4. Interés aplicado al ahorro

Interés aplicado al ahorro

En las páginas anteriores trabajamos porcentajes, crecimiento porcentual constante y tasas de variación. Ahora aplicaremos esas ideas a un contexto financiero muy importante: el ahorro.

Cuando una persona deposita dinero en una cuenta de ahorro o en un instrumento financiero sencillo, puede recibir una ganancia llamada interés. Esa ganancia depende del capital inicial, de la tasa aplicada y del tiempo durante el cual el dinero permanece ahorrado.

En esta página aprenderemos a interpretar y calcular el interés en situaciones de ahorro, distinguiendo entre el capital inicial, el interés ganado y el monto final.

Objetivo de la página

  • Comprender qué significa interés en contextos de ahorro.
  • Identificar capital inicial, tasa de interés, interés ganado y monto final.
  • Calcular el monto acumulado en situaciones simples de ahorro.
  • Relacionar el ahorro con crecimiento porcentual constante.

Al finalizar esta página deberías poder:

  • Calcular el interés ganado en un período.
  • Calcular el monto final después de uno o varios períodos.
  • Interpretar una tasa de interés en contexto.
  • Comparar alternativas sencillas de ahorro.
📐 Conceptos básicos

En problemas de ahorro usaremos estas ideas:

  • Capital inicial: dinero con el que se comienza a ahorrar.
  • Tasa de interés: porcentaje que gana el capital en cada período.
  • Interés: ganancia obtenida.
  • Monto final: capital inicial más interés ganado.
📐 Interés y monto en un período

Si el capital inicial es \(C\) y la tasa es \(i\), entonces:

\[ I=C\cdot i \]

\[ M=C+I \]

Equivalentemente:

\[ M=C(1+i) \]

donde \(i\) se expresa en forma decimal. Por ejemplo, \(6\%=0{,}06\).

📐 Monto después de varios períodos

Si la misma tasa se aplica en cada período y el dinero sigue ahorrado, entonces el monto evoluciona como un crecimiento porcentual constante:

\[ M_n=C_0(1+i)^n \]

donde:

  • \(C_0\) es el capital inicial,
  • \(i\) es la tasa por período,
  • \(n\) es el número de períodos.

El interés total ganado después de \(n\) períodos es:

\[ I_{\text{total}}=M_n-C_0 \]

💡 Idea clave

Ahorrar con interés significa que el dinero crece con el tiempo. Por eso, en muchos casos, el monto final se obtiene multiplicando por un mismo factor en cada período.

⚠️ Error frecuente

No confundas interés ganado con monto final. El interés es solo la ganancia; el monto final incluye el capital inicial más esa ganancia.

Resumen de fórmulas

Situación Fórmula Interpretación
Interés en un período \(I=C\cdot i\) Ganancia obtenida en un período
Monto en un período \(M=C(1+i)\) Capital inicial más interés
Monto en varios períodos \(M_n=C_0(1+i)^n\) Crecimiento del ahorro en el tiempo
Interés total \(M_n-C_0\) Ganancia acumulada

Ejemplo guiado 1: interés en un período

Una persona ahorra \$200.000 a una tasa de 5% mensual durante 1 mes.

Primero expresamos la tasa en decimal:

\[ 5\%=0{,}05 \]

Luego calculamos el interés:

\[ I=200.000\cdot 0{,}05=10.000 \]

El monto final es:

\[ M=200.000+10.000=210.000 \]

La persona gana \$10.000 de interés y termina con \$210.000.

Ejemplo guiado 2: ahorro durante varios meses

Un capital inicial de \$100.000 se ahorra a una tasa de 4% mensual durante 3 meses.

El multiplicador mensual es:

\[ 1+0{,}04=1{,}04 \]

Entonces:

\[ M_3=100.000(1{,}04)^3 \]

\[ M_3=100.000\cdot 1{,}124864=112.486{,}4 \]

El monto final es aproximadamente \$112.486.

El interés total ganado es:

\[ 112.486{,}4-100.000=12.486{,}4 \]

Es decir, aproximadamente \$12.486.

Ejemplo guiado 3: comparar dos alternativas

Una persona puede ahorrar \$300.000 en una de estas dos opciones durante 1 mes:

  • Opción A: 3% mensual
  • Opción B: 4% mensual

Opción A

\[ M=300.000(1{,}03)=309.000 \]

Opción B

\[ M=300.000(1{,}04)=312.000 \]

La opción B entrega un monto final mayor, porque la tasa de interés es más alta.

🤓 Relación con la clase anterior

El ahorro con interés usa exactamente la idea de crecimiento porcentual constante. La diferencia es que ahora la cantidad representa dinero y el contexto es financiero.

🌍 Aplicación en el mundo real

Las cuentas de ahorro, los depósitos a plazo y otros instrumentos financieros ofrecen tasas que permiten proyectar cuánto puede crecer un capital con el tiempo. Saber interpretar esas tasas ayuda a tomar mejores decisiones financieras.

Ejercicios

Ejercicio 1

Identifica en cada caso el capital inicial, la tasa de interés y el período:

  1. “Se ahorran \$150.000 al 6% mensual durante 1 mes”.
  2. “Se depositan \$500.000 al 3% anual durante 2 años”.
  3. “Se invierten \$80.000 al 4% mensual durante 5 meses”.

Ejercicio 2

Una persona ahorra \$250.000 a una tasa de 8% anual durante 1 año.

  1. Calcula el interés ganado.
  2. Calcula el monto final.

Ejercicio 3

Un capital inicial de \$120.000 se ahorra al 5% mensual durante 2 meses.

  1. Escribe la expresión que modela el monto final.
  2. Calcula el monto final.
  3. Calcula el interés total ganado.

Ejercicio 4

Completa la tabla para un ahorro inicial de \$100.000 al 10% por período.

Período Monto
0 \$100.000
1 ?
2 ?
3 ?

Ejercicio 5

Una libreta de ahorro ofrece una tasa de 3% mensual. Si se depositan \$400.000 y no se retira dinero durante 2 meses:

  1. Calcula el monto final.
  2. Calcula el interés total ganado.
  3. Interpreta el resultado en contexto.

Ejercicio 6

Compara estas dos alternativas para ahorrar \$200.000 durante 1 mes:

  • Alternativa A: 2% mensual
  • Alternativa B: 3,5% mensual

Calcula el monto final en cada caso y decide cuál conviene más.

Ejercicio 7

Una inversión se modela por:

\[ M_n=500.000(1{,}04)^n \]

  1. ¿Cuál es el capital inicial?
  2. ¿Cuál es la tasa por período?
  3. Calcula el monto al cabo de 2 períodos.

Ejercicio 8

Un estudiante afirma: “Si una cuenta de ahorro paga 5% mensual, entonces en 3 meses basta con sumar 15% al capital inicial”.

¿Es correcta esa afirmación? Justifica.

Ejercicios tipo PAES

PAES 1

Una persona ahorra \$100.000 a una tasa de 6% por un período. ¿Cuál es el interés ganado?

  1. \$6.000
  2. \$16.000
  3. \$106.000
  4. \$600

PAES 2

Una persona deposita \$250.000 a una tasa de 4% por un período. ¿Cuál es el monto final?

  1. \$254.000
  2. \$260.000
  3. \$240.000
  4. \$275.000

PAES 3

Si un ahorro se modela por \(M_n=C_0(1{,}03)^n\), entonces la tasa por período es:

  1. 0,03%
  2. 3%
  3. 30%
  4. 103%

PAES 4

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

  1. El interés es igual al monto final.
  2. El monto final se obtiene restando la tasa al capital.
  3. En el ahorro, una tasa positiva hace crecer el capital.
  4. El capital inicial siempre cambia de signo.

Cierre

En esta página aplicamos porcentajes y tasas al contexto del ahorro. Vimos cómo calcular interés, monto final e interés total ganado, y también cómo modelar el crecimiento del capital durante varios períodos.

La siguiente página trabajará una idea relacionada, pero desde otra perspectiva: el interés aplicado al crédito, donde ya no se analiza cuánto gana una persona por ahorrar, sino cuánto termina pagando al pedir dinero prestado.

💡 Para recordar
  • El interés es la ganancia obtenida por ahorrar.
  • El monto final es capital inicial más interés.
  • Con tasa constante, el ahorro crece multiplicativamente.
  • El interés total se obtiene restando el capital inicial al monto final.