Libro modelos financieros
4. Interés aplicado al ahorro
Interés aplicado al ahorro
Interés aplicado al ahorro
En las páginas anteriores trabajamos porcentajes, crecimiento porcentual constante y tasas de variación. Ahora aplicaremos esas ideas a un contexto financiero muy importante: el ahorro.
Cuando una persona deposita dinero en una cuenta de ahorro o en un instrumento financiero sencillo, puede recibir una ganancia llamada interés. Esa ganancia depende del capital inicial, de la tasa aplicada y del tiempo durante el cual el dinero permanece ahorrado.
En esta página aprenderemos a interpretar y calcular el interés en situaciones de ahorro, distinguiendo entre el capital inicial, el interés ganado y el monto final.
Objetivo de la página
- Comprender qué significa interés en contextos de ahorro.
- Interpretar una tasa de interés en contexto.
- Identificar capital inicial, tasa de interés, interés ganado y monto final.
- Calcular el monto acumulado en situaciones simples de ahorro.
- Calcular el interés ganado en un período.
- Calcular el monto final después de uno o varios períodos.
- Relacionar el ahorro con crecimiento porcentual constante.
- Usar fórmulas de interés y monto de forma directa e inversa en situaciones sencillas.
- Encontrar el capital inicial, la tasa o el número de períodos cuando los datos lo permitan.
- Comparar alternativas de ahorro y fundamentar decisiones usando cálculos.
- Comparar alternativas sencillas de ahorro.
Conceptos básicos
En problemas de ahorro usaremos estas ideas:
- Capital inicial: dinero con el que se comienza a ahorrar.
- Tasa de interés: porcentaje que gana el capital en cada período.
- Interés: ganancia obtenida.
- Monto final: capital inicial más interés ganado.
Interés y monto en un período
Si el capital inicial es \(C\) y la tasa es \(i\), entonces:
\[ I=C\cdot i \]
\[ M=C+I \]
Equivalentemente:
\[ M=C(1+i) \]
donde \(i\) se expresa en forma decimal. Por ejemplo, \(6\%=0{,}06\).
Monto después de varios períodos
Si la misma tasa se aplica en cada período y el dinero sigue ahorrado, entonces el monto evoluciona como un crecimiento porcentual constante:
\[ M_n=C_0(1+i)^n \]
donde:
- \(C_0\) es el capital inicial;
- \(i\) es la tasa por período;
- \(n\) es el número de períodos.
El interés total ganado después de \(n\) períodos es:
\[ I_{\text{total}}=M_n-C_0 \]
Uso directo e inverso de las fórmulas
Las fórmulas de interés pueden usarse en distintos sentidos, según el dato que falte.
Para encontrar el interés en un período:
\[ I=C\cdot i \]
Para encontrar el capital inicial en un período:
\[ C=\frac{I}{i} \qquad \text{o} \qquad C=\frac{M}{1+i} \]
Para encontrar la tasa en un período:
\[ i=\frac{I}{C} \qquad \text{o} \qquad i=\frac{M}{C}-1 \]
Para encontrar el capital inicial en varios períodos:
\[ C_0=\frac{M_n}{(1+i)^n} \]
Idea clave
Ahorrar con interés significa que el dinero crece con el tiempo. Por eso, en muchos casos, el monto final se obtiene multiplicando por un mismo factor en cada período.
Error frecuente
No confundas interés ganado con monto final. El interés es solo la ganancia; el monto final incluye el capital inicial más esa ganancia.
Resumen de fórmulas
Tabla de fórmulas
| Situación | Fórmula | Interpretación |
|---|---|---|
| Interés en un período | \(I=C\cdot i\) | Ganancia obtenida en un período |
| Monto en un período | \(M=C(1+i)\) | Capital inicial más interés |
| Monto en varios períodos | \(M_n=C_0(1+i)^n\) | Crecimiento del ahorro en el tiempo |
| Interés total | \(I_{\text{total}}=M_n-C_0\) | Ganancia acumulada |
Ejemplo guiado 1: interés en un período
Una persona ahorra \(\$200.000\) a una tasa de \(5\%\) mensual durante \(1\) mes.
Primero expresamos la tasa en decimal:
\[ 5\%=0{,}05 \]
Luego calculamos el interés:
\[ I=200.000\cdot 0{,}05=10.000 \]
El monto final es:
\[ M=200.000+10.000=210.000 \]
La persona gana \(\$10.000\) de interés y termina con \(\$210.000\).
Ejemplo guiado 2: ahorro durante varios meses
Un capital inicial de \(\$100.000\) se ahorra a una tasa de \(4\%\) mensual durante \(3\) meses.
El multiplicador mensual es:
\[ 1+0{,}04=1{,}04 \]
Entonces:
\[ M_3=100.000(1{,}04)^3 \]
\[ M_3=100.000\cdot 1{,}124864=112.486{,}4 \]
El monto final es aproximadamente \(\$112.486\).
El interés total ganado es:
\[ 112.486{,}4-100.000=12.486{,}4 \]
Es decir, aproximadamente \(\$12.486\).
Ejemplo guiado 3: comparar dos alternativas
Una persona puede ahorrar \(\$300.000\) en una de estas dos opciones durante \(1\) mes:
- Opción A: \(3\%\) mensual.
- Opción B: \(4\%\) mensual.
Opción A
\[ M=300.000(1{,}03)=309.000 \]
Opción B
\[ M=300.000(1{,}04)=312.000 \]
La opción B entrega un monto final mayor, porque la tasa de interés es más alta.
Ejemplo guiado 4: encontrar el capital inicial
Después de \(2\) meses con una tasa de \(10\%\) mensual, una cuenta de ahorro llega a \(\$121.000\). ¿Cuál fue el capital inicial?
El multiplicador mensual es:
\[ 1+0{,}10=1{,}10 \]
Usamos la fórmula:
\[ M_2=C_0(1{,}10)^2 \]
Reemplazamos el monto final:
\[ 121.000=C_0(1{,}10)^2 \]
Como \((1{,}10)^2=1{,}21\), entonces:
\[ C_0=\frac{121.000}{1{,}21}=100.000 \]
El capital inicial fue \(\$100.000\).
Ejemplo guiado 5: encontrar la tasa de interés
Una cuenta de ahorro pasa de \(\$400.000\) a \(\$424.000\) en un período. ¿Cuál fue la tasa de interés?
Primero calculamos el interés ganado:
\[ I=424.000-400.000=24.000 \]
Luego usamos:
\[ i=\frac{I}{C} \]
\[ i=\frac{24.000}{400.000}=0{,}06 \]
La tasa de interés fue de \(6\%\) en ese período.
Relación con la clase anterior
El ahorro con interés usa exactamente la idea de crecimiento porcentual constante. La diferencia es que ahora la cantidad representa dinero y el contexto es financiero.
Aplicación en el mundo real
Las cuentas de ahorro, los depósitos a plazo y otros instrumentos financieros ofrecen tasas que permiten proyectar cuánto puede crecer un capital con el tiempo. Saber interpretar esas tasas ayuda a tomar mejores decisiones financieras.
Ejercicios
Ejercicio 1
Completa la información de cada situación de ahorro.
| Situación | Capital inicial | Tasa por período | Número de períodos | Modelo |
|---|---|---|---|---|
| Se ahorran \(\$150.000\) al \(6\%\) mensual durante \(1\) mes. | ? | ? | ? | ? |
| Se depositan \(\$500.000\) al \(3\%\) anual durante \(2\) años. | ? | ? | ? | ? |
| Se invierten \(\$80.000\) al \(4\%\) mensual durante \(5\) meses. | ? | ? | ? | ? |
Fila 1:
Capital inicial: \(\$150.000\); tasa: \(6\%=0{,}06\); períodos: \(1\).
\[ M_1=150.000(1{,}06)^1 \]
Fila 2:
Capital inicial: \(\$500.000\); tasa: \(3\%=0{,}03\); períodos: \(2\).
\[ M_2=500.000(1{,}03)^2 \]
Fila 3:
Capital inicial: \(\$80.000\); tasa: \(4\%=0{,}04\); períodos: \(5\).
\[ M_5=80.000(1{,}04)^5 \]
| Capital inicial | Tasa por período | Número de períodos | Modelo |
|---|---|---|---|
| \(\$150.000\) | \(6\%\) mensual | \(1\) mes | \(M_1=150.000(1{,}06)^1\) |
| \(\$500.000\) | \(3\%\) anual | \(2\) años | \(M_2=500.000(1{,}03)^2\) |
| \(\$80.000\) | \(4\%\) mensual | \(5\) meses | \(M_5=80.000(1{,}04)^5\) |
Ejercicio 2
Una persona ahorra \(\$250.000\) a una tasa de \(8\%\) anual durante \(1\) año.
- Calcula el interés ganado.
- Calcula el monto final.
- Verifica el monto usando el multiplicador.
- Explica por qué el interés ganado no es lo mismo que el monto final.
a) Primero expresamos la tasa como decimal:
\[ 8\%=0{,}08 \]
Calculamos el interés:
\[ I=250.000\cdot 0{,}08=20.000 \]
El interés ganado es \(\$20.000\).
b) El monto final es:
\[ M=250.000+20.000=270.000 \]
El monto final es \(\$270.000\).
c) El multiplicador es:
\[ 1+0{,}08=1{,}08 \]
\[ M=250.000(1{,}08)=270.000 \]
Se obtiene el mismo monto final.
d) El interés ganado es solo la ganancia, es decir, \(\$20.000\). El monto final incluye el capital inicial más la ganancia: \(\$270.000\).
Ejercicio 3
Una persona ganó \(\$18.000\) de interés en un período con una tasa de \(6\%\).
- ¿Cuál fue el capital inicial?
- ¿Cuál fue el monto final?
- Verifica que el interés corresponde al \(6\%\) del capital inicial.
a) Usamos la fórmula del interés:
\[ I=C\cdot i \]
Sabemos que \(I=18.000\) e \(i=0{,}06\). Entonces:
\[ 18.000=C\cdot 0{,}06 \]
Despejamos el capital:
\[ C=\frac{18.000}{0{,}06}=300.000 \]
El capital inicial fue \(\$300.000\).
b) El monto final es capital más interés:
\[ M=300.000+18.000=318.000 \]
El monto final fue \(\$318.000\).
c) Verificamos:
\[ 300.000\cdot 0{,}06=18.000 \]
Por lo tanto, el interés sí corresponde al \(6\%\) del capital inicial.
Ejercicio 4
Una cuenta de ahorro tenía \(\$400.000\) y después de un período llegó a \(\$424.000\).
- Calcula el interés ganado.
- Calcula la tasa de interés del período.
- Escribe el multiplicador asociado.
- Si la misma tasa se aplica al período siguiente, calcula el nuevo monto.
a) El interés ganado es la diferencia entre el monto final y el capital inicial:
\[ I=424.000-400.000=24.000 \]
El interés ganado fue \(\$24.000\).
b) Usamos:
\[ i=\frac{I}{C} \]
\[ i=\frac{24.000}{400.000}=0{,}06 \]
La tasa fue de \(6\%\).
c) El multiplicador asociado es:
\[ 1+i=1+0{,}06=1{,}06 \]
d) Si la misma tasa se aplica al período siguiente:
\[ 424.000(1{,}06)=449.440 \]
El nuevo monto sería \(\$449.440\).
Ejercicio 5
Un capital inicial de \(\$120.000\) se ahorra al \(5\%\) mensual durante \(2\) meses.
- Escribe la expresión que modela el monto final.
- Calcula el monto final.
- Calcula el interés total ganado.
- Calcula la tasa total de crecimiento respecto del capital inicial.
a) El multiplicador mensual es:
\[ 1+0{,}05=1{,}05 \]
La expresión es:
\[ M_2=120.000(1{,}05)^2 \]
b) Calculamos:
\[ M_2=120.000\cdot 1{,}1025=132.300 \]
El monto final es \(\$132.300\).
c) El interés total ganado es:
\[ 132.300-120.000=12.300 \]
El interés total ganado es \(\$12.300\).
d) La tasa total de crecimiento es:
\[ \frac{12.300}{120.000}=0{,}1025=10{,}25\% \]
El capital creció un \(10{,}25\%\) en total.
Ejercicio 6
Completa la tabla para un ahorro inicial de \(\$100.000\) al \(10\%\) por período.
| Período | Monto | Interés ganado en el período |
|---|---|---|
| 0 | \(\$100.000\) | - |
| 1 | ? | ? |
| 2 | ? | ? |
| 3 | ? | ? |
Luego explica por qué el interés ganado en cada período no es siempre igual.
El multiplicador es:
\[ 1+0{,}10=1{,}10 \]
Período 1:
\[ 100.000(1{,}10)=110.000 \]
Interés del período:
\[ 110.000-100.000=10.000 \]
Período 2:
\[ 110.000(1{,}10)=121.000 \]
Interés del período:
\[ 121.000-110.000=11.000 \]
Período 3:
\[ 121.000(1{,}10)=133.100 \]
Interés del período:
\[ 133.100-121.000=12.100 \]
| Período | Monto | Interés ganado en el período |
|---|---|---|
| 0 | \(\$100.000\) | - |
| 1 | \(\$110.000\) | \(\$10.000\) |
| 2 | \(\$121.000\) | \(\$11.000\) |
| 3 | \(\$133.100\) | \(\$12.100\) |
El interés ganado en cada período aumenta, porque el \(10\%\) se calcula cada vez sobre un monto mayor.
Ejercicio 7
Una libreta de ahorro ofrece una tasa de \(3\%\) mensual. Si se depositan \(\$400.000\) y no se retira dinero durante \(2\) meses:
- Calcula el monto final.
- Calcula el interés total ganado.
- Calcula cuánto habría ganado si se aplicara \(3\%\) solo una vez al final de los \(2\) meses.
- Compara ambos resultados.
a) El multiplicador mensual es:
\[ 1+0{,}03=1{,}03 \]
Entonces:
\[ M_2=400.000(1{,}03)^2 \]
\[ M_2=400.000\cdot 1{,}0609=424.360 \]
El monto final es \(\$424.360\).
b) El interés total ganado es:
\[ 424.360-400.000=24.360 \]
El interés total ganado es \(\$24.360\).
c) Si se aplicara \(3\%\) solo una vez:
\[ 400.000(1{,}03)=412.000 \]
El interés sería:
\[ 412.000-400.000=12.000 \]
d) Al aplicar \(3\%\) mensual durante \(2\) meses, el ahorro gana \(\$24.360\). Si se aplicara \(3\%\) solo una vez, ganaría \(\$12.000\). La diferencia aparece porque en el primer caso el interés se aplica en cada período sobre un monto actualizado.
Ejercicio 8
Compara estas dos alternativas para ahorrar \(\$200.000\):
- Alternativa A: \(2\%\) mensual durante \(2\) meses.
- Alternativa B: \(4\%\) total al final de los \(2\) meses.
Calcula el monto final en cada caso y decide cuál conviene más.
Alternativa A:
\[ M_A=200.000(1{,}02)^2 \]
\[ M_A=200.000\cdot 1{,}0404=208.080 \]
Alternativa B:
Un \(4\%\) total usa multiplicador \(1{,}04\):
\[ M_B=200.000(1{,}04)=208.000 \]
Conviene más la Alternativa A, porque entrega \(\$208.080\), mientras que la Alternativa B entrega \(\$208.000\).
La diferencia es:
\[ 208.080-208.000=80 \]
La Alternativa A entrega \(\$80\) más.
Ejercicio 9
Una inversión se modela por:
\[ M_n=500.000(1{,}04)^n \]
- ¿Cuál es el capital inicial?
- ¿Cuál es la tasa por período?
- Calcula el monto al cabo de \(2\) períodos.
- Calcula el interés total ganado en esos \(2\) períodos.
- Explica si el interés total equivale exactamente a \(8\%\) del capital inicial.
a) El capital inicial es el número que multiplica a la potencia:
\[ C_0=500.000 \]
El capital inicial es \(\$500.000\).
b) El multiplicador es \(1{,}04\), entonces:
\[ 1{,}04=1+0{,}04 \]
La tasa es \(4\%\) por período.
c)
\[ M_2=500.000(1{,}04)^2 \]
\[ M_2=500.000\cdot 1{,}0816=540.800 \]
El monto al cabo de \(2\) períodos es \(\$540.800\).
d)
\[ I_{\text{total}}=540.800-500.000=40.800 \]
El interés total ganado es \(\$40.800\).
e) No equivale exactamente a \(8\%\), porque:
\[ (1{,}04)^2=1{,}0816 \]
El crecimiento total es \(0{,}0816=8{,}16\%\), no \(8\%\) exacto.
Ejercicio 10
Después de \(2\) períodos a una tasa de \(10\%\) por período, un ahorro llega a \(\$121.000\).
- ¿Cuál fue el capital inicial?
- ¿Cuál fue el interés total ganado?
- Verifica el resultado calculando el monto período a período.
a) El multiplicador por período es:
\[ 1+0{,}10=1{,}10 \]
Usamos:
\[ M_2=C_0(1{,}10)^2 \]
Reemplazamos:
\[ 121.000=C_0(1{,}10)^2 \]
Como \((1{,}10)^2=1{,}21\), entonces:
\[ C_0=\frac{121.000}{1{,}21}=100.000 \]
El capital inicial fue \(\$100.000\).
b) El interés total ganado fue:
\[ 121.000-100.000=21.000 \]
El interés total fue \(\$21.000\).
c) Verificamos período a período:
\[ 100.000(1{,}10)=110.000 \]
\[ 110.000(1{,}10)=121.000 \]
El resultado coincide con el monto final indicado.
Ejercicio 11
Un ahorro pasa de \(\$100.000\) a \(\$121.000\) después de \(2\) períodos con una tasa constante. ¿Cuál fue la tasa de interés por período?
Usamos el modelo:
\[ M_2=C_0(1+i)^2 \]
Reemplazamos:
\[ 121.000=100.000(1+i)^2 \]
Dividimos por \(100.000\):
\[ 1{,}21=(1+i)^2 \]
Como:
\[ 1{,}10^2=1{,}21 \]
Entonces:
\[ 1+i=1{,}10 \]
\[ i=0{,}10=10\% \]
La tasa de interés fue de \(10\%\) por período.
Ejercicio 12
Un ahorro inicial de \(\$100.000\) crece a una tasa de \(10\%\) por período y llega a \(\$133.100\). ¿Cuántos períodos estuvo ahorrado?
El multiplicador es:
\[ 1+0{,}10=1{,}10 \]
El modelo es:
\[ 133.100=100.000(1{,}10)^n \]
Dividimos por \(100.000\):
\[ 1{,}331=(1{,}10)^n \]
Probamos potencias sencillas:
\[ (1{,}10)^1=1{,}10 \]
\[ (1{,}10)^2=1{,}21 \]
\[ (1{,}10)^3=1{,}331 \]
Por lo tanto:
\[ n=3 \]
El dinero estuvo ahorrado durante 3 períodos.
Ejercicio 13
Un estudiante afirma: “Si una cuenta de ahorro paga \(5\%\) mensual, entonces en \(3\) meses basta con sumar \(15\%\) al capital inicial”.
¿Es correcta esa afirmación? Justifica.
No, la afirmación es incorrecta.
Cuando el ahorro gana interés cada período, el porcentaje vuelve a aplicarse sobre un monto actualizado.
Por eso corresponde multiplicar por \((1{,}05)^3\), no sumar directamente \(15\%\).
\[ (1{,}05)^3=1{,}157625 \]
Eso equivale a un crecimiento aproximado de \(15{,}76\%\), no exactamente \(15\%\).
Ejercicio 14
Una persona quiere tener \(\$500.000\) dentro de \(2\) períodos. Una cuenta ofrece una tasa de \(5\%\) por período.
- ¿Cuánto debe depositar hoy aproximadamente?
- ¿Cuánto interés total ganaría?
- Verifica el resultado calculando el monto final.
a) El multiplicador por período es:
\[ 1+0{,}05=1{,}05 \]
Como se conoce el monto final, usamos la fórmula inversa:
\[ C_0=\frac{M_2}{(1{,}05)^2} \]
\[ C_0=\frac{500.000}{1{,}1025}\approx 453.514{,}7 \]
Debe depositar aproximadamente \(\$453.515\).
b) El interés total ganado sería:
\[ 500.000-453.514{,}7\approx 46.485{,}3 \]
Ganaría aproximadamente \(\$46.485\).
c) Verificamos:
\[ 453.514{,}7(1{,}05)^2\approx 500.000 \]
El resultado es coherente con la meta de ahorro.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
Una persona ahorra \(\$100.000\) a una tasa de \(6\%\) por un período. ¿Cuál es el interés ganado?
- \(\$6.000\)
- \(\$16.000\)
- \(\$106.000\)
- \(\$600\)
El interés se calcula con:
\[ I=C\cdot i \]
\[ I=100.000\cdot 0{,}06=6.000 \]
Alternativa correcta: a.
PAES 2
Una persona deposita \(\$250.000\) a una tasa de \(4\%\) por un período. ¿Cuál es el monto final?
- \(\$254.000\)
- \(\$260.000\)
- \(\$240.000\)
- \(\$275.000\)
El multiplicador es:
\[ 1+0{,}04=1{,}04 \]
Entonces:
\[ M=250.000(1{,}04)=260.000 \]
Alternativa correcta: b.
PAES 3
Si un ahorro se modela por \(M_n=C_0(1{,}03)^n\), entonces la tasa por período es:
- \(0{,}03\%\)
- \(3\%\)
- \(30\%\)
- \(103\%\)
El factor \(1{,}03\) se puede escribir como:
\[ 1{,}03=1+0{,}03 \]
Por lo tanto, la tasa es:
\[ 0{,}03=3\% \]
Alternativa correcta: b.
PAES 4
Después de un período con una tasa de \(8\%\), una cuenta de ahorro llega a \(\$270.000\). ¿Cuál fue el capital inicial?
- \(\$20.000\)
- \(\$250.000\)
- \(\$291.600\)
- \(\$278.000\)
La tasa es \(i=0{,}08\), por lo tanto el multiplicador es:
\[ 1+i=1{,}08 \]
Usamos la fórmula inversa:
\[ C=\frac{M}{1+i} \]
\[ C=\frac{270.000}{1{,}08}=250.000 \]
Alternativa correcta: b.
PAES 5
Una cuenta pasa de \(\$300.000\) a \(\$330.000\) en un período. ¿Cuál fue la tasa de interés?
- \(3\%\)
- \(10\%\)
- \(30\%\)
- \(110\%\)
El interés ganado fue:
\[ 330.000-300.000=30.000 \]
La tasa es:
\[ i=\frac{30.000}{300.000}=0{,}10=10\% \]
Alternativa correcta: b.
PAES 6
Un ahorro de \(\$100.000\) llega a \(\$121.000\) después de \(2\) períodos con una tasa constante. ¿Cuál fue la tasa por período?
- \(5\%\)
- \(10\%\)
- \(21\%\)
- \(121\%\)
Usamos:
\[ 121.000=100.000(1+i)^2 \]
Dividimos por \(100.000\):
\[ 1{,}21=(1+i)^2 \]
Como \(1{,}10^2=1{,}21\), entonces:
\[ 1+i=1{,}10 \]
\[ i=0{,}10=10\% \]
Alternativa correcta: b.
PAES 7
Un capital de \(\$50.000\) se ahorra al \(20\%\) por período. ¿Después de cuántos períodos llega a \(\$72.000\)?
- \(1\) período
- \(2\) períodos
- \(3\) períodos
- \(4\) períodos
El multiplicador es:
\[ 1+0{,}20=1{,}20 \]
El modelo es:
\[ 72.000=50.000(1{,}20)^n \]
Dividimos por \(50.000\):
\[ 1{,}44=(1{,}20)^n \]
Probamos potencias sencillas:
\[ (1{,}20)^1=1{,}20 \]
\[ (1{,}20)^2=1{,}44 \]
Por lo tanto:
\[ n=2 \]
Alternativa correcta: b.
PAES 8
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
- El interés es igual al monto final.
- El monto final se obtiene restando la tasa al capital.
- En el ahorro, una tasa positiva hace crecer el capital.
- El capital inicial siempre cambia de signo.
En el ahorro, una tasa positiva representa una ganancia sobre el capital, por lo que el capital crece.
El interés no es igual al monto final: el monto final incluye el capital inicial más el interés ganado.
Alternativa correcta: c.
PAES 9
Una persona quiere obtener \(\$242.000\) después de \(2\) períodos. Si la tasa es \(10\%\) por período, ¿cuánto debe depositar inicialmente?
- \(\$200.000\)
- \(\$220.000\)
- \(\$266.200\)
- \(\$121.000\)
El multiplicador por período es:
\[ 1+0{,}10=1{,}10 \]
Usamos la fórmula inversa:
\[ C_0=\frac{242.000}{(1{,}10)^2} \]
\[ C_0=\frac{242.000}{1{,}21}=200.000 \]
Alternativa correcta: a.
PAES 10
Un banco ofrece \(5\%\) por período durante \(2\) períodos. Otro banco ofrece \(10\%\) total al final de los \(2\) períodos. Para un capital inicial de \(\$100.000\), ¿cuál afirmación es correcta?
- Ambos bancos entregan exactamente el mismo monto final.
- El primer banco entrega \(\$250\) más que el segundo.
- El segundo banco entrega \(\$250\) más que el primero.
- El primer banco entrega menos que el capital inicial.
Primer banco:
\[ 100.000(1{,}05)^2=100.000\cdot 1{,}1025=110.250 \]
Segundo banco:
\[ 100.000(1{,}10)=110.000 \]
El primer banco entrega:
\[ 110.250-110.000=250 \]
Por lo tanto, entrega \(\$250\) más que el segundo.
Alternativa correcta: b.
Cierre
Resumen de la página
En esta página aplicamos porcentajes y tasas al contexto del ahorro. Vimos cómo calcular interés, monto final e interés total ganado, y también cómo modelar el crecimiento del capital durante varios períodos.
La siguiente página trabajará una idea relacionada, pero desde otra perspectiva: el interés aplicado al crédito, donde ya no se analiza cuánto gana una persona por ahorrar, sino cuánto termina pagando al pedir dinero prestado.
Para recordar
- El interés es la ganancia obtenida por ahorrar.
- El monto final es capital inicial más interés.
- Con tasa constante, el ahorro crece multiplicativamente.
- El interés total se obtiene restando el capital inicial al monto final.
- Las fórmulas pueden usarse directamente para encontrar el monto o el interés, e inversamente para encontrar el capital inicial, la tasa o el número de períodos en casos sencillos.
- Al comparar alternativas de ahorro, no basta mirar solo la tasa: también importa el número de períodos y si la tasa se aplica una o varias veces.