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2. Crecimiento y decrecimiento porcentual constante
Crecimiento y decrecimiento porcentual constante
Crecimiento y decrecimiento porcentual constante
En la página anterior aprendimos a usar el porcentaje como operador para calcular aumentos y descuentos en una sola etapa.
Ahora daremos un paso más: estudiaremos situaciones en que ese cambio porcentual se aplica varias veces seguidas. A esto se le llama crecimiento porcentual constante o decrecimiento porcentual constante.
Este tipo de modelo aparece en contextos muy reales: ahorro, inflación, depreciación de objetos, crecimiento de una población, reajustes de precios y evolución de un capital.
Objetivo de la página
- Comprender qué significa que un valor crezca o disminuya en un porcentaje constante.
- Modelar situaciones de crecimiento y decrecimiento mediante multiplicadores.
- Reconocer que el cambio porcentual constante es multiplicativo, no aditivo.
- Resolver problemas en contexto usando potencias sencillas.
- Usar la fórmula en forma directa e inversa para encontrar valor final, valor inicial, porcentaje o número de períodos en casos adecuados al nivel.
- Al finalizar esta página deberías poder:
- Calcular el valor final de una cantidad que cambia en un mismo porcentaje durante varios períodos.
- Escribir el multiplicador asociado a un crecimiento o decrecimiento constante.
- Interpretar tablas y expresiones del tipo \(C_0(1+r)^n\).
- Usar la fórmula para encontrar el valor final, el valor inicial, el porcentaje o el número de períodos en casos sencillos.
- Distinguir entre sumar repetidamente y multiplicar repetidamente.
Modelo de crecimiento porcentual constante
Si una cantidad inicial \(C_0\) crece un \(r\%\) en cada período, entonces en cada etapa se multiplica por:
\[ 1+\frac{r}{100} \]
Después de \(n\) períodos, el valor es:
\[ C_n = C_0\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \]
Modelo de decrecimiento porcentual constante
Si una cantidad inicial \(C_0\) disminuye un \(r\%\) en cada período, entonces en cada etapa se multiplica por:
\[ 1-\frac{r}{100} \]
Después de \(n\) períodos, el valor es:
\[ C_n = C_0\left(1-\frac{r}{100}\right)^n \]
Uso directo e inverso del modelo
Si \(m\) es el multiplicador por período, entonces el modelo general es:
\[C_n=C_0\cdot m^n\]
Para encontrar el valor inicial cuando se conoce el valor final:
\[C_0=\frac{C_n}{m^n}\]
Para encontrar el multiplicador cuando se conocen \(C_0\), \(C_n\) y \(n\), en casos sencillos se busca un número \(m\) que cumpla:
\[m^n=\frac{C_n}{C_0}\]
Para encontrar el número de períodos, se pueden probar potencias del multiplicador o completar una tabla.
Idea clave
Cuando el porcentaje se repite en cada período, no conviene sumar el mismo monto una y otra vez. Lo correcto es multiplicar repetidamente por el mismo factor.
Error frecuente
Si un capital crece un 10% cada mes durante 3 meses, no corresponde sumar 30% directamente para obtener el valor final. El 10% de cada mes se calcula sobre un valor que ya cambió.
Resumen de multiplicadores
Tabla de multiplicadores
| Situación | Porcentaje | Multiplicador por período | Expresión después de \(n\) períodos |
|---|---|---|---|
| Crecimiento | 5% | 1,05 | \(C_0(1{,}05)^n\) |
| Crecimiento | 12% | 1,12 | \(C_0(1{,}12)^n\) |
| Decrecimiento | 8% | 0,92 | \(C_0(0{,}92)^n\) |
| Decrecimiento | 20% | 0,80 | \(C_0(0{,}80)^n\) |
Ejemplo guiado 1: crecimiento porcentual constante
Un capital inicial de \$100.000 crece un 10% mensual durante 3 meses.
El multiplicador mensual es:
\[ 1+0{,}10 = 1{,}10 \]
Después de 3 meses:
\[ C_3 = 100.000(1{,}10)^3 \]
\[ C_3 = 100.000\cdot 1{,}331 = 133.100 \]
El capital final es \$133.100.
Ejemplo guiado 2: decrecimiento porcentual constante
Un computador cuesta \$500.000 y pierde un 20% de su valor cada año durante 2 años.
El multiplicador anual es:
\[ 1-0{,}20 = 0{,}80 \]
Después de 2 años:
\[ C_2 = 500.000(0{,}80)^2 \]
\[ C_2 = 500.000\cdot 0{,}64 = 320.000 \]
El valor del computador después de 2 años es \$320.000.
Ejemplo guiado 3: crecimiento en tabla
Una población inicial de 200 bacterias aumenta un 50% por período.
El multiplicador es:
\[ 1+0{,}50 = 1{,}50 \]
| Período | Cantidad |
|---|---|
| 0 | 200 |
| 1 | \(200\cdot 1{,}5 = 300\) |
| 2 | \(300\cdot 1{,}5 = 450\) |
| 3 | \(450\cdot 1{,}5 = 675\) |
También puede escribirse directamente como:
\[ C_n = 200(1{,}5)^n \]
Ejemplo guiado 4: encontrar el valor inicial
Un capital crece un 10% mensual durante 3 meses y llega a \$133.100. ¿Cuál era el capital inicial?
El multiplicador mensual es:
\[1+0{,}10=1{,}10\]
Usamos el modelo:
\[C_3=C_0(1{,}10)^3\]
Reemplazamos el valor final:
\[133.100=C_0(1{,}10)^3\]
Como \((1{,}10)^3=1{,}331\), entonces:
\[C_0=\frac{133.100}{1{,}331}=100.000\]
El capital inicial era \$100.000.
Ejemplo guiado 5: encontrar el porcentaje por período
Un capital pasa de \$200.000 a \$242.000 en 2 períodos, creciendo siempre al mismo porcentaje. ¿Cuál fue el porcentaje de crecimiento por período?
Usamos el modelo:
\[C_2=C_0\cdot m^2\]
Reemplazamos:
\[242.000=200.000\cdot m^2\]
Dividimos por 200.000:
\[1{,}21=m^2\]
Como \(1{,}10^2=1{,}21\), entonces:
\[m=1{,}10\]
Por lo tanto, el crecimiento fue de 10% por período.
¿Por qué aparece una potencia?
Porque el mismo multiplicador se aplica una y otra vez. Multiplicar tres veces por \(1{,}10\) es lo mismo que multiplicar por \((1{,}10)^3\).
Usar la fórmula en distintos sentidos
La expresión \(C_n=C_0\cdot m^n\), donde \(m\) es el multiplicador, puede usarse para encontrar distintas cantidades.
- Si se conoce \(C_0\), \(m\) y \(n\), se puede calcular \(C_n\).
- Si se conoce \(C_n\), \(m\) y \(n\), se puede calcular \(C_0\) dividiendo.
- Si se conoce \(C_0\), \(C_n\) y \(n\), se puede encontrar el multiplicador en casos sencillos.
- Si se conoce \(C_0\), \(C_n\) y \(m\), se puede encontrar \(n\) usando una tabla o probando potencias simples.
Aplicación en el mundo real
Los crecimientos y decrecimientos porcentuales constantes aparecen en ahorros, préstamos, depreciación de autos, reajustes de precios, crecimiento de seguidores en redes y variación del valor de algunos bienes.
Ejercicios
Ejercicio 1
Completa la información en cada caso:
| Situación | Porcentaje por período | Multiplicador | Expresión para \(n\) períodos |
|---|---|---|---|
| Crecimiento | 6% | ? | ? |
| Decrecimiento | 8% | ? | ? |
| Crecimiento | ? | 1,18 | ? |
| Decrecimiento | ? | 0,73 | ? |
Fila 1: crecimiento de 6%.
\[m=1+0{,}06=1{,}06\]
Expresión: \[C_n=C_0(1{,}06)^n\]
Fila 2: decrecimiento de 8%.
\[m=1-0{,}08=0{,}92\]
Expresión: \[C_n=C_0(0{,}92)^n\]
Fila 3: multiplicador \(1{,}18\).
\[1{,}18-1=0{,}18=18\%\]
Es un crecimiento de 18%. Expresión: \[C_n=C_0(1{,}18)^n\]
Fila 4: multiplicador \(0{,}73\).
\[1-0{,}73=0{,}27=27\%\]
Es un decrecimiento de 27%. Expresión: \[C_n=C_0(0{,}73)^n\]
Ejercicio 2
Un capital de \$80.000 crece un 5% mensual durante 2 meses.
- Escribe la expresión que modela la situación.
- Calcula el capital final.
- Calcula el aumento total en pesos.
- Calcula el porcentaje total de aumento respecto del capital inicial.
a) El multiplicador mensual es:
\[1+0{,}05=1{,}05\]
La expresión es:
\[C_2=80.000(1{,}05)^2\]
b) Calculamos:
\[C_2=80.000\cdot 1{,}1025=88.200\]
El capital final es \$88.200.
c) El aumento total en pesos es:
\[88.200-80.000=8.200\]
d) El porcentaje total de aumento es:
\[\frac{8.200}{80.000}=0{,}1025=10{,}25\%\]
El capital aumentó un 10,25% en total.
Ejercicio 3
Un celular cuesta \$300.000 y pierde un 10% de su valor cada año durante 3 años.
- Escribe la expresión del valor después de 3 años.
- Calcula el valor final.
- Determina cuánto dinero perdió en total.
- Explica por qué no perdió exactamente \$30.000 cada año.
a) El multiplicador anual es:
\[1-0{,}10=0{,}90\]
La expresión es:
\[C_3=300.000(0{,}90)^3\]
b) Calculamos:
\[C_3=300.000\cdot 0{,}729=218.700\]
El valor final es \$218.700.
c) La pérdida total es:
\[300.000-218.700=81.300\]
Perdió \$81.300 en total.
d) No pierde exactamente \$30.000 cada año, porque el 10% se calcula cada vez sobre el valor actualizado del celular.
Ejercicio 4
Completa la tabla para un capital inicial de \$50.000 que crece un 20% por período. Luego determina el menor número de períodos necesarios para superar los \$100.000.
| Período | Valor |
|---|---|
| 0 | \$50.000 |
| 1 | ? |
| 2 | ? |
| 3 | ? |
| 4 | ? |
El multiplicador es:
\[1+0{,}20=1{,}20\]
Calculamos período a período:
\[C_1=50.000\cdot 1{,}20=60.000\]
\[C_2=60.000\cdot 1{,}20=72.000\]
\[C_3=72.000\cdot 1{,}20=86.400\]
\[C_4=86.400\cdot 1{,}20=103.680\]
| Período | Valor |
|---|---|
| 0 | \$50.000 |
| 1 | \$60.000 |
| 2 | \$72.000 |
| 3 | \$86.400 |
| 4 | \$103.680 |
El menor número de períodos para superar los \$100.000 es 4 períodos.
Ejercicio 5
Una población de 1.000 personas disminuye un 4% cada año.
- Escribe el multiplicador anual.
- Calcula la población después de 3 años.
- Determina el porcentaje total de disminución respecto de la población inicial.
a) El multiplicador es:
\[1-0{,}04=0{,}96\]
b) Después de 3 años:
\[1.000(0{,}96)^3=1.000\cdot 0{,}884736=884{,}736\]
Aproximadamente, 885 personas.
c) El multiplicador total después de 3 años es \(0{,}884736\). Por lo tanto, la disminución total es:
\[1-0{,}884736=0{,}115264=11{,}5264\%\]
La población disminuyó aproximadamente un 11,53% en total.
Ejercicio 6
Un estudiante dice: “Si algo aumenta 5% cada año durante 4 años, entonces aumenta 20% en total”.
¿Es correcta esa afirmación? Justifica.
No, la afirmación es incorrecta.
En un crecimiento porcentual constante, el porcentaje se aplica cada vez sobre un valor actualizado, no siempre sobre el valor inicial.
Después de 4 años, el factor correcto es:
\[(1{,}05)^4=1{,}21550625\]
Esto significa que el valor final es aproximadamente el \(121{,}55\%\) del valor inicial.
Por lo tanto, el aumento total es aproximadamente 21,55%, no 20%.
Ejercicio 7
Una inversión sigue el modelo:
\[C_n=200.000(1{,}08)^n\]
- ¿Cuál es el capital inicial?
- ¿Cuál es el porcentaje de crecimiento por período?
- Calcula el capital al cabo de 2 períodos.
- ¿Después de 2 períodos el aumento total es exactamente 16%? Justifica.
a) En el modelo, \(C_0\) es el número que multiplica a la potencia. Por lo tanto:
\[C_0=200.000\]
El capital inicial es \$200.000.
b) El multiplicador es \(1{,}08\). Como:
\[1{,}08=1+0{,}08\]
El crecimiento es de 8% por período.
c) Para 2 períodos:
\[C_2=200.000(1{,}08)^2\]
\[C_2=200.000\cdot 1{,}1664=233.280\]
El capital al cabo de 2 períodos es \$233.280.
d) No es exactamente 16%, porque:
\[(1{,}08)^2=1{,}1664\]
El aumento total es \(0{,}1664=16{,}64\%\), no 16%.
Ejercicio 8
El valor de una máquina se modela por:
\[V_n=1.200.000(0{,}85)^n\]
- ¿Se trata de crecimiento o decrecimiento?
- ¿Cuál es el porcentaje de cambio por período?
- Calcula el valor después de 2 períodos.
- Interpreta el resultado en contexto.
a) Se trata de decrecimiento, porque el multiplicador \(0{,}85\) es menor que 1.
b) Como:
\[0{,}85=1-0{,}15\]
El valor disminuye un 15% por período.
c) Para 2 períodos:
\[V_2=1.200.000(0{,}85)^2\]
\[V_2=1.200.000\cdot 0{,}7225=867.000\]
d) Después de 2 períodos, la máquina vale \$867.000. Esto significa que ha perdido valor de manera porcentual constante en cada etapa.
Ejercicio 9
Después de 2 períodos creciendo un 10% por período, un capital llega a \$121.000. ¿Cuál era el capital inicial?
Un crecimiento de 10% usa multiplicador:
\[1+0{,}10=1{,}10\]
El modelo es:
\[C_2=C_0(1{,}10)^2\]
Reemplazamos el valor final:
\[121.000=C_0(1{,}10)^2\]
Como \((1{,}10)^2=1{,}21\), entonces:
\[C_0=\frac{121.000}{1{,}21}=100.000\]
El capital inicial era \$100.000.
Ejercicio 10
Una máquina pierde un 20% de su valor cada año. Después de 2 años vale \$384.000. ¿Cuál era su valor inicial?
Un decrecimiento de 20% usa multiplicador:
\[1-0{,}20=0{,}80\]
El modelo es:
\[C_2=C_0(0{,}80)^2\]
Reemplazamos el valor final:
\[384.000=C_0(0{,}80)^2\]
Como \((0{,}80)^2=0{,}64\), entonces:
\[C_0=\frac{384.000}{0{,}64}=600.000\]
El valor inicial de la máquina era \$600.000.
Ejercicio 11
Un capital de \$100.000 llega a \$121.000 después de 2 períodos de crecimiento porcentual constante. ¿Cuál fue el porcentaje de crecimiento por período?
Usamos el modelo:
\[C_2=C_0(1+r)^2\]
Reemplazamos los datos:
\[121.000=100.000(1+r)^2\]
Dividimos por 100.000:
\[\frac{121.000}{100.000}=(1+r)^2\]
\[1{,}21=(1+r)^2\]
Como:
\[1{,}10^2=1{,}21\]
Entonces:
\[1+r=1{,}10\]
\[r=0{,}10=10\%\]
El porcentaje de crecimiento fue de 10% por período.
Ejercicio 12
Un objeto baja de \$500.000 a \$320.000 después de 2 años, con un decrecimiento porcentual constante. ¿Cuál fue el porcentaje de disminución anual?
Como se trata de decrecimiento, usamos:
\[C_2=C_0(1-r)^2\]
Reemplazamos:
\[320.000=500.000(1-r)^2\]
Dividimos por 500.000:
\[\frac{320.000}{500.000}=(1-r)^2\]
\[0{,}64=(1-r)^2\]
Como:
\[0{,}80^2=0{,}64\]
Entonces:
\[1-r=0{,}80\]
\[r=0{,}20=20\%\]
El porcentaje de disminución fue de 20% anual.
Ejercicio 13
Un capital inicial de \$100.000 crece un 10% por período y llega a \$133.100. ¿Cuántos períodos pasaron?
El multiplicador es:
\[1+0{,}10=1{,}10\]
El modelo es:
\[133.100=100.000(1{,}10)^n\]
Dividimos por 100.000:
\[1{,}331=(1{,}10)^n\]
Probamos potencias sencillas:
\[(1{,}10)^1=1{,}10\]
\[(1{,}10)^2=1{,}21\]
\[(1{,}10)^3=1{,}331\]
Por lo tanto:
\[n=3\]
Pasaron 3 períodos.
Ejercicio 14
Un vehículo vale inicialmente \$800.000 y pierde un 50% de su valor por período. Después de cierto número de períodos vale \$100.000. ¿Cuántos períodos pasaron?
Un decrecimiento de 50% usa multiplicador:
\[1-0{,}50=0{,}50\]
El modelo es:
\[100.000=800.000(0{,}50)^n\]
Dividimos por 800.000:
\[0{,}125=(0{,}50)^n\]
Probamos potencias sencillas:
\[(0{,}50)^1=0{,}50\]
\[(0{,}50)^2=0{,}25\]
\[(0{,}50)^3=0{,}125\]
Por lo tanto:
\[n=3\]
Pasaron 3 períodos.
Ejercicio 15
Dos alternativas de inversión ofrecen las siguientes condiciones para un capital inicial de \$300.000:
- Alternativa A: crecimiento de 8% por período durante 3 períodos.
- Alternativa B: crecimiento de 25% total al final de los 3 períodos.
¿Cuál alternativa entrega mayor monto final? Justifica.
Alternativa A:
\[300.000(1{,}08)^3=300.000\cdot 1{,}259712=377.913{,}6\]
El monto final aproximado es \$377.914.
Alternativa B:
Un crecimiento total de 25% usa multiplicador \(1{,}25\):
\[300.000\cdot 1{,}25=375.000\]
El monto final es \$375.000.
Conviene más la Alternativa A, porque entrega aproximadamente:
\[377.914-375.000=2.914\]
Es decir, alrededor de \$2.914 más.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
Si una cantidad crece un 12% por período, ¿cuál es su multiplicador?
- 0,12
- 0,88
- 1,12
- 1,20
En un crecimiento, se suma el porcentaje decimal a 1:
\[1+0{,}12=1{,}12\]
Alternativa correcta: c
PAES 2
Una cantidad disminuye un 12% por período durante 2 períodos. ¿Cuál expresión representa correctamente el valor final si el valor inicial es \(C_0\)?
- \(C_0(1{,}12)^2\)
- \(C_0(0{,}88)^2\)
- \(C_0(0{,}12)^2\)
- \(C_0(1-0{,}24)\)
Una disminución de 12% usa multiplicador:
\[1-0{,}12=0{,}88\]
Como ocurre durante 2 períodos, se eleva al cuadrado:
\[C_0(0{,}88)^2\]
Alternativa correcta: b
PAES 3
Una inversión de \$100.000 crece un 10% por período durante 2 períodos. ¿Cuál es el valor final?
- \$110.000
- \$120.000
- \$121.000
- \$130.000
El multiplicador es \(1{,}10\).
Después de 2 períodos:
\[100.000(1{,}10)^2=100.000\cdot 1{,}21=121.000\]
Alternativa correcta: c
PAES 4
Después de 2 años perdiendo un 10% de su valor cada año, un objeto vale \$243.000. ¿Cuál era su valor inicial?
- \$196.830
- \$270.000
- \$300.000
- \$303.750
Un decrecimiento de 10% usa multiplicador:
\[1-0{,}10=0{,}90\]
El modelo es:
\[243.000=C_0(0{,}90)^2\]
Como \((0{,}90)^2=0{,}81\), entonces:
\[C_0=\frac{243.000}{0{,}81}=300.000\]
Alternativa correcta: c
PAES 5
Después de 2 períodos creciendo al mismo porcentaje, un capital pasa de \$200.000 a \$242.000. ¿Cuál fue el porcentaje de crecimiento por período?
- 5%
- 10%
- 21%
- 42%
Usamos el modelo:
\[242.000=200.000(1+r)^2\]
Dividimos por 200.000:
\[1{,}21=(1+r)^2\]
Como:
\[1{,}10^2=1{,}21\]
Entonces:
\[1+r=1{,}10\]
\[r=0{,}10=10\%\]
Alternativa correcta: b
PAES 6
Un capital de \$50.000 crece un 20% por período. ¿Después de cuántos períodos llega a \$72.000?
- 1 período
- 2 períodos
- 3 períodos
- 4 períodos
El multiplicador es \(1{,}20\). El modelo es:
\[72.000=50.000(1{,}20)^n\]
Dividimos por 50.000:
\[1{,}44=(1{,}20)^n\]
Probamos potencias:
\[(1{,}20)^1=1{,}20\]
\[(1{,}20)^2=1{,}44\]
Entonces:
\[n=2\]
Alternativa correcta: b
PAES 7
Un producto aumenta 10% en un período y luego vuelve a aumentar 10% en el período siguiente. ¿Cuál afirmación es correcta?
- El aumento total es exactamente 20%.
- El aumento total es 21%.
- El aumento total es 10%.
- El valor final es menor que el valor inicial.
Cada aumento de 10% usa multiplicador \(1{,}10\).
Después de 2 períodos:
\[(1{,}10)^2=1{,}21\]
Esto significa que el valor final equivale al 121% del valor inicial.
Por lo tanto, el aumento total es:
\[1{,}21-1=0{,}21=21\%\]
Alternativa correcta: b
PAES 8
Una máquina vale \$400.000 y después de 2 años vale \$256.000, perdiendo cada año el mismo porcentaje. ¿Cuál fue el porcentaje de disminución anual?
- 12%
- 18%
- 20%
- 36%
Usamos el modelo:
\[256.000=400.000(1-r)^2\]
Dividimos por 400.000:
\[0{,}64=(1-r)^2\]
Como \(0{,}80^2=0{,}64\), entonces:
\[1-r=0{,}80\]
\[r=0{,}20=20\%\]
Alternativa correcta: c
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Resumen de la página
En esta página trabajamos el crecimiento y el decrecimiento porcentual constante. Vimos que estos procesos se modelan multiplicando repetidamente por un mismo factor, lo que conduce naturalmente al uso de potencias.
Esta idea será muy importante en las siguientes páginas, cuando estudiemos tasas de variación e interés aplicado al ahorro y al crédito.
Para recordar
- Un crecimiento constante de \(r\%\) usa el factor \(\left(1+\frac{r}{100}\right)\).
- Un decrecimiento constante de \(r\%\) usa el factor \(\left(1-\frac{r}{100}\right)\).
- Después de \(n\) períodos se usa una potencia.
- La fórmula puede usarse para encontrar \(C_n\), \(C_0\), \(r\) o \(n\), siempre que los datos permitan resolverlo con herramientas adecuadas al nivel.
- Estos cambios son multiplicativos, no aditivos.