Libro modelos financieros
2. Crecimiento y decrecimiento porcentual constante
Crecimiento y decrecimiento porcentual constante
Crecimiento y decrecimiento porcentual constante
En la página anterior aprendimos a usar el porcentaje como operador para calcular aumentos y descuentos en una sola etapa.
Ahora daremos un paso más: estudiaremos situaciones en que ese cambio porcentual se aplica varias veces seguidas. A esto se le llama crecimiento porcentual constante o decrecimiento porcentual constante.
Este tipo de modelo aparece en contextos muy reales: ahorro, inflación, depreciación de objetos, crecimiento de una población, reajustes de precios y evolución de un capital.
Objetivo de la página
- Comprender qué significa que un valor crezca o disminuya en un porcentaje constante.
- Distinguir entre sumar repetidamente y multiplicar repetidamente.
- Modelar situaciones de crecimiento y decrecimiento mediante multiplicadores.
- Escribir el multiplicador asociado a un crecimiento o decrecimiento constante.
- Reconocer que el cambio porcentual constante es multiplicativo, no aditivo.
- Resolver problemas en contexto usando potencias sencillas.
- Calcular el valor final de una cantidad que cambia en un mismo porcentaje durante varios períodos.
- Interpretar tablas y expresiones del tipo \(C_0(1+r)^n\).
- Usar la fórmula en forma directa e inversa para encontrar valor final, valor inicial, porcentaje o número de períodos en casos adecuados al nivel.
- Usar la fórmula para encontrar el valor final, el valor inicial, el porcentaje o el número de períodos en casos sencillos.
Modelo de crecimiento porcentual constante
Si una cantidad inicial \(C_0\) crece un \(r\%\) en cada período, entonces en cada etapa se multiplica por:
\[ 1+\frac{r}{100} \]
Después de \(n\) períodos, el valor es:
\[ C_n=C_0\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \]
Modelo de decrecimiento porcentual constante
Si una cantidad inicial \(C_0\) disminuye un \(r\%\) en cada período, entonces en cada etapa se multiplica por:
\[ 1-\frac{r}{100} \]
Después de \(n\) períodos, el valor es:
\[ C_n=C_0\left(1-\frac{r}{100}\right)^n \]
Uso directo e inverso del modelo
Si \(m\) es el multiplicador por período, entonces el modelo general es:
\[ C_n=C_0\cdot m^n \]
Para encontrar el valor inicial cuando se conoce el valor final:
\[ C_0=\frac{C_n}{m^n} \]
Para encontrar el multiplicador cuando se conocen \(C_0\), \(C_n\) y \(n\), en casos sencillos se busca un número \(m\) que cumpla:
\[ m^n=\frac{C_n}{C_0} \]
Para encontrar el número de períodos, se pueden probar potencias del multiplicador o completar una tabla.
Idea clave
Cuando el porcentaje se repite en cada período, no conviene sumar el mismo monto una y otra vez. Lo correcto es multiplicar repetidamente por el mismo factor.
Error frecuente
Si un capital crece un \(10\%\) cada mes durante \(3\) meses, no corresponde sumar \(30\%\) directamente para obtener el valor final. El \(10\%\) de cada mes se calcula sobre un valor que ya cambió.
Resumen de multiplicadores
Tabla de multiplicadores
| Situación | Porcentaje | Multiplicador por período | Expresión después de \(n\) períodos |
|---|---|---|---|
| Crecimiento | \(5\%\) | \(1{,}05\) | \(C_0(1{,}05)^n\) |
| Crecimiento | \(12\%\) | \(1{,}12\) | \(C_0(1{,}12)^n\) |
| Decrecimiento | \(8\%\) | \(0{,}92\) | \(C_0(0{,}92)^n\) |
| Decrecimiento | \(20\%\) | \(0{,}80\) | \(C_0(0{,}80)^n\) |
Ejemplo guiado 1: crecimiento porcentual constante
Un capital inicial de \(\$100.000\) crece un \(10\%\) mensual durante \(3\) meses.
El multiplicador mensual es:
\[ 1+0{,}10=1{,}10 \]
Después de \(3\) meses:
\[ C_3=100.000(1{,}10)^3 \]
\[ C_3=100.000\cdot 1{,}331=133.100 \]
El capital final es \(\$133.100\).
Ejemplo guiado 2: decrecimiento porcentual constante
Un computador cuesta \(\$500.000\) y pierde un \(20\%\) de su valor cada año durante \(2\) años.
El multiplicador anual es:
\[ 1-0{,}20=0{,}80 \]
Después de \(2\) años:
\[ C_2=500.000(0{,}80)^2 \]
\[ C_2=500.000\cdot 0{,}64=320.000 \]
El valor del computador después de \(2\) años es \(\$320.000\).
Ejemplo guiado 3: crecimiento en tabla
Una población inicial de \(200\) bacterias aumenta un \(50\%\) por período.
El multiplicador es:
\[ 1+0{,}50=1{,}50 \]
| Período | Cantidad |
|---|---|
| 0 | \(200\) |
| 1 | \(200\cdot 1{,}5=300\) |
| 2 | \(300\cdot 1{,}5=450\) |
| 3 | \(450\cdot 1{,}5=675\) |
También puede escribirse directamente como:
\[ C_n=200(1{,}5)^n \]
Ejemplo guiado 4: encontrar el valor inicial
Un capital crece un \(10\%\) mensual durante \(3\) meses y llega a \(\$133.100\). ¿Cuál era el capital inicial?
El multiplicador mensual es:
\[ 1+0{,}10=1{,}10 \]
Usamos el modelo:
\[ C_3=C_0(1{,}10)^3 \]
Reemplazamos el valor final:
\[ 133.100=C_0(1{,}10)^3 \]
Como \((1{,}10)^3=1{,}331\), entonces:
\[ C_0=\frac{133.100}{1{,}331}=100.000 \]
El capital inicial era \(\$100.000\).
Ejemplo guiado 5: encontrar el porcentaje por período
Un capital pasa de \(\$200.000\) a \(\$242.000\) en \(2\) períodos, creciendo siempre al mismo porcentaje. ¿Cuál fue el porcentaje de crecimiento por período?
Usamos el modelo:
\[ C_2=C_0\cdot m^2 \]
Reemplazamos:
\[ 242.000=200.000\cdot m^2 \]
Dividimos por \(200.000\):
\[ 1{,}21=m^2 \]
Como \(1{,}10^2=1{,}21\), entonces:
\[ m=1{,}10 \]
Por lo tanto, el crecimiento fue de \(10\%\) por período.
¿Por qué aparece una potencia?
Porque el mismo multiplicador se aplica una y otra vez. Multiplicar tres veces por \(1{,}10\) es lo mismo que multiplicar por \((1{,}10)^3\).
Usar la fórmula en distintos sentidos
La expresión \(C_n=C_0\cdot m^n\), donde \(m\) es el multiplicador, puede usarse para encontrar distintas cantidades.
- Si se conoce \(C_0\), \(m\) y \(n\), se puede calcular \(C_n\).
- Si se conoce \(C_n\), \(m\) y \(n\), se puede calcular \(C_0\) dividiendo.
- Si se conoce \(C_0\), \(C_n\) y \(n\), se puede encontrar el multiplicador en casos sencillos.
- Si se conoce \(C_0\), \(C_n\) y \(m\), se puede encontrar \(n\) usando una tabla o probando potencias simples.
Aplicación en el mundo real
Los crecimientos y decrecimientos porcentuales constantes aparecen en ahorros, préstamos, depreciación de autos, reajustes de precios, crecimiento de seguidores en redes y variación del valor de algunos bienes.
Ejercicios
Ejercicio 1
Completa la información en cada caso:
| Situación | Porcentaje por período | Multiplicador | Expresión para \(n\) períodos |
|---|---|---|---|
| Crecimiento | \(6\%\) | ? | ? |
| Decrecimiento | \(8\%\) | ? | ? |
| Crecimiento | ? | \(1{,}18\) | ? |
| Decrecimiento | ? | \(0{,}73\) | ? |
Fila 1: crecimiento de \(6\%\).
\[ m=1+0{,}06=1{,}06 \]
Expresión:
\[ C_n=C_0(1{,}06)^n \]
Fila 2: decrecimiento de \(8\%\).
\[ m=1-0{,}08=0{,}92 \]
Expresión:
\[ C_n=C_0(0{,}92)^n \]
Fila 3: multiplicador \(1{,}18\).
\[ 1{,}18-1=0{,}18=18\% \]
Es un crecimiento de \(18\%\). Expresión:
\[ C_n=C_0(1{,}18)^n \]
Fila 4: multiplicador \(0{,}73\).
\[ 1-0{,}73=0{,}27=27\% \]
Es un decrecimiento de \(27\%\). Expresión:
\[ C_n=C_0(0{,}73)^n \]
Ejercicio 2
Un capital de \(\$80.000\) crece un \(5\%\) mensual durante \(2\) meses.
- Escribe la expresión que modela la situación.
- Calcula el capital final.
- Calcula el aumento total en pesos.
- Calcula el porcentaje total de aumento respecto del capital inicial.
a) El multiplicador mensual es:
\[ 1+0{,}05=1{,}05 \]
La expresión es:
\[ C_2=80.000(1{,}05)^2 \]
b) Calculamos:
\[ C_2=80.000\cdot 1{,}1025=88.200 \]
El capital final es \(\$88.200\).
c) El aumento total en pesos es:
\[ 88.200-80.000=8.200 \]
d) El porcentaje total de aumento es:
\[ \frac{8.200}{80.000}=0{,}1025=10{,}25\% \]
El capital aumentó un \(10{,}25\%\) en total.
Ejercicio 3
Un celular cuesta \(\$300.000\) y pierde un \(10\%\) de su valor cada año durante \(3\) años.
- Escribe la expresión del valor después de \(3\) años.
- Calcula el valor final.
- Determina cuánto dinero perdió en total.
- Explica por qué no perdió exactamente \(\$30.000\) cada año.
a) El multiplicador anual es:
\[ 1-0{,}10=0{,}90 \]
La expresión es:
\[ C_3=300.000(0{,}90)^3 \]
b) Calculamos:
\[ C_3=300.000\cdot 0{,}729=218.700 \]
El valor final es \(\$218.700\).
c) La pérdida total es:
\[ 300.000-218.700=81.300 \]
Perdió \(\$81.300\) en total.
d) No pierde exactamente \(\$30.000\) cada año, porque el \(10\%\) se calcula cada vez sobre el valor actualizado del celular.
Ejercicio 4
Completa la tabla para un capital inicial de \(\$50.000\) que crece un \(20\%\) por período. Luego determina el menor número de períodos necesarios para superar los \(\$100.000\).
| Período | Valor |
|---|---|
| 0 | \(\$50.000\) |
| 1 | ? |
| 2 | ? |
| 3 | ? |
| 4 | ? |
El multiplicador es:
\[ 1+0{,}20=1{,}20 \]
Calculamos período a período:
\[ C_1=50.000\cdot 1{,}20=60.000 \]
\[ C_2=60.000\cdot 1{,}20=72.000 \]
\[ C_3=72.000\cdot 1{,}20=86.400 \]
\[ C_4=86.400\cdot 1{,}20=103.680 \]
| Período | Valor |
|---|---|
| 0 | \(\$50.000\) |
| 1 | \(\$60.000\) |
| 2 | \(\$72.000\) |
| 3 | \(\$86.400\) |
| 4 | \(\$103.680\) |
El menor número de períodos para superar los \(\$100.000\) es 4 períodos.
Ejercicio 5
Una población de \(1.000\) personas disminuye un \(4\%\) cada año.
- Escribe el multiplicador anual.
- Calcula la población después de \(3\) años.
- Determina el porcentaje total de disminución respecto de la población inicial.
a) El multiplicador es:
\[ 1-0{,}04=0{,}96 \]
b) Después de \(3\) años:
\[ 1.000(0{,}96)^3=1.000\cdot 0{,}884736=884{,}736 \]
Aproximadamente, 885 personas.
c) El multiplicador total después de \(3\) años es \(0{,}884736\). Por lo tanto, la disminución total es:
\[ 1-0{,}884736=0{,}115264=11{,}5264\% \]
La población disminuyó aproximadamente un \(11{,}53\%\) en total.
Ejercicio 6
Un estudiante dice: “Si algo aumenta \(5\%\) cada año durante \(4\) años, entonces aumenta \(20\%\) en total”.
¿Es correcta esa afirmación? Justifica.
No, la afirmación es incorrecta.
En un crecimiento porcentual constante, el porcentaje se aplica cada vez sobre un valor actualizado, no siempre sobre el valor inicial.
Después de \(4\) años, el factor correcto es:
\[ (1{,}05)^4=1{,}21550625 \]
Esto significa que el valor final es aproximadamente el \(121{,}55\%\) del valor inicial.
Por lo tanto, el aumento total es aproximadamente \(21{,}55\%\), no \(20\%\).
Ejercicio 7
Una inversión sigue el modelo:
\[ C_n=200.000(1{,}08)^n \]
- ¿Cuál es el capital inicial?
- ¿Cuál es el porcentaje de crecimiento por período?
- Calcula el capital al cabo de \(2\) períodos.
- ¿Después de \(2\) períodos el aumento total es exactamente \(16\%\)? Justifica.
a) En el modelo, \(C_0\) es el número que multiplica a la potencia. Por lo tanto:
\[ C_0=200.000 \]
El capital inicial es \(\$200.000\).
b) El multiplicador es \(1{,}08\). Como:
\[ 1{,}08=1+0{,}08 \]
El crecimiento es de \(8\%\) por período.
c) Para \(2\) períodos:
\[ C_2=200.000(1{,}08)^2 \]
\[ C_2=200.000\cdot 1{,}1664=233.280 \]
El capital al cabo de \(2\) períodos es \(\$233.280\).
d) No es exactamente \(16\%\), porque:
\[ (1{,}08)^2=1{,}1664 \]
El aumento total es \(0{,}1664=16{,}64\%\), no \(16\%\).
Ejercicio 8
El valor de una máquina se modela por:
\[ V_n=1.200.000(0{,}85)^n \]
- ¿Se trata de crecimiento o decrecimiento?
- ¿Cuál es el porcentaje de cambio por período?
- Calcula el valor después de \(2\) períodos.
- Interpreta el resultado en contexto.
a) Se trata de decrecimiento, porque el multiplicador \(0{,}85\) es menor que \(1\).
b) Como:
\[ 0{,}85=1-0{,}15 \]
El valor disminuye un \(15\%\) por período.
c) Para \(2\) períodos:
\[ V_2=1.200.000(0{,}85)^2 \]
\[ V_2=1.200.000\cdot 0{,}7225=867.000 \]
d) Después de \(2\) períodos, la máquina vale \(\$867.000\). Esto significa que ha perdido valor de manera porcentual constante en cada etapa.
Ejercicio 9
Después de \(2\) períodos creciendo un \(10\%\) por período, un capital llega a \(\$121.000\). ¿Cuál era el capital inicial?
Un crecimiento de \(10\%\) usa multiplicador:
\[ 1+0{,}10=1{,}10 \]
El modelo es:
\[ C_2=C_0(1{,}10)^2 \]
Reemplazamos el valor final:
\[ 121.000=C_0(1{,}10)^2 \]
Como \((1{,}10)^2=1{,}21\), entonces:
\[ C_0=\frac{121.000}{1{,}21}=100.000 \]
El capital inicial era \(\$100.000\).
Ejercicio 10
Una máquina pierde un \(20\%\) de su valor cada año. Después de \(2\) años vale \(\$384.000\). ¿Cuál era su valor inicial?
Un decrecimiento de \(20\%\) usa multiplicador:
\[ 1-0{,}20=0{,}80 \]
El modelo es:
\[ C_2=C_0(0{,}80)^2 \]
Reemplazamos el valor final:
\[ 384.000=C_0(0{,}80)^2 \]
Como \((0{,}80)^2=0{,}64\), entonces:
\[ C_0=\frac{384.000}{0{,}64}=600.000 \]
El valor inicial de la máquina era \(\$600.000\).
Ejercicio 11
Un capital de \(\$100.000\) llega a \(\$121.000\) después de \(2\) períodos de crecimiento porcentual constante. ¿Cuál fue el porcentaje de crecimiento por período?
Usamos el modelo:
\[ C_2=C_0(1+r)^2 \]
Reemplazamos los datos:
\[ 121.000=100.000(1+r)^2 \]
Dividimos por \(100.000\):
\[ \frac{121.000}{100.000}=(1+r)^2 \]
\[ 1{,}21=(1+r)^2 \]
Como:
\[ 1{,}10^2=1{,}21 \]
Entonces:
\[ 1+r=1{,}10 \]
\[ r=0{,}10=10\% \]
El porcentaje de crecimiento fue de \(10\%\) por período.
Ejercicio 12
Un objeto baja de \(\$500.000\) a \(\$320.000\) después de \(2\) años, con un decrecimiento porcentual constante. ¿Cuál fue el porcentaje de disminución anual?
Como se trata de decrecimiento, usamos:
\[ C_2=C_0(1-r)^2 \]
Reemplazamos:
\[ 320.000=500.000(1-r)^2 \]
Dividimos por \(500.000\):
\[ \frac{320.000}{500.000}=(1-r)^2 \]
\[ 0{,}64=(1-r)^2 \]
Como:
\[ 0{,}80^2=0{,}64 \]
Entonces:
\[ 1-r=0{,}80 \]
\[ r=0{,}20=20\% \]
El porcentaje de disminución fue de \(20\%\) anual.
Ejercicio 13
Un capital inicial de \(\$100.000\) crece un \(10\%\) por período y llega a \(\$133.100\). ¿Cuántos períodos pasaron?
El multiplicador es:
\[ 1+0{,}10=1{,}10 \]
El modelo es:
\[ 133.100=100.000(1{,}10)^n \]
Dividimos por \(100.000\):
\[ 1{,}331=(1{,}10)^n \]
Probamos potencias sencillas:
\[ (1{,}10)^1=1{,}10 \]
\[ (1{,}10)^2=1{,}21 \]
\[ (1{,}10)^3=1{,}331 \]
Por lo tanto:
\[ n=3 \]
Pasaron 3 períodos.
Ejercicio 14
Un vehículo vale inicialmente \(\$800.000\) y pierde un \(50\%\) de su valor por período. Después de cierto número de períodos vale \(\$100.000\). ¿Cuántos períodos pasaron?
Un decrecimiento de \(50\%\) usa multiplicador:
\[ 1-0{,}50=0{,}50 \]
El modelo es:
\[ 100.000=800.000(0{,}50)^n \]
Dividimos por \(800.000\):
\[ 0{,}125=(0{,}50)^n \]
Probamos potencias sencillas:
\[ (0{,}50)^1=0{,}50 \]
\[ (0{,}50)^2=0{,}25 \]
\[ (0{,}50)^3=0{,}125 \]
Por lo tanto:
\[ n=3 \]
Pasaron 3 períodos.
Ejercicio 15
Dos alternativas de inversión ofrecen las siguientes condiciones para un capital inicial de \(\$300.000\):
- Alternativa A: crecimiento de \(8\%\) por período durante \(3\) períodos.
- Alternativa B: crecimiento de \(25\%\) total al final de los \(3\) períodos.
¿Cuál alternativa entrega mayor monto final? Justifica.
Alternativa A:
\[ 300.000(1{,}08)^3=300.000\cdot 1{,}259712=377.913{,}6 \]
El monto final aproximado es \(\$377.914\).
Alternativa B:
Un crecimiento total de \(25\%\) usa multiplicador \(1{,}25\):
\[ 300.000\cdot 1{,}25=375.000 \]
El monto final es \(\$375.000\).
Conviene más la Alternativa A, porque entrega aproximadamente:
\[ 377.914-375.000=2.914 \]
Es decir, alrededor de \(\$2.914\) más.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
Si una cantidad crece un \(12\%\) por período, ¿cuál es su multiplicador?
- \(0{,}12\)
- \(0{,}88\)
- \(1{,}12\)
- \(1{,}20\)
En un crecimiento, se suma el porcentaje decimal a \(1\):
\[ 1+0{,}12=1{,}12 \]
Alternativa correcta: c.
PAES 2
Una cantidad disminuye un \(12\%\) por período durante \(2\) períodos. ¿Cuál expresión representa correctamente el valor final si el valor inicial es \(C_0\)?
- \(C_0(1{,}12)^2\)
- \(C_0(0{,}88)^2\)
- \(C_0(0{,}12)^2\)
- \(C_0(1-0{,}24)\)
Una disminución de \(12\%\) usa multiplicador:
\[ 1-0{,}12=0{,}88 \]
Como ocurre durante \(2\) períodos, se eleva al cuadrado:
\[ C_0(0{,}88)^2 \]
Alternativa correcta: b.
PAES 3
Una inversión de \(\$100.000\) crece un \(10\%\) por período durante \(2\) períodos. ¿Cuál es el valor final?
- \(\$110.000\)
- \(\$120.000\)
- \(\$121.000\)
- \(\$130.000\)
El multiplicador es \(1{,}10\).
Después de \(2\) períodos:
\[ 100.000(1{,}10)^2=100.000\cdot 1{,}21=121.000 \]
Alternativa correcta: c.
PAES 4
Después de \(2\) años perdiendo un \(10\%\) de su valor cada año, un objeto vale \(\$243.000\). ¿Cuál era su valor inicial?
- \(\$196.830\)
- \(\$270.000\)
- \(\$300.000\)
- \(\$303.750\)
Un decrecimiento de \(10\%\) usa multiplicador:
\[ 1-0{,}10=0{,}90 \]
El modelo es:
\[ 243.000=C_0(0{,}90)^2 \]
Como \((0{,}90)^2=0{,}81\), entonces:
\[ C_0=\frac{243.000}{0{,}81}=300.000 \]
Alternativa correcta: c.
PAES 5
Después de \(2\) períodos creciendo al mismo porcentaje, un capital pasa de \(\$200.000\) a \(\$242.000\). ¿Cuál fue el porcentaje de crecimiento por período?
- \(5\%\)
- \(10\%\)
- \(21\%\)
- \(42\%\)
Usamos el modelo:
\[ 242.000=200.000(1+r)^2 \]
Dividimos por \(200.000\):
\[ 1{,}21=(1+r)^2 \]
Como:
\[ 1{,}10^2=1{,}21 \]
Entonces:
\[ 1+r=1{,}10 \]
\[ r=0{,}10=10\% \]
Alternativa correcta: b.
PAES 6
Un capital de \(\$50.000\) crece un \(20\%\) por período. ¿Después de cuántos períodos llega a \(\$72.000\)?
- \(1\) período
- \(2\) períodos
- \(3\) períodos
- \(4\) períodos
El multiplicador es \(1{,}20\). El modelo es:
\[ 72.000=50.000(1{,}20)^n \]
Dividimos por \(50.000\):
\[ 1{,}44=(1{,}20)^n \]
Probamos potencias:
\[ (1{,}20)^1=1{,}20 \]
\[ (1{,}20)^2=1{,}44 \]
Entonces:
\[ n=2 \]
Alternativa correcta: b.
PAES 7
Un producto aumenta \(10\%\) en un período y luego vuelve a aumentar \(10\%\) en el período siguiente. ¿Cuál afirmación es correcta?
- El aumento total es exactamente \(20\%\).
- El aumento total es \(21\%\).
- El aumento total es \(10\%\).
- El valor final es menor que el valor inicial.
Cada aumento de \(10\%\) usa multiplicador \(1{,}10\).
Después de \(2\) períodos:
\[ (1{,}10)^2=1{,}21 \]
Esto significa que el valor final equivale al \(121\%\) del valor inicial.
Por lo tanto, el aumento total es:
\[ 1{,}21-1=0{,}21=21\% \]
Alternativa correcta: b.
PAES 8
Una máquina vale \(\$400.000\) y después de \(2\) años vale \(\$256.000\), perdiendo cada año el mismo porcentaje. ¿Cuál fue el porcentaje de disminución anual?
- \(12\%\)
- \(18\%\)
- \(20\%\)
- \(36\%\)
Usamos el modelo:
\[ 256.000=400.000(1-r)^2 \]
Dividimos por \(400.000\):
\[ 0{,}64=(1-r)^2 \]
Como \(0{,}80^2=0{,}64\), entonces:
\[ 1-r=0{,}80 \]
\[ r=0{,}20=20\% \]
Alternativa correcta: c.
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Resumen de la página
En esta página trabajamos el crecimiento y el decrecimiento porcentual constante. Vimos que estos procesos se modelan multiplicando repetidamente por un mismo factor, lo que conduce naturalmente al uso de potencias.
Esta idea será muy importante en las siguientes páginas, cuando estudiemos tasas de variación e interés aplicado al ahorro y al crédito.
Para recordar
- Un crecimiento constante de \(r\%\) usa el factor \(\left(1+\frac{r}{100}\right)\).
- Un decrecimiento constante de \(r\%\) usa el factor \(\left(1-\frac{r}{100}\right)\).
- Después de \(n\) períodos se usa una potencia.
- La fórmula puede usarse para encontrar \(C_n\), \(C_0\), \(r\) o \(n\), siempre que los datos permitan resolverlo con herramientas adecuadas al nivel.
- Estos cambios son multiplicativos, no aditivos.