Libro modelos financieros
3. Tasa de variación y lectura de tasas en contexto
Tasa de variación y lectura de tasas en contexto
Tasa de variación y lectura de tasas en contexto
En la página anterior estudiamos situaciones en que una cantidad cambia por un mismo porcentaje en cada período. Ahora daremos un paso más: aprenderemos a calcular e interpretar la tasa de variación.
La tasa de variación permite describir cómo cambia una cantidad respecto de su valor inicial. En matemática financiera aparece al analizar aumentos de precios, descuentos, crecimiento de un ahorro, disminución del valor de un bien o variaciones de ingresos.
Por eso, no basta con saber que una cantidad cambió: también importa saber cuánto cambió en relación con el valor de partida.
Objetivo de la página
- Comprender qué representa una tasa de variación.
- Calcular la tasa de variación entre un valor inicial y uno final.
- Calcular tasas de variación en aumentos y disminuciones.
- Expresar una tasa en forma decimal y porcentual.
- Interpretar tasas positivas y negativas en contexto.
- Interpretar si una tasa representa crecimiento o decrecimiento.
- Relacionar tasa de variación, porcentaje y multiplicador.
- Leer tasas en problemas de precios, ahorro, sueldos y otros contextos financieros.
- Usar la relación entre tasa y multiplicador en forma directa e inversa.
- Usar la relación entre tasa y multiplicador para encontrar el valor inicial, el valor final o la tasa en casos sencillos.
Tasa de variación
Si una cantidad pasa de un valor inicial \(V_i\) a un valor final \(V_f\), la tasa de variación se calcula como:
\[ \text{tasa de variación}=\frac{V_f-V_i}{V_i} \]
Si se quiere expresar como porcentaje, se multiplica por \(100\):
\[ \text{tasa porcentual}=\frac{V_f-V_i}{V_i}\cdot 100\% \]
Relación con el multiplicador
Si conocemos la tasa \(r\) en forma decimal, entonces:
\[ V_f=V_i(1+r) \]
Por eso:
- si \(r>0\), hay crecimiento;
- si \(r<0\), hay decrecimiento.
Además, el multiplicador es:
\[ 1+r \]
Uso directo e inverso de la fórmula
La relación \(V_f=V_i(1+r)\) puede usarse en distintos sentidos.
Para encontrar el valor final:
\[ V_f=V_i(1+r) \]
Para encontrar el valor inicial:
\[ V_i=\frac{V_f}{1+r} \]
Para encontrar la tasa:
\[ r=\frac{V_f-V_i}{V_i} \]
Para encontrar el multiplicador:
\[ 1+r=\frac{V_f}{V_i} \]
Idea clave
La tasa de variación compara el cambio con el valor inicial, no con el valor final. Por eso siempre debes fijarte bien desde qué cantidad estás partiendo.
Error frecuente
Confundir el cambio absoluto con la tasa de variación. Por ejemplo, pasar de \(\$50.000\) a \(\$55.000\) significa un cambio de \(\$5.000\), pero la tasa de variación no es \(5.000\): es \(\frac{5.000}{50.000}=0{,}10\), es decir, \(10\%\).
Resumen de interpretación
Tabla de interpretación
| Situación | Tasa decimal | Tasa porcentual | Interpretación |
|---|---|---|---|
| Sube de \(100\) a \(110\) | \(0{,}10\) | \(10\%\) | Crecimiento de \(10\%\) |
| Baja de \(100\) a \(90\) | \(-0{,}10\) | \(-10\%\) | Disminución de \(10\%\) |
| Sube de \(200\) a \(250\) | \(0{,}25\) | \(25\%\) | Crecimiento de \(25\%\) |
| Baja de \(80\) a \(60\) | \(-0{,}25\) | \(-25\%\) | Disminución de \(25\%\) |
Ejemplo guiado 1: aumento en contexto
El precio de un producto cambia de \(\$40.000\) a \(\$46.000\).
Primero calculamos el cambio:
\[ 46.000-40.000=6.000 \]
Luego dividimos por el valor inicial:
\[ \frac{6.000}{40.000}=0{,}15 \]
Como porcentaje:
\[ 0{,}15=15\% \]
La tasa de variación es \(15\%\). Esto significa que el precio aumentó un \(15\%\) respecto del valor inicial.
Ejemplo guiado 2: disminución en contexto
El valor de una bicicleta baja de \(\$120.000\) a \(\$96.000\).
Calculamos el cambio:
\[ 96.000-120.000=-24.000 \]
Luego:
\[ \frac{-24.000}{120.000}=-0{,}20 \]
Como porcentaje:
\[ -0{,}20=-20\% \]
La tasa de variación es \(-20\%\). Esto significa que el valor de la bicicleta disminuyó un \(20\%\).
Ejemplo guiado 3: relacionar tasa y multiplicador
Un capital aumenta de \(\$80.000\) a \(\$92.000\).
La tasa de variación es:
\[ \frac{92.000-80.000}{80.000}=\frac{12.000}{80.000}=0{,}15 \]
Entonces la tasa porcentual es \(15\%\).
El multiplicador asociado es:
\[ 1+0{,}15=1{,}15 \]
Y efectivamente:
\[ 80.000\cdot 1{,}15=92.000 \]
Así, una tasa de variación de \(15\%\) corresponde a multiplicar por \(1{,}15\).
Ejemplo guiado 4: encontrar el valor inicial
Después de un aumento de \(12\%\), un producto cuesta \(\$56.000\). ¿Cuál era su precio inicial?
La tasa es \(r=0{,}12\), por lo tanto el multiplicador es:
\[ 1+r=1+0{,}12=1{,}12 \]
Usamos la fórmula en forma inversa:
\[ V_i=\frac{V_f}{1+r} \]
Reemplazamos:
\[ V_i=\frac{56.000}{1{,}12}=50.000 \]
El precio inicial era \(\$50.000\).
Ejemplo guiado 5: mismo cambio absoluto, distinta tasa
Dos productos aumentan \(\$10.000\):
- Producto A: de \(\$50.000\) a \(\$60.000\).
- Producto B: de \(\$200.000\) a \(\$210.000\).
Ambos aumentan \(\$10.000\), pero la tasa no es la misma.
Para el producto A:
\[ \frac{60.000-50.000}{50.000}=\frac{10.000}{50.000}=0{,}20=20\% \]
Para el producto B:
\[ \frac{210.000-200.000}{200.000}=\frac{10.000}{200.000}=0{,}05=5\% \]
El mismo cambio absoluto puede representar tasas distintas, porque la comparación siempre se hace con el valor inicial.
Tasa positiva y tasa negativa
Una tasa positiva indica crecimiento respecto del valor inicial. Una tasa negativa indica disminución. El signo importa mucho: \(12\%\) y \(-12\%\) no describen la misma situación.
Aplicación en el mundo real
Las tasas de variación se usan para describir inflación, reajustes salariales, variación del precio del dólar, crecimiento de un ahorro, disminución del valor de un auto o cambios en cuotas y costos financieros.
Ejercicios
Ejercicio 1
Calcula la tasa de variación y exprésala como porcentaje:
- De \(\$50.000\) a \(\$55.000\).
- De \(80\) a \(92\).
- De \(200\) a \(250\).
- De \(\$90.000\) a \(\$81.000\).
- De \(120\) a \(102\).
a)
\[ \frac{55.000-50.000}{50.000}=\frac{5.000}{50.000}=0{,}10 \]
Tasa: \(10\%\).
b)
\[ \frac{92-80}{80}=\frac{12}{80}=0{,}15 \]
Tasa: \(15\%\).
c)
\[ \frac{250-200}{200}=\frac{50}{200}=0{,}25 \]
Tasa: \(25\%\).
d)
\[ \frac{81.000-90.000}{90.000}=\frac{-9.000}{90.000}=-0{,}10 \]
Tasa: \(-10\%\). Representa una disminución de \(10\%\).
e)
\[ \frac{102-120}{120}=\frac{-18}{120}=-0{,}15 \]
Tasa: \(-15\%\). Representa una disminución de \(15\%\).
Ejercicio 2
Completa la tabla. En cada caso determina la variación absoluta, la tasa porcentual y el multiplicador.
| Valor inicial | Valor final | Variación absoluta | Tasa porcentual | Multiplicador |
|---|---|---|---|---|
| \(\$300.000\) | \(\$360.000\) | ? | ? | ? |
| \(\$400.000\) | \(\$340.000\) | ? | ? | ? |
| \(\$75.000\) | \(\$90.000\) | ? | ? | ? |
Fila 1:
\[ 360.000-300.000=60.000 \]
\[ r=\frac{60.000}{300.000}=0{,}20=20\% \]
Multiplicador: \(1+0{,}20=1{,}20\).
Fila 2:
\[ 340.000-400.000=-60.000 \]
\[ r=\frac{-60.000}{400.000}=-0{,}15=-15\% \]
Multiplicador: \(1-0{,}15=0{,}85\).
Fila 3:
\[ 90.000-75.000=15.000 \]
\[ r=\frac{15.000}{75.000}=0{,}20=20\% \]
Multiplicador: \(1+0{,}20=1{,}20\).
| Valor inicial | Valor final | Variación absoluta | Tasa porcentual | Multiplicador |
|---|---|---|---|---|
| \(\$300.000\) | \(\$360.000\) | \(\$60.000\) | \(20\%\) | \(1{,}20\) |
| \(\$400.000\) | \(\$340.000\) | \(-\$60.000\) | \(-15\%\) | \(0{,}85\) |
| \(\$75.000\) | \(\$90.000\) | \(\$15.000\) | \(20\%\) | \(1{,}20\) |
Ejercicio 3
Un sueldo sube de \(\$750.000\) a \(\$810.000\).
- Calcula la variación absoluta.
- Calcula la tasa de variación.
- Escribe el multiplicador asociado.
- Interpreta el resultado en contexto.
a)
\[ 810.000-750.000=60.000 \]
La variación absoluta es \(\$60.000\).
b)
\[ \frac{60.000}{750.000}=0{,}08 \]
La tasa es \(8\%\).
c)
\[ 1+r=1+0{,}08=1{,}08 \]
El multiplicador asociado es \(1{,}08\).
d) El sueldo aumentó en \(\$60.000\), lo que corresponde a un \(8\%\) respecto del sueldo inicial.
Ejercicio 4
El valor de un computador baja de \(\$600.000\) a \(\$510.000\).
- Calcula la variación absoluta.
- Calcula la tasa de variación.
- Escribe el multiplicador asociado.
- Interpreta el resultado en contexto.
a)
\[ 510.000-600.000=-90.000 \]
La variación absoluta es \(-\$90.000\).
b)
\[ \frac{-90.000}{600.000}=-0{,}15 \]
La tasa es \(-15\%\).
c)
\[ 1+r=1+(-0{,}15)=0{,}85 \]
El multiplicador asociado es \(0{,}85\).
d) El computador disminuyó su valor en \(\$90.000\), lo que corresponde a una baja de \(15\%\) respecto del valor inicial.
Ejercicio 5
Completa la siguiente tabla. En algunos casos debes encontrar la tasa, en otros el valor inicial o el valor final.
| Valor inicial | Valor final | Tasa decimal | Multiplicador | Tasa porcentual |
|---|---|---|---|---|
| \(100\) | \(120\) | ? | ? | ? |
| \(200\) | \(150\) | ? | ? | ? |
| \(\$40.000\) | ? | \(0{,}10\) | ? | ? |
| ? | \(\$68.000\) | \(-0{,}15\) | ? | ? |
| \(\$180.000\) | ? | \(-0{,}25\) | ? | ? |
Fila 1:
\[ r=\frac{120-100}{100}=0{,}20 \]
Multiplicador: \(1+0{,}20=1{,}20\). Tasa porcentual: \(20\%\).
Fila 2:
\[ r=\frac{150-200}{200}=-0{,}25 \]
Multiplicador: \(1-0{,}25=0{,}75\). Tasa porcentual: \(-25\%\).
Fila 3:
Si \(r=0{,}10\), el multiplicador es \(1{,}10\):
\[ V_f=40.000\cdot 1{,}10=44.000 \]
Fila 4:
Si \(r=-0{,}15\), el multiplicador es \(0{,}85\):
\[ V_i=\frac{68.000}{0{,}85}=80.000 \]
Fila 5:
Si \(r=-0{,}25\), el multiplicador es \(0{,}75\):
\[ V_f=180.000\cdot 0{,}75=135.000 \]
| Valor inicial | Valor final | Tasa decimal | Multiplicador | Tasa porcentual |
|---|---|---|---|---|
| \(100\) | \(120\) | \(0{,}20\) | \(1{,}20\) | \(20\%\) |
| \(200\) | \(150\) | \(-0{,}25\) | \(0{,}75\) | \(-25\%\) |
| \(\$40.000\) | \(\$44.000\) | \(0{,}10\) | \(1{,}10\) | \(10\%\) |
| \(\$80.000\) | \(\$68.000\) | \(-0{,}15\) | \(0{,}85\) | \(-15\%\) |
| \(\$180.000\) | \(\$135.000\) | \(-0{,}25\) | \(0{,}75\) | \(-25\%\) |
Ejercicio 6
Relaciona cada tasa con su multiplicador. Indica si representa crecimiento o disminución.
- \(r=0{,}12\)
- \(r=-0{,}08\)
- \(r=0{,}25\)
- \(r=-0{,}30\)
- \(r=-0{,}045\)
Como el multiplicador es \(1+r\):
a)
\[ 1+0{,}12=1{,}12 \]
Representa crecimiento de \(12\%\).
b)
\[ 1-0{,}08=0{,}92 \]
Representa disminución de \(8\%\).
c)
\[ 1+0{,}25=1{,}25 \]
Representa crecimiento de \(25\%\).
d)
\[ 1-0{,}30=0{,}70 \]
Representa disminución de \(30\%\).
e)
\[ 1-0{,}045=0{,}955 \]
Representa disminución de \(4{,}5\%\).
Ejercicio 7
Una inversión se modela por:
\[ C_1=C_0(1{,}06) \]
- ¿Cuál es la tasa de variación?
- ¿Corresponde a crecimiento o decrecimiento?
- Si el capital inicial es \(\$300.000\), calcula el capital final.
- Interpreta esa tasa en contexto.
a) Como el multiplicador es \(1{,}06\), la tasa es:
\[ r=1{,}06-1=0{,}06 \]
Es decir, \(6\%\).
b) Corresponde a crecimiento, porque la tasa es positiva y el multiplicador es mayor que \(1\).
c)
\[ C_1=300.000(1{,}06)=318.000 \]
El capital final es \(\$318.000\).
d) La inversión aumenta un \(6\%\) respecto del valor inicial del período considerado.
Ejercicio 8
Después de un aumento de \(12\%\), una bicicleta cuesta \(\$112.000\). ¿Cuál era su precio inicial?
La tasa es:
\[ r=0{,}12 \]
Entonces el multiplicador es:
\[ 1+r=1{,}12 \]
Usamos la fórmula inversa:
\[ V_i=\frac{V_f}{1+r} \]
Reemplazamos:
\[ V_i=\frac{112.000}{1{,}12}=100.000 \]
El precio inicial era \(\$100.000\).
Ejercicio 9
Después de una disminución de \(15\%\), un computador cuesta \(\$255.000\). ¿Cuál era su valor inicial?
La tasa es:
\[ r=-0{,}15 \]
Entonces el multiplicador es:
\[ 1+r=1-0{,}15=0{,}85 \]
Usamos la fórmula inversa:
\[ V_i=\frac{V_f}{1+r} \]
Reemplazamos:
\[ V_i=\frac{255.000}{0{,}85}=300.000 \]
El valor inicial era \(\$300.000\).
Ejercicio 10
Un producto vale inicialmente \(\$75.000\) y tiene una tasa de variación de \(r=-0{,}20\).
- ¿La cantidad aumenta o disminuye?
- ¿Cuál es el multiplicador?
- Calcula el valor final.
- Calcula la variación absoluta.
a) Como \(r=-0{,}20\), la cantidad disminuye. Representa una baja de \(20\%\).
b) El multiplicador es:
\[ 1+r=1-0{,}20=0{,}80 \]
c) Calculamos el valor final:
\[ V_f=75.000(0{,}80)=60.000 \]
El valor final es \(\$60.000\).
d) La variación absoluta es:
\[ 60.000-75.000=-15.000 \]
El producto bajó \(\$15.000\).
Ejercicio 11
Dos productos aumentan \(\$12.000\).
- Producto A: de \(\$60.000\) a \(\$72.000\).
- Producto B: de \(\$240.000\) a \(\$252.000\).
- Calcula la tasa de variación de cada producto.
- ¿En cuál producto el aumento fue mayor en términos porcentuales?
- Explica por qué no basta con mirar solo el aumento en pesos.
a) Producto A:
\[ r_A=\frac{72.000-60.000}{60.000}=\frac{12.000}{60.000}=0{,}20=20\% \]
Producto B:
\[ r_B=\frac{252.000-240.000}{240.000}=\frac{12.000}{240.000}=0{,}05=5\% \]
b) El aumento fue mayor en términos porcentuales en el producto A.
c) No basta con mirar solo el aumento en pesos, porque la tasa compara el cambio con el valor inicial. Aunque ambos aumentaron \(\$12.000\), ese aumento representa una proporción mayor para el producto A.
Ejercicio 12
Un estudiante afirma: “Si la tasa de variación es \(-0{,}12\), entonces la cantidad disminuyó \(0{,}12\) unidades”.
¿Es correcta esa afirmación? Justifica.
No, la afirmación es incorrecta.
La tasa \(-0{,}12\) no representa una disminución de \(0{,}12\) unidades, sino una disminución de \(12\%\) respecto del valor inicial.
La tasa de variación es una medida relativa, no un cambio absoluto.
Por ejemplo, si el valor inicial fuera \(100\):
\[ 100(1-0{,}12)=100(0{,}88)=88 \]
La cantidad bajaría \(12\) unidades en ese caso específico, pero si el valor inicial fuera otro, el cambio absoluto sería distinto.
Ejercicio 13
Un producto tiene precio inicial desconocido. Después de una tasa de variación de \(r=0{,}18\), su precio final es \(\$141.600\).
- Determina el multiplicador asociado.
- Calcula el precio inicial.
- Calcula el aumento en pesos.
a) El multiplicador es:
\[ 1+r=1+0{,}18=1{,}18 \]
b) Como se conoce el valor final, usamos la fórmula inversa:
\[ V_i=\frac{V_f}{1+r} \]
\[ V_i=\frac{141.600}{1{,}18}=120.000 \]
El precio inicial era \(\$120.000\).
c) El aumento en pesos fue:
\[ 141.600-120.000=21.600 \]
El aumento fue de \(\$21.600\).
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
Una cantidad cambia de \(80\) a \(100\). ¿Cuál es su tasa de variación porcentual?
- \(20\%\)
- \(25\%\)
- \(15\%\)
- \(80\%\)
\[ \frac{100-80}{80}=\frac{20}{80}=0{,}25 \]
La tasa es \(25\%\).
Alternativa correcta: b.
PAES 2
Un precio baja de \(\$50.000\) a \(\$45.000\). ¿Cuál es la tasa de variación porcentual?
- \(-5\%\)
- \(-10\%\)
- \(10\%\)
- \(5\%\)
\[ \frac{45.000-50.000}{50.000}=\frac{-5.000}{50.000}=-0{,}10 \]
La tasa es \(-10\%\).
Alternativa correcta: b.
PAES 3
Si una cantidad tiene tasa de variación \(r=0{,}08\), ¿cuál es el multiplicador asociado?
- \(0{,}08\)
- \(0{,}92\)
- \(1{,}08\)
- \(1{,}80\)
El multiplicador asociado es:
\[ 1+r=1+0{,}08=1{,}08 \]
Alternativa correcta: c.
PAES 4
Después de una disminución de \(20\%\), un producto cuesta \(\$72.000\). ¿Cuál era su precio inicial?
- \(\$57.600\)
- \(\$80.000\)
- \(\$90.000\)
- \(\$92.000\)
Una disminución de \(20\%\) corresponde a \(r=-0{,}20\).
El multiplicador es:
\[ 1+r=1-0{,}20=0{,}80 \]
Usamos la fórmula inversa:
\[ V_i=\frac{72.000}{0{,}80}=90.000 \]
Alternativa correcta: c.
PAES 5
Después de un aumento de \(15\%\), un artículo cuesta \(\$92.000\). ¿Cuál era su precio inicial?
- \(\$78.200\)
- \(\$80.000\)
- \(\$105.800\)
- \(\$107.000\)
Un aumento de \(15\%\) corresponde a \(r=0{,}15\).
El multiplicador es:
\[ 1+r=1+0{,}15=1{,}15 \]
Usamos la fórmula inversa:
\[ V_i=\frac{92.000}{1{,}15}=80.000 \]
Alternativa correcta: b.
PAES 6
Si el multiplicador asociado a una variación es \(0{,}85\), ¿cuál es la tasa de variación?
- \(85\%\)
- \(15\%\)
- \(-15\%\)
- \(-85\%\)
El multiplicador es \(1+r\), entonces:
\[ 1+r=0{,}85 \]
\[ r=0{,}85-1=-0{,}15 \]
La tasa de variación es \(-15\%\).
Alternativa correcta: c.
PAES 7
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
- Una tasa negativa indica crecimiento.
- La tasa de variación se calcula dividiendo por el valor final.
- Una tasa de \(15\%\) significa que la cantidad cambió en relación con el valor inicial.
- La tasa de variación y la variación absoluta siempre coinciden.
La tasa de variación compara el cambio con el valor inicial.
Por eso, una tasa de \(15\%\) significa que la cantidad cambió en relación con el valor inicial.
Alternativa correcta: c.
PAES 8
Un producto A sube de \(\$40.000\) a \(\$48.000\) y un producto B sube de \(\$100.000\) a \(\$108.000\). ¿Cuál afirmación es correcta?
- Ambos productos tienen la misma tasa de variación porque ambos suben \(\$8.000\).
- El producto A tiene mayor tasa de variación que el producto B.
- El producto B tiene mayor tasa de variación que el producto A.
- Ambos productos disminuyen de precio.
Para el producto A:
\[ r_A=\frac{48.000-40.000}{40.000}=\frac{8.000}{40.000}=0{,}20=20\% \]
Para el producto B:
\[ r_B=\frac{108.000-100.000}{100.000}=\frac{8.000}{100.000}=0{,}08=8\% \]
Aunque ambos suben \(\$8.000\), el producto A tiene mayor tasa de variación porque el aumento se compara con un valor inicial menor.
Alternativa correcta: b.
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Resumen de la página
En esta página aprendimos a calcular e interpretar tasas de variación. Vimos que una tasa permite describir un cambio en relación con el valor inicial, y que puede expresarse en forma decimal, porcentual o mediante un multiplicador.
Esta idea será muy importante en las próximas páginas, porque servirá para entender mejor el interés aplicado al ahorro y el interés aplicado al crédito.
Para recordar
- La tasa de variación compara el cambio con el valor inicial.
- Una tasa positiva indica crecimiento.
- Una tasa negativa indica disminución.
- El multiplicador asociado es \(1+r\).
- La relación \(V_f=V_i(1+r)\) puede usarse directamente para encontrar \(V_f\) o en forma inversa para encontrar \(V_i\).
- Un mismo cambio absoluto puede representar tasas distintas si los valores iniciales son diferentes.