1. Porcentaje como operador. Aumentos y descuentos

Porcentaje como operador. Aumentos y descuentos

Comenzamos una nueva unidad: matemática financiera. En esta primera página trabajaremos una idea fundamental: el porcentaje como operador.

Esto significa que un porcentaje no se mira solo como un número con símbolo %, sino como una herramienta que transforma una cantidad. Gracias a eso podemos calcular aumentos, descuentos y cambios de precio en contextos reales.

Por ejemplo, cuando una tienda anuncia un 20% de descuento o cuando un producto sube un 15%, en ambos casos el porcentaje está actuando sobre un valor inicial.

Objetivo de la página

  • Interpretar el porcentaje como un operador aplicado a una cantidad.
  • Calcular porcentajes de una cantidad dada.
  • Resolver problemas de aumentos porcentuales.
  • Resolver problemas de descuentos porcentuales.
  • Expresar aumentos y descuentos usando multiplicadores.

Al finalizar esta página deberías poder:

  • Calcular, por ejemplo, el 15% o el 30% de una cantidad.
  • Aplicar un aumento porcentual a un precio o capital.
  • Aplicar un descuento porcentual a un precio o capital.
  • Reconocer el multiplicador asociado a un aumento o a un descuento.
📐 Porcentaje como operador

Aplicar un porcentaje a una cantidad significa multiplicarla por su equivalente decimal.

\[ p\% = \frac{p}{100} \]

Por ejemplo:

  • \(20\% = 0{,}20\)
  • \(7\% = 0{,}07\)
  • \(125\% = 1{,}25\)

Entonces, para calcular el \(p\%\) de una cantidad \(C\):

\[ p\%\text{ de }C = \frac{p}{100}\cdot C \]

📐 Aumentos y descuentos

Si una cantidad inicial \(C\) aumenta en \(p\%\), el nuevo valor es:

\[ C\left(1+\frac{p}{100}\right) \]

Si una cantidad inicial \(C\) disminuye o tiene un descuento de \(p\%\), el nuevo valor es:

\[ C\left(1-\frac{p}{100}\right) \]

Estos factores se llaman multiplicadores.

💡 Idea clave

Un aumento del 12% no significa sumar 12, sino multiplicar por 1,12. Un descuento del 12% no significa restar 12, sino multiplicar por 0,88.

⚠️ Error frecuente

Confundir “20% de descuento” con “restar 20 pesos” o “restar 20 unidades”. El descuento depende del valor inicial. Un 20% de 50 no es lo mismo que un 20% de 500.

Equivalencias útiles

Porcentaje Decimal Multiplicador si aumenta Multiplicador si descuenta
5% 0,05 1,05 0,95
10% 0,10 1,10 0,90
20% 0,20 1,20 0,80
25% 0,25 1,25 0,75
30% 0,30 1,30 0,70
50% 0,50 1,50 0,50

Ejemplo guiado 1: calcular un porcentaje de una cantidad

Calcula el 15% de 80.

Primero convertimos el porcentaje a decimal:

\[ 15\% = 0{,}15 \]

Luego multiplicamos:

\[ 0{,}15\cdot 80 = 12 \]

Por lo tanto, el 15% de 80 es 12.

Ejemplo guiado 2: aumento porcentual

Un producto cuesta \$20.000 y sube un 8%.

Podemos resolverlo de dos maneras.

Método 1: calcular el aumento y luego sumar

\[ 8\% \text{ de } 20.000 = 0{,}08\cdot 20.000 = 1.600 \]

\[ 20.000 + 1.600 = 21.600 \]

Método 2: usar el multiplicador

\[ 1+0{,}08=1{,}08 \]

\[ 20.000\cdot 1{,}08 = 21.600 \]

El nuevo precio es \$21.600.

Ejemplo guiado 3: descuento porcentual

Una chaqueta cuesta \$36.000 y tiene un 25% de descuento.

Método 1: calcular el descuento y restar

\[ 25\% \text{ de } 36.000 = 0{,}25\cdot 36.000 = 9.000 \]

\[ 36.000 - 9.000 = 27.000 \]

Método 2: usar el multiplicador

\[ 1-0{,}25 = 0{,}75 \]

\[ 36.000\cdot 0{,}75 = 27.000 \]

El precio final es \$27.000.

🤓 ¿Cuándo conviene usar multiplicador?

Cuando el problema pide el valor final, usar directamente el multiplicador suele ser más rápido. Además, será muy útil en la próxima clase, cuando trabajemos crecimiento y decrecimiento porcentual constante.

🌍 Aplicación en el mundo real

Los porcentajes aparecen en precios, descuentos de temporada, aumentos de arriendo, reajustes de planes, promociones y variaciones de ahorro. Entenderlos bien ayuda a tomar decisiones financieras más informadas.

Ejercicios

Ejercicio 1

Calcula:

  1. El 10% de 250
  2. El 25% de 400
  3. El 5% de 1.200

Ejercicio 2

Escribe el multiplicador correspondiente a cada caso:

  1. Aumento de 12%
  2. Descuento de 12%
  3. Aumento de 30%
  4. Descuento de 30%

Ejercicio 3

Un polerón cuesta \$18.000 y tiene un descuento del 15%.

  1. Calcula el valor del descuento.
  2. Calcula el precio final.

Ejercicio 4

Una bicicleta cuesta \$120.000 y sube un 10%.

  1. Calcula el aumento.
  2. Calcula el nuevo precio.
  3. Verifica el resultado usando el multiplicador.

Ejercicio 5

En una tienda, un televisor cuesta \$280.000 y se ofrece con un 20% de descuento.

Resuelve usando el multiplicador.

Ejercicio 6

Completa la tabla:

Valor inicial Porcentaje Tipo de cambio Valor final
\$50.000 10% Aumento ?
\$50.000 10% Descuento ?
\$80.000 25% Descuento ?
\$80.000 25% Aumento ?

Ejercicio 7

Una estudiante dice: “Si un precio sube 30%, basta con multiplicar por 0,30”.

¿Es correcta su afirmación? Justifica.

Ejercicio 8

En una liquidación, una tienda ofrece estas promociones:

  • Zapatillas: \$40.000 con 15% de descuento.
  • Mochila: \$25.000 con 20% de descuento.
  • Chaqueta: \$60.000 con 10% de descuento.

Calcula el precio final de cada producto y ordénalos desde el más barato al más caro.

Ejercicios tipo PAES

PAES 1

¿Cuál es el 20% de 150?

  1. 15
  2. 20
  3. 30
  4. 45

PAES 2

¿Cuál es el multiplicador asociado a un aumento del 18%?

  1. 0,18
  2. 1,18
  3. 0,82
  4. 1,80

PAES 3

¿Cuál es el multiplicador asociado a un descuento del 18%?

  1. 0,18
  2. 1,18
  3. 0,82
  4. 0,92

PAES 4

Un artículo cuesta \$50.000 y sube un 12%. ¿Cuál es su nuevo precio?

  1. \$56.000
  2. \$54.000
  3. \$62.000
  4. \$44.000

Cierre

En esta página aprendimos a interpretar el porcentaje como un operador que transforma cantidades. Vimos que puede representar aumentos, descuentos y cambios en valores iniciales.

Además, comenzamos a usar multiplicadores, una herramienta muy útil para resolver problemas financieros de forma más rápida y organizada.

💡 Para recordar
  • Calcular un porcentaje es multiplicar por su equivalente decimal.
  • Un aumento de \(p\%\) usa el multiplicador \(1+\frac{p}{100}\).
  • Un descuento de \(p\%\) usa el multiplicador \(1-\frac{p}{100}\).
  • El porcentaje siempre actúa sobre el valor inicial.