economia basica
2. Crecimiento y decrecimiento porcentual constante
Crecimiento y decrecimiento porcentual constante
En la página anterior aprendimos a usar el porcentaje como operador para calcular aumentos y descuentos en una sola etapa.
Ahora daremos un paso más: estudiaremos situaciones en que ese cambio porcentual se aplica varias veces seguidas. A esto se le llama crecimiento porcentual constante o decrecimiento porcentual constante.
Este tipo de modelo aparece en contextos muy reales: ahorro, inflación, depreciación de objetos, crecimiento de una población, reajustes de precios y evolución de un capital.
Objetivo de la página
- Comprender qué significa que un valor crezca o disminuya en un porcentaje constante.
- Modelar situaciones de crecimiento y decrecimiento mediante multiplicadores.
- Reconocer que el cambio porcentual constante es multiplicativo, no aditivo.
- Resolver problemas en contexto usando potencias sencillas.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Calcular el valor final de una cantidad que cambia en un mismo porcentaje durante varios períodos.
- Escribir el multiplicador asociado a un crecimiento o decrecimiento constante.
- Interpretar tablas y expresiones del tipo \(C_0(1+r)^n\).
- Distinguir entre sumar repetidamente y multiplicar repetidamente.
Si una cantidad inicial \(C_0\) crece un \(r\%\) en cada período, entonces en cada etapa se multiplica por:
\[ 1+\frac{r}{100} \]
Después de \(n\) períodos, el valor es:
\[ C_n = C_0\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \]
Si una cantidad inicial \(C_0\) disminuye un \(r\%\) en cada período, entonces en cada etapa se multiplica por:
\[ 1-\frac{r}{100} \]
Después de \(n\) períodos, el valor es:
\[ C_n = C_0\left(1-\frac{r}{100}\right)^n \]
Cuando el porcentaje se repite en cada período, no conviene sumar el mismo monto una y otra vez. Lo correcto es multiplicar repetidamente por el mismo factor.
Si un capital crece un 10% cada mes durante 3 meses, no corresponde sumar 30% directamente para obtener el valor final. El 10% de cada mes se calcula sobre un valor que ya cambió.
Resumen de multiplicadores
| Situación | Porcentaje | Multiplicador por período | Expresión después de \(n\) períodos |
|---|---|---|---|
| Crecimiento | 5% | 1,05 | \(C_0(1,05)^n\) |
| Crecimiento | 12% | 1,12 | \(C_0(1,12)^n\) |
| Decrecimiento | 8% | 0,92 | \(C_0(0,92)^n\) |
| Decrecimiento | 20% | 0,80 | \(C_0(0,80)^n\) |
Ejemplo guiado 1: crecimiento porcentual constante
Un capital inicial de \$100.000 crece un 10% mensual durante 3 meses.
El multiplicador mensual es:
\[ 1+0{,}10 = 1{,}10 \]
Después de 3 meses:
\[ C_3 = 100.000(1{,}10)^3 \]
\[ C_3 = 100.000\cdot 1{,}331 = 133.100 \]
El capital final es \$133.100.
Ejemplo guiado 2: decrecimiento porcentual constante
Un computador cuesta \$500.000 y pierde un 20% de su valor cada año durante 2 años.
El multiplicador anual es:
\[ 1-0{,}20 = 0{,}80 \]
Después de 2 años:
\[ C_2 = 500.000(0{,}80)^2 \]
\[ C_2 = 500.000\cdot 0{,}64 = 320.000 \]
El valor del computador después de 2 años es \$320.000.
Ejemplo guiado 3: crecimiento en tabla
Una población inicial de 200 bacterias aumenta un 50% por período.
El multiplicador es:
\[ 1+0{,}50 = 1{,}50 \]
| Período | Cantidad |
|---|---|
| 0 | 200 |
| 1 | \(200\cdot 1{,}5 = 300\) |
| 2 | \(300\cdot 1{,}5 = 450\) |
| 3 | \(450\cdot 1{,}5 = 675\) |
También puede escribirse directamente como:
\[ C_n = 200(1{,}5)^n \]
Porque el mismo multiplicador se aplica una y otra vez. Multiplicar tres veces por \(1{,}10\) es lo mismo que multiplicar por \((1{,}10)^3\).
Los crecimientos y decrecimientos porcentuales constantes aparecen en ahorros, préstamos, depreciación de autos, reajustes de precios, crecimiento de seguidores en redes y variación del valor de algunos bienes.
Ejercicios
Ejercicio 1
Escribe el multiplicador correspondiente a cada caso:
- Crecimiento de 6% por período
- Crecimiento de 15% por período
- Decrecimiento de 8% por período
- Decrecimiento de 25% por período
a) \(1{,}06\)
b) \(1{,}15\)
c) \(0{,}92\)
d) \(0{,}75\)
Ejercicio 2
Un capital de \$80.000 crece un 5% mensual durante 2 meses.
- Escribe la expresión que modela la situación.
- Calcula el capital final.
a)
\[ C_2 = 80.000(1{,}05)^2 \]
b)
\[ C_2 = 80.000\cdot 1{,}1025 = 88.200 \]
El capital final es \$88.200.
Ejercicio 3
Un celular cuesta \$300.000 y pierde un 10% de su valor cada año durante 3 años.
- Escribe la expresión del valor después de 3 años.
- Calcula el valor final.
a)
\[ C_3 = 300.000(0{,}90)^3 \]
b)
\[ C_3 = 300.000\cdot 0{,}729 = 218.700 \]
El valor final es \$218.700.
Ejercicio 4
Completa la tabla para un capital inicial de \$50.000 que crece un 20% por período.
| Período | Valor |
|---|---|
| 0 | \$50.000 |
| 1 | ? |
| 2 | ? |
| 3 | ? |
El multiplicador es \(1{,}20\).
| Período | Valor |
|---|---|
| 0 | \$50.000 |
| 1 | \$60.000 |
| 2 | \$72.000 |
| 3 | \$86.400 |
Ejercicio 5
Una población de 1.000 personas disminuye un 4% cada año.
- Escribe el multiplicador anual.
- Calcula la población después de 2 años.
- Calcula la población después de 3 años.
a) El multiplicador es:
\[ 1-0{,}04 = 0{,}96 \]
b)
\[ 1.000(0{,}96)^2 = 1.000\cdot 0{,}9216 = 921{,}6 \]
Aproximadamente, 922 personas.
c)
\[ 1.000(0{,}96)^3 = 1.000\cdot 0{,}884736 = 884{,}736 \]
Aproximadamente, 885 personas.
Ejercicio 6
Un estudiante dice: “Si algo aumenta 5% cada año durante 4 años, entonces aumenta 20% en total”.
¿Es correcta esa afirmación? Justifica.
No, la afirmación es incorrecta.
En un crecimiento porcentual constante, el porcentaje se aplica cada vez sobre un valor actualizado, no siempre sobre el valor inicial.
Después de 4 años, el factor correcto es:
\[ (1{,}05)^4 = 1{,}21550625 \]
Eso corresponde a un aumento de aproximadamente 21,55%, no de 20%.
Ejercicio 7
Una inversión sigue el modelo:
\[ C_n = 200.000(1{,}08)^n \]
- ¿Cuál es el capital inicial?
- ¿Cuál es el porcentaje de crecimiento por período?
- Calcula el capital al cabo de 2 períodos.
a) El capital inicial es \$200.000.
b) Como el multiplicador es \(1{,}08\), el crecimiento es de 8% por período.
c)
\[ C_2 = 200.000(1{,}08)^2 \]
\[ C_2 = 200.000\cdot 1{,}1664 = 233.280 \]
El capital al cabo de 2 períodos es \$233.280.
Ejercicio 8
El valor de una máquina se modela por:
\[ V_n = 1.200.000(0{,}85)^n \]
- ¿Se trata de crecimiento o decrecimiento?
- ¿Cuál es el porcentaje de cambio por período?
- Calcula el valor después de 2 períodos.
- Interpreta el resultado en contexto.
a) Se trata de decrecimiento, porque el multiplicador es menor que 1.
b) Como \(0{,}85 = 1-0{,}15\), el valor disminuye un 15% por período.
c)
\[ V_2 = 1.200.000(0{,}85)^2 \]
\[ V_2 = 1.200.000\cdot 0{,}7225 = 867.000 \]
d) Después de 2 períodos, la máquina vale \$867.000. Esto significa que ha perdido valor de manera porcentual constante en cada etapa.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
Si una cantidad crece un 12% por período, ¿cuál es su multiplicador?
- 0,12
- 0,88
- 1,12
- 1,20
\[ 1+0{,}12 = 1{,}12 \]
Alternativa correcta: c
PAES 2
Si una cantidad disminuye un 12% por período, ¿cuál es su multiplicador?
- 1,12
- 0,88
- 0,12
- 1,88
\[ 1-0{,}12 = 0{,}88 \]
Alternativa correcta: b
PAES 3
Una inversión de \$100.000 crece un 10% por período durante 2 períodos. ¿Cuál es el valor final?
- \$110.000
- \$120.000
- \$121.000
- \$130.000
\[ 100.000(1{,}10)^2 = 100.000\cdot 1{,}21 = 121.000 \]
Alternativa correcta: c
PAES 4
Una máquina vale \$400.000 y pierde un 25% de su valor por año. ¿Cuál será su valor después de 1 año?
- \$300.000
- \$325.000
- \$350.000
- \$375.000
El multiplicador es \(0{,}75\).
\[ 400.000\cdot 0{,}75 = 300.000 \]
Alternativa correcta: a
Cierre
En esta página trabajamos el crecimiento y el decrecimiento porcentual constante. Vimos que estos procesos se modelan multiplicando repetidamente por un mismo factor, lo que conduce naturalmente al uso de potencias.
Esta idea será muy importante en las siguientes páginas, cuando estudiemos tasas de variación e interés aplicado al ahorro y al crédito.
- Un crecimiento constante de \(r\%\) usa el factor \(\left(1+\frac{r}{100}\right)\).
- Un decrecimiento constante de \(r\%\) usa el factor \(\left(1-\frac{r}{100}\right)\).
- Después de \(n\) períodos se usa una potencia.
- Estos cambios son multiplicativos, no aditivos.