economia basica
1. Porcentaje como operador. Aumentos y descuentos
Porcentaje como operador. Aumentos y descuentos
Porcentaje como operador
Comenzamos una nueva unidad: matemática financiera. En esta primera página trabajaremos una idea fundamental: el porcentaje como operador.
Esto significa que un porcentaje no se mira solo como un número con símbolo %, sino como una herramienta que transforma una cantidad. Gracias a eso podemos calcular aumentos, descuentos y cambios de precio en contextos reales.
Por ejemplo, cuando una tienda anuncia un 20% de descuento o cuando un producto sube un 15%, en ambos casos el porcentaje está actuando sobre un valor inicial.
Objetivo de la página
- Interpretar el porcentaje como un operador aplicado a una cantidad.
- Calcular porcentajes de una cantidad dada.
- Resolver problemas de aumentos porcentuales.
- Resolver problemas de descuentos porcentuales.
- Expresar aumentos y descuentos usando multiplicadores.
- Usar el multiplicador en forma directa e inversa para encontrar valores iniciales, valores finales o porcentajes desconocidos.
- Al finalizar esta página deberías poder:
- Calcular, por ejemplo, el 15% o el 30% de una cantidad.
- Aplicar un aumento porcentual a un precio o capital.
- Aplicar un descuento porcentual a un precio o capital.
- Reconocer el multiplicador asociado a un aumento o a un descuento.
- Encontrar el valor inicial cuando se conoce el valor final.
Porcentaje como operador
Aplicar un porcentaje a una cantidad significa multiplicarla por su equivalente decimal.
\[ p\% = \frac{p}{100} \]
Por ejemplo:
- \(20\% = 0{,}20\)
- \(7\% = 0{,}07\)
- \(125\% = 1{,}25\)
Entonces, para calcular el \(p\%\) de una cantidad \(C\):
\[ p\%\text{ de }C = \frac{p}{100}\cdot C \]
Aumentos y descuentos
Si una cantidad inicial \(C\) aumenta en \(p\%\), el nuevo valor es:
\[ C\left(1+\frac{p}{100}\right) \]
Si una cantidad inicial \(C\) disminuye o tiene un descuento de \(p\%\), el nuevo valor es:
\[ C\left(1-\frac{p}{100}\right) \]
Estos factores se llaman multiplicadores.
Uso directo e inverso del multiplicador
Si llamamos \(m\) al multiplicador, entonces:
\[ \text{Valor final}=\text{Valor inicial}\cdot m \]
Por lo tanto, si conocemos el valor final y necesitamos recuperar el valor inicial:
\[ \text{Valor inicial}=\frac{\text{Valor final}}{m} \]
También podemos encontrar el multiplicador comparando el valor final con el valor inicial:
\[ m=\frac{\text{Valor final}}{\text{Valor inicial}} \]
Idea clave
Un aumento del 12% no significa sumar 12, sino multiplicar por 1,12. Un descuento del 12% no significa restar 12, sino multiplicar por 0,88.
Error frecuente
Confundir “20% de descuento” con “restar 20 pesos” o “restar 20 unidades”. El descuento depende del valor inicial. Un 20% de 50 no es lo mismo que un 20% de 500.
Equivalencias útiles
Tabla de multiplicadores
| Porcentaje | Decimal | Multiplicador si aumenta | Multiplicador si descuenta |
|---|---|---|---|
| 5% | 0,05 | 1,05 | 0,95 |
| 10% | 0,10 | 1,10 | 0,90 |
| 20% | 0,20 | 1,20 | 0,80 |
| 25% | 0,25 | 1,25 | 0,75 |
| 30% | 0,30 | 1,30 | 0,70 |
| 50% | 0,50 | 1,50 | 0,50 |
Ejemplo guiado 1: calcular un porcentaje de una cantidad
Calcula el 15% de 80.
Primero convertimos el porcentaje a decimal:
\[ 15\% = 0{,}15 \]
Luego multiplicamos:
\[ 0{,}15\cdot 80 = 12 \]
Por lo tanto, el 15% de 80 es 12.
Ejemplo guiado 2: aumento porcentual
Un producto cuesta \$20.000 y sube un 8%.
Podemos resolverlo de dos maneras.
Método 1: calcular el aumento y luego sumar
\[ 8\% \text{ de } 20.000 = 0{,}08\cdot 20.000 = 1.600 \]
\[ 20.000 + 1.600 = 21.600 \]
Método 2: usar el multiplicador
\[ 1+0{,}08=1{,}08 \]
\[ 20.000\cdot 1{,}08 = 21.600 \]
El nuevo precio es \$21.600.
Ejemplo guiado 3: descuento porcentual
Una chaqueta cuesta \$36.000 y tiene un 25% de descuento.
Método 1: calcular el descuento y restar
\[ 25\% \text{ de } 36.000 = 0{,}25\cdot 36.000 = 9.000 \]
\[ 36.000 - 9.000 = 27.000 \]
Método 2: usar el multiplicador
\[ 1-0{,}25 = 0{,}75 \]
\[ 36.000\cdot 0{,}75 = 27.000 \]
El precio final es \$27.000.
Ejemplo guiado 4: encontrar el valor inicial
Después de un descuento de 20%, un televisor queda en \$224.000. ¿Cuál era su precio original?
Un descuento de 20% usa multiplicador:
\[1-0{,}20=0{,}80\]
El valor final corresponde al 80% del valor inicial:
\[224.000=\text{Valor inicial}\cdot 0{,}80\]
Usamos la fórmula inversa:
\[\text{Valor inicial}=\frac{224.000}{0{,}80}=280.000\]
El precio original era \$280.000.
¿Cuándo conviene usar multiplicador?
Cuando el problema pide el valor final, usar directamente el multiplicador suele ser más rápido.
Cuando el problema entrega el valor final y pide el valor inicial, conviene usar la fórmula en forma inversa, dividiendo por el multiplicador.
Aplicación en el mundo real
Los porcentajes aparecen en precios, descuentos de temporada, aumentos de arriendo, reajustes de planes, promociones y variaciones de ahorro. Entenderlos bien ayuda a tomar decisiones financieras más informadas.
Ejercicios
Estrategia para resolver
Antes de calcular, identifica qué dato falta: valor final, valor inicial, porcentaje o multiplicador. Si conoces el valor inicial, normalmente multiplicas. Si conoces el valor final y buscas el valor inicial, divides por el multiplicador.
Ejercicio 1
Calcula cada porcentaje:
- El 18% de 350.
- El 7,5% de 800.
- El 125% de 64.
- El 3,5% de 240.000.
a)
\[18\%=0{,}18\]
\[0{,}18\cdot 350=63\]
El 18% de 350 es 63.
b)
\[7{,}5\%=0{,}075\]
\[0{,}075\cdot 800=60\]
El 7,5% de 800 es 60.
c)
\[125\%=1{,}25\]
\[1{,}25\cdot 64=80\]
El 125% de 64 es 80.
d)
\[3{,}5\%=0{,}035\]
\[0{,}035\cdot 240.000=8.400\]
El 3,5% de 240.000 es 8.400.
Ejercicio 2
Completa la información en cada caso:
- Aumento de 14%: multiplicador.
- Descuento de 14%: multiplicador.
- Multiplicador \(1{,}35\): porcentaje y tipo de cambio.
- Multiplicador \(0{,}72\): porcentaje y tipo de cambio.
- Un precio pasa de \$80.000 a \$104.000: multiplicador y porcentaje de cambio.
a) Un aumento de 14% usa:
\[1+0{,}14=1{,}14\]
b) Un descuento de 14% usa:
\[1-0{,}14=0{,}86\]
c) El multiplicador \(1{,}35\) es mayor que 1, por lo tanto representa un aumento:
\[1{,}35-1=0{,}35=35\%\]
Representa un aumento de 35%.
d) El multiplicador \(0{,}72\) es menor que 1, por lo tanto representa un descuento:
\[1-0{,}72=0{,}28=28\%\]
Representa un descuento de 28%.
e) Calculamos el multiplicador:
\[\frac{104.000}{80.000}=1{,}30\]
Como \(1{,}30-1=0{,}30\), el cambio corresponde a un aumento de 30%.
Ejercicio 3
Un notebook queda en \$459.000 después de aplicar un descuento de 15%.
- Determina el precio original.
- Calcula el descuento en pesos.
- Verifica el resultado usando el multiplicador.
a) Un descuento de 15% usa multiplicador:
\[1-0{,}15=0{,}85\]
Como conocemos el precio final, dividimos por el multiplicador:
\[\text{Precio original}=\frac{459.000}{0{,}85}=540.000\]
El precio original era \$540.000.
b) El descuento en pesos fue:
\[540.000-459.000=81.000\]
El descuento fue de \$81.000.
c) Verificamos:
\[540.000\cdot 0{,}85=459.000\]
El resultado coincide con el precio final informado.
Ejercicio 4
Después de subir un 12%, una bicicleta queda en \$134.400. ¿Cuál era su precio antes del aumento?
Como el precio subió un 12%, el multiplicador fue:
\[1+0{,}12=1{,}12\]
Sabemos que:
\[\text{Valor final}=\text{Valor inicial}\cdot 1{,}12\]
Usamos la fórmula en forma inversa:
\[\text{Valor inicial}=\frac{134.400}{1{,}12}=120.000\]
El precio antes del aumento era \$120.000.
Ejercicio 5
Un arriendo pasa de \$320.000 a \$368.000.
- Calcula el aumento en pesos.
- Determina el multiplicador asociado.
- Calcula el porcentaje de aumento.
a) El aumento en pesos es:
\[368.000-320.000=48.000\]
b) El multiplicador se obtiene dividiendo el valor final por el valor inicial:
\[\frac{368.000}{320.000}=1{,}15\]
c) Como el multiplicador es \(1{,}15\), el aumento porcentual es:
\[1{,}15-1=0{,}15=15\%\]
El arriendo aumentó en 15%.
Ejercicio 6
Completa la tabla. En algunos casos falta el valor final, en otros falta el valor inicial, el porcentaje o el multiplicador.
| Valor inicial | Porcentaje | Tipo de cambio | Multiplicador | Valor final |
|---|---|---|---|---|
| \$50.000 | 10% | Aumento | ? | ? |
| ? | 15% | Descuento | ? | \$68.000 |
| \$120.000 | ? | Aumento | ? | \$150.000 |
| \$72.000 | ? | Descuento | ? | \$54.000 |
| ? | 30% | Aumento | ? | \$91.000 |
Fila 1:
Un aumento de 10% usa multiplicador \(1{,}10\).
\[50.000\cdot 1{,}10=55.000\]
Fila 2:
Un descuento de 15% usa multiplicador \(0{,}85\).
\[\text{Valor inicial}=\frac{68.000}{0{,}85}=80.000\]
Fila 3:
Calculamos el multiplicador:
\[\frac{150.000}{120.000}=1{,}25\]
Como \(1{,}25-1=0{,}25\), corresponde a un aumento de 25%.
Fila 4:
Calculamos el multiplicador:
\[\frac{54.000}{72.000}=0{,}75\]
Como \(1-0{,}75=0{,}25\), corresponde a un descuento de 25%.
Fila 5:
Un aumento de 30% usa multiplicador \(1{,}30\).
\[\text{Valor inicial}=\frac{91.000}{1{,}30}=70.000\]
| Valor inicial | Porcentaje | Tipo de cambio | Multiplicador | Valor final |
|---|---|---|---|---|
| \$50.000 | 10% | Aumento | 1,10 | \$55.000 |
| \$80.000 | 15% | Descuento | 0,85 | \$68.000 |
| \$120.000 | 25% | Aumento | 1,25 | \$150.000 |
| \$72.000 | 25% | Descuento | 0,75 | \$54.000 |
| \$70.000 | 30% | Aumento | 1,30 | \$91.000 |
Ejercicio 7
Un artículo cuesta \$80.000. Primero sube un 20% y luego se le aplica un descuento del 20% sobre el nuevo precio.
- Calcula el precio final.
- Determina si vuelve al precio original.
- Expresa el cambio total como un porcentaje.
- Explica por qué no basta con decir “sube 20% y baja 20%, entonces queda igual”.
a) Primero aplicamos el aumento:
\[80.000\cdot 1{,}20=96.000\]
Luego aplicamos el descuento de 20% al nuevo precio:
\[96.000\cdot 0{,}80=76.800\]
El precio final es \$76.800.
b) No vuelve al precio original, porque \$76.800 es menor que \$80.000.
c) El multiplicador total es:
\[1{,}20\cdot 0{,}80=0{,}96\]
Esto significa que queda el 96% del valor inicial. Por lo tanto:
\[1-0{,}96=0{,}04=4\%\]
El cambio total equivale a un descuento de 4%.
d) No basta con sumar \(+20\%\) y \(-20\%\), porque el segundo porcentaje se aplica sobre un nuevo valor, no sobre el valor inicial.
Ejercicio 8
Una chaqueta cuesta \$60.000. La tienda ofrece tres promociones:
- Promoción A: 20% de descuento y luego un cupón adicional de \$5.000.
- Promoción B: 30% de descuento directo.
- Promoción C: cupón de \$5.000 y luego 20% de descuento.
¿Cuál promoción conviene más y por cuánto respecto de la segunda mejor opción?
Promoción A:
Primero aplicamos el 20% de descuento:
\[60.000\cdot 0{,}80=48.000\]
Luego aplicamos el cupón:
\[48.000-5.000=43.000\]
Promoción B:
\[60.000\cdot 0{,}70=42.000\]
Promoción C:
Primero aplicamos el cupón:
\[60.000-5.000=55.000\]
Luego aplicamos el 20% de descuento:
\[55.000\cdot 0{,}80=44.000\]
Los precios finales son:
- Promoción A: \$43.000
- Promoción B: \$42.000
- Promoción C: \$44.000
Conviene más la Promoción B. La segunda mejor opción es la Promoción A, por lo tanto la diferencia es:
\[43.000-42.000=1.000\]
La Promoción B conviene por \$1.000 respecto de la segunda mejor opción.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
Un producto queda en \$45.000 después de aplicar un descuento del 25%. ¿Qué operación permite calcular el precio original?
- \(45.000\cdot 0{,}75\)
- \(\frac{45.000}{0{,}75}\)
- \(\frac{45.000}{1{,}25}\)
- \(45.000-0{,}25\)
Un descuento de 25% usa multiplicador:
\[1-0{,}25=0{,}75\]
Como el valor final se obtiene multiplicando por \(0{,}75\), para recuperar el valor original se divide por \(0{,}75\):
\[\text{Precio original}=\frac{45.000}{0{,}75}\]
Alternativa correcta: b
PAES 2
Un precio aumenta de \$80.000 a \$92.000. ¿Cuál fue el porcentaje de aumento?
- 12%
- 15%
- 20%
- 115%
Primero calculamos el aumento en pesos:
\[92.000-80.000=12.000\]
Luego comparamos ese aumento con el valor inicial:
\[\frac{12.000}{80.000}=0{,}15=15\%\]
Alternativa correcta: b
PAES 3
Un artículo recibe dos descuentos sucesivos: primero 10% y luego 20%. ¿Cuál es el descuento único equivalente?
- 30%
- 28%
- 72%
- 2%
Un descuento de 10% usa multiplicador \(0{,}90\).
Un descuento de 20% usa multiplicador \(0{,}80\).
El multiplicador total es:
\[0{,}90\cdot 0{,}80=0{,}72\]
Esto significa que queda el 72% del precio inicial. Por lo tanto, el descuento equivalente es:
\[1-0{,}72=0{,}28=28\%\]
Alternativa correcta: b
PAES 4
Después de un aumento de 12%, un artículo cuesta \$56.000. ¿Cuál era su precio antes del aumento?
- \$50.000
- \$49.280
- \$62.720
- \$44.800
Un aumento de 12% usa multiplicador:
\[1+0{,}12=1{,}12\]
Como se conoce el valor final, dividimos por el multiplicador:
\[\frac{56.000}{1{,}12}=50.000\]
El precio antes del aumento era \$50.000.
Alternativa correcta: a
PAES 5
Si una cantidad se multiplica por \(0{,}65\), ¿qué cambio porcentual representa?
- Aumento de 65%
- Descuento de 65%
- Aumento de 35%
- Descuento de 35%
El multiplicador \(0{,}65\) indica que queda el 65% del valor inicial.
Para saber el descuento, calculamos:
\[1-0{,}65=0{,}35=35\%\]
Por lo tanto, representa un descuento de 35%.
Alternativa correcta: d
PAES 6
Un producto A cuesta \$50.000 y tiene 18% de descuento. Un producto B cuesta \$42.000 sin descuento. ¿Cuál afirmación es correcta?
- El producto A queda en \$41.000, por lo tanto conviene más que el B.
- El producto A queda en \$42.000, por lo tanto cuesta lo mismo que el B.
- El producto A queda en \$59.000, por lo tanto conviene más el B.
- El producto A queda en \$40.000, por lo tanto conviene más que el B.
Un descuento de 18% usa multiplicador:
\[1-0{,}18=0{,}82\]
Calculamos el precio final del producto A:
\[50.000\cdot 0{,}82=41.000\]
Comparamos con el producto B:
\[42.000-41.000=1.000\]
El producto A queda \$1.000 más barato que el producto B.
Alternativa correcta: a
PAES 7
Un producto aumenta 20% y luego se le aplica un descuento de 20% sobre el nuevo precio. ¿Cuál afirmación es correcta?
- Vuelve exactamente al precio original.
- Queda con un descuento total de 4% respecto del precio original.
- Queda con un aumento total de 4% respecto del precio original.
- Queda con un descuento total de 40% respecto del precio original.
Un aumento de 20% usa multiplicador \(1{,}20\).
Un descuento de 20% usa multiplicador \(0{,}80\).
El multiplicador total es:
\[1{,}20\cdot 0{,}80=0{,}96\]
Esto significa que queda el 96% del precio original.
\[1-0{,}96=0{,}04=4\%\]
Por lo tanto, queda con un descuento total de 4%.
Alternativa correcta: b
PAES 8
Una cantidad pasa de \$90.000 a \$72.000. ¿Qué multiplicador permite pasar del valor inicial al valor final?
- 0,20
- 0,80
- 1,20
- 1,25
Calculamos el multiplicador dividiendo el valor final por el valor inicial:
\[\frac{72.000}{90.000}=0{,}80\]
El multiplicador es 0,80.
Además, como \(1-0{,}80=0{,}20\), esto representa un descuento de 20%.
Alternativa correcta: b
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Resumen de la página
En esta página aprendimos a interpretar el porcentaje como un operador que transforma cantidades. Vimos que puede representar aumentos, descuentos y cambios en valores iniciales.
Además, usamos multiplicadores en forma directa e inversa, lo que permite resolver problemas financieros de forma más rápida y organizada.
Para recordar
- Calcular un porcentaje es multiplicar por su equivalente decimal.
- Un aumento de \(p\%\) usa el multiplicador \(1+\frac{p}{100}\).
- Un descuento de \(p\%\) usa el multiplicador \(1-\frac{p}{100}\).
- Si se conoce el valor final y se necesita recuperar el valor inicial, se divide por el multiplicador.
- Si se conocen el valor inicial y el valor final, el multiplicador se obtiene dividiendo \(\frac{\text{valor final}}{\text{valor inicial}}\).
- El porcentaje siempre actúa sobre el valor inicial correspondiente.