Estadistica
10. Lectura e interpretación de valores cercanos o alejados del centro en una distribución normal
Uso de desviaciones estándar dadas para interpretar datos en distribución normal
En la página anterior vimos que una distribución normal tiene una forma aproximadamente acampanada, con un centro y una cierta dispersión.
En esta página avanzaremos un paso más: usaremos una desviación estándar ya dada para interpretar si un valor está cerca del centro, algo alejado o bastante alejado dentro de una distribución normal.
No trabajaremos aquí calculando la desviación estándar desde los datos, sino usándola como información entregada para interpretar resultados en contexto.
Objetivo de la página
- Interpretar datos en una distribución normal cuando se conoce la media y la desviación estándar.
- Relacionar la distancia al centro con la desviación estándar dada.
- Comparar qué tan habitual o poco habitual es un valor según cuántas desviaciones estándar lo separan del centro.
- Redactar conclusiones en contexto a partir de \(\mu\) y \(\sigma\).
Al finalizar esta página deberías poder:
- Interpretar qué representa la media \(\mu\) y la desviación estándar \(\sigma\).
- Reconocer intervalos como \(\mu \pm \sigma\) y \(\mu \pm 2\sigma\).
- Comparar dos valores según su distancia al centro medida en desviaciones estándar.
- Decidir si un valor es habitual, poco habitual o bastante alejado del centro.
En una distribución normal se usan con frecuencia dos parámetros:
- Media \(\mu\): indica el centro de la distribución.
- Desviación estándar \(\sigma\): indica qué tan dispersos están los datos alrededor del centro.
Cuando la desviación estándar está dada, podemos construir intervalos importantes:
\[ \mu - \sigma \quad \text{y} \quad \mu + \sigma \]
\[ \mu - 2\sigma \quad \text{y} \quad \mu + 2\sigma \]
\[ \mu - 3\sigma \quad \text{y} \quad \mu + 3\sigma \]
Estos intervalos ayudan a interpretar qué tan cerca o lejos está un valor del centro.
No basta con saber si un valor es grande o pequeño. Lo importante es ver cuántas desviaciones estándar lo separan de la media.
Que un valor esté a 2 o 3 desviaciones estándar del centro no significa que sea imposible. Solo indica que es menos habitual que un valor cercano a la media.
Lectura intuitiva de intervalos
| Ubicación del valor | Interpretación aproximada | Lectura cualitativa |
|---|---|---|
| Cerca de \(\mu\) | Muy habitual | Forma parte del comportamiento típico del grupo |
| Dentro de \(\mu \pm \sigma\) | Habitual | Está relativamente cerca del centro |
| Entre \(\mu \pm \sigma\) y \(\mu \pm 2\sigma\) | Menos habitual | Se aleja del centro, pero sigue siendo razonable |
| Más allá de \(\mu \pm 2\sigma\) | Poco habitual | Está bastante alejado del centro |
| Más allá de \(\mu \pm 3\sigma\) | Muy poco habitual | Es un valor muy extremo dentro del modelo |
Ejemplo guiado 1: interpretar \(\mu \pm \sigma\)
Las estaturas de un grupo de estudiantes siguen aproximadamente una distribución normal con:
\[ \mu = 170 \text{ cm}, \qquad \sigma = 5 \text{ cm} \]
Entonces:
\[ \mu - \sigma = 170 - 5 = 165 \]
\[ \mu + \sigma = 170 + 5 = 175 \]
El intervalo \([165,175]\) reúne estaturas cercanas al centro, por lo que valores como 168 cm, 170 cm o 174 cm se interpretan como bastante habituales.
En cambio, una estatura como 182 cm está más alejada del centro, por lo que sería menos habitual que 170 cm.
Ejemplo guiado 2: comparar cuántas desviaciones estándar separan un valor del centro
Supongamos una distribución normal de puntajes con:
\[ \mu = 500, \qquad \sigma = 50 \]
Comparemos los puntajes 550 y 650.
El valor 550 está a:
\[ 550 - 500 = 50 \]
Es decir, está a 1 desviación estándar sobre la media.
El valor 650 está a:
\[ 650 - 500 = 150 \]
Como \(150 = 3 \cdot 50\), está a 3 desviaciones estándar sobre la media.
Por lo tanto, 550 es un puntaje más habitual, mientras que 650 es un puntaje mucho más alejado del centro y, por eso, mucho menos habitual.
Porque no siempre basta con mirar la diferencia numérica. Una diferencia de 10 puede ser pequeña en una distribución y grande en otra. La desviación estándar nos ayuda a decidir si esa distancia es pequeña o grande en relación con la dispersión del grupo.
En pruebas estandarizadas, mediciones médicas, estaturas, tiempos de reacción o resultados financieros, conocer la media y la desviación estándar permite interpretar si un valor es típico del grupo o si se aleja bastante de lo esperado.
Resumen de interpretación
| Dato | Qué indica | Ejemplo de lectura |
|---|---|---|
| \(\mu\) | Centro | Valor típico alrededor del cual se agrupan los datos |
| \(\sigma\) | Dispersión | Qué tan agrupados o extendidos están los datos |
| \(\mu \pm \sigma\) | Zona cercana al centro | Valores habituales |
| \(\mu \pm 2\sigma\) | Zona más alejada | Valores menos habituales |
| \(\mu \pm 3\sigma\) | Zona extrema | Valores muy poco habituales |
Ejercicios
Ejercicio 1
Explica con tus palabras qué representa la media \(\mu\) y qué representa la desviación estándar \(\sigma\) en una distribución normal.
La media \(\mu\) representa el centro de la distribución, es decir, el valor alrededor del cual se agrupan los datos. La desviación estándar \(\sigma\) representa qué tan dispersos están esos datos respecto del centro.
Ejercicio 2
Las estaturas de cierto grupo siguen aproximadamente una distribución normal con:
\[ \mu = 160 \text{ cm}, \qquad \sigma = 4 \text{ cm} \]
- Calcula \(\mu - \sigma\) y \(\mu + \sigma\).
- Interpreta el intervalo obtenido.
a)
\[ \mu - \sigma = 160 - 4 = 156 \]
\[ \mu + \sigma = 160 + 4 = 164 \]
b) El intervalo \([156,164]\) corresponde a estaturas cercanas al centro, por lo que valores en ese rango se interpretan como relativamente habituales dentro del grupo.
Ejercicio 3
En una distribución normal se tiene:
\[ \mu = 70, \qquad \sigma = 5 \]
¿Cuál de los valores 72 y 83 es más habitual? Justifica.
\[ |72-70|=2 \]
\[ |83-70|=13 \]
El valor 72 es más habitual porque está mucho más cerca de la media que 83.
Ejercicio 4
Un grupo de puntajes sigue aproximadamente una distribución normal con:
\[ \mu = 600, \qquad \sigma = 40 \]
Determina los intervalos:
- \(\mu \pm \sigma\)
- \(\mu \pm 2\sigma\)
a)
\[ 600-40=560,\qquad 600+40=640 \]
Entonces, \(\mu \pm \sigma\) es \([560,640]\).
b)
\[ 600-2\cdot 40=520,\qquad 600+2\cdot 40=680 \]
Entonces, \(\mu \pm 2\sigma\) es \([520,680]\).
Ejercicio 5
En una distribución normal con \(\mu=500\) y \(\sigma=25\), ¿a cuántas desviaciones estándar de la media se encuentra el valor 550?
La distancia entre 550 y 500 es:
\[ 550-500=50 \]
Como \(50=2\cdot 25\), el valor 550 está a 2 desviaciones estándar sobre la media.
Ejercicio 6
Las masas de ciertos paquetes siguen aproximadamente una distribución normal con:
\[ \mu = 1000 \text{ g}, \qquad \sigma = 20 \text{ g} \]
Interpreta en contexto los siguientes valores:
- 1005 g
- 1040 g
- 1065 g
1005 g está muy cerca de la media, por lo que es un valor muy habitual.
1040 g está a 40 g de la media, es decir, a 2 desviaciones estándar, por lo que es menos habitual.
1065 g está a 65 g de la media, o sea, a más de 3 desviaciones estándar, por lo que es un valor muy poco habitual.
Ejercicio 7
En una prueba, los puntajes siguen aproximadamente una distribución normal con:
\[ \mu = 450, \qquad \sigma = 30 \]
Compara los puntajes 420 y 480. ¿Tienen una interpretación parecida? Explica.
Sí, tienen una interpretación parecida.
\[ |420-450|=30 \]
\[ |480-450|=30 \]
Ambos están a 1 desviación estándar de la media, uno por debajo y otro por encima. En una distribución normal simétrica, ambos se interpretan como valores igualmente habituales.
Ejercicio 8
Un estudiante afirma: “Si un valor está a 3 desviaciones estándar de la media, entonces nunca puede aparecer”.
¿Es correcta esa afirmación? Justifica.
No, la afirmación es incorrecta.
Un valor a 3 desviaciones estándar de la media puede aparecer, pero se interpreta como muy poco habitual dentro de la distribución normal.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
En una distribución normal, la desviación estándar permite describir principalmente:
- El nombre del experimento.
- La dispersión de los datos respecto de la media.
- La cantidad total de datos.
- La probabilidad de éxito.
La desviación estándar describe la dispersión de los datos respecto de la media.
Alternativa correcta: b
PAES 2
Si una distribución normal tiene \(\mu=80\) y \(\sigma=6\), entonces el intervalo \(\mu \pm \sigma\) es:
- \([74,86]\)
- \([68,92]\)
- \([76,84]\)
- \([72,88]\)
\[ 80-6=74,\qquad 80+6=86 \]
Alternativa correcta: a
PAES 3
En una distribución normal con \(\mu=100\) y \(\sigma=10\), ¿cuál de los siguientes valores está a 2 desviaciones estándar sobre la media?
- 110
- 115
- 120
- 130
Dos desviaciones estándar sobre la media es:
\[ 100+2\cdot 10=120 \]
Alternativa correcta: c
PAES 4
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
- Un valor cercano a la media suele ser más habitual que uno muy alejado.
- La media y la desviación estándar significan lo mismo.
- Todo valor fuera de \(\mu \pm \sigma\) es imposible.
- Dos valores a distinta distancia de la media siempre se interpretan igual.
La afirmación verdadera es la a.
Alternativa correcta: a
Cierre
En esta página usamos la desviación estándar como una herramienta para interpretar qué tan cerca o lejos está un valor del centro en una distribución normal.
Vimos que conocer \(\mu\) y \(\sigma\) permite comparar datos, reconocer valores habituales y detectar valores poco habituales dentro de un contexto.
- \(\mu\) representa el centro.
- \(\sigma\) representa la dispersión.
- Un valor cercano a la media suele ser más habitual.
- Un valor a varias desviaciones estándar de la media es menos habitual, pero no imposible.