(550\)?
La distancia entre \(550\) y \(500\) es:
\[ 550-500=50 \]
Como la desviación estándar es \(25\), calculamos:
\[ \frac{50}{25}=2 \]
Por lo tanto, el valor \(550\) está a 2 desviaciones estándar sobre la media.
Ejercicio 6
Las masas de ciertos paquetes siguen aproximadamente una distribución normal con:
\[ \mu = 1000 \text{ g}, \qquad \sigma = 20 \text{ g} \]
Interpreta en contexto los siguientes valores:
- \(1005\) g
- \(1040\) g
- \(1065\) g
\(1005\) g: está a \(5\) g de la media.
\[ \frac{5}{20}=0{,}25 \]
Está a solo \(0{,}25\) desviaciones estándar, por lo que es un valor muy habitual.
\(1040\) g: está a \(40\) g de la media.
\[ \frac{40}{20}=2 \]
Está a \(2\) desviaciones estándar sobre la media, por lo que es menos habitual.
\(1065\) g: está a \(65\) g de la media.
\[ \frac{65}{20}=3{,}25 \]
Está a más de \(3\) desviaciones estándar, por lo que es un valor muy poco habitual dentro del modelo.
Ejercicio 7
En una prueba, los puntajes siguen aproximadamente una distribución normal con:
\[ \mu = 450, \qquad \sigma = 30 \]
Compara los puntajes \(420\) y \(480\). ¿Tienen una interpretación parecida? Explica.
Sí, tienen una interpretación parecida.
Calculamos sus distancias respecto de la media:
\[ |420-450|=30 \]
\[ |480-450|=30 \]
Ambos están a \(30\) puntos de la media. Como \(\sigma=30\), ambos están a 1 desviación estándar de la media.
La diferencia es que \(420\) está una desviación estándar por debajo de la media y \(480\) está una desviación estándar por encima. En una distribución normal simétrica, ambos se interpretan como valores igualmente habituales.
Ejercicio 8
Un estudiante afirma: “Si un valor está a \(3\) desviaciones estándar de la media, entonces nunca puede aparecer”.
¿Es correcta esa afirmación? Justifica.
No, la afirmación es incorrecta.
Un valor a \(3\) desviaciones estándar de la media puede aparecer, pero se interpreta como muy poco habitual dentro de la distribución normal.
Estar lejos del centro no significa ser imposible; solo significa que ocurre con menor frecuencia que los valores cercanos a la media.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
En una distribución normal, la desviación estándar permite describir principalmente:
- El nombre del experimento.
- La dispersión de los datos respecto de la media.
- La cantidad total de datos.
- La probabilidad de éxito.
La desviación estándar describe qué tan dispersos o extendidos están los datos respecto de la media.
Alternativa correcta: b.
PAES 2
Si una distribución normal tiene \(\mu=80\) y \(\sigma=6\), entonces el intervalo \(\mu \pm \sigma\) es:
- \([74,86]\)
- \([68,92]\)
- \([76,84]\)
- \([72,88]\)
Calculamos:
\[ 80-6=74 \]
\[ 80+6=86 \]
Entonces:
\[ \mu\pm\sigma=[74,86] \]
Alternativa correcta: a.
PAES 3
En una distribución normal con \(\mu=100\) y \(\sigma=10\), ¿cuál de los siguientes valores está a \(2\) desviaciones estándar sobre la media?
- 110
- 115
- 120
- 130
Dos desviaciones estándar equivalen a:
\[ 2\sigma=2\cdot 10=20 \]
Como se pide sobre la media:
\[ 100+20=120 \]
Alternativa correcta: c.
PAES 4
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
- Un valor cercano a la media suele ser más habitual que uno muy alejado.
- La media y la desviación estándar significan lo mismo.
- Todo valor fuera de \(\mu \pm \sigma\) es imposible.
- Dos valores a distinta distancia de la media siempre se interpretan igual.
En una distribución normal, los valores cercanos a la media suelen aparecer con mayor frecuencia que los valores muy alejados.
Por eso, la afirmación verdadera es la alternativa a.
Alternativa correcta: a.
PAES 5
En una distribución normal con \(\mu=200\) y \(\sigma=25\), un valor igual a \(250\) se encuentra:
- A \(1\) desviación estándar sobre la media.
- A \(2\) desviaciones estándar sobre la media.
- A \(2\) desviaciones estándar bajo la media.
- A \(3\) desviaciones estándar sobre la media.
Calculamos la distancia entre el valor y la media:
\[ 250-200=50 \]
Como \(\sigma=25\):
\[ \frac{50}{25}=2 \]
Además, \(250\) está sobre la media porque es mayor que \(200\).
Alternativa correcta: b.
Cierre
Síntesis
En esta página usamos la desviación estándar como una herramienta para interpretar qué tan cerca o lejos está un valor del centro en una distribución normal.
Vimos que conocer \(\mu\) y \(\sigma\) permite comparar datos, reconocer valores habituales y detectar valores poco habituales dentro de un contexto.
Para recordar
- \(\mu\) representa el centro.
- \(\sigma\) representa la dispersión.
- Un valor cercano a la media suele ser más habitual.
- Un valor a varias desviaciones estándar de la media es menos habitual, pero no imposible.
- La distancia \(\frac{|x-\mu|}{\sigma}\) permite comparar valores en relación con la dispersión del grupo.