4. Modelado con Funciones Exponenciales (Parte 2)

Modelado con Funciones Exponenciales (Parte 2)

Repaso: Pasos para Modelar

Recordemos los pasos para modelar con funciones exponenciales:

  1. Leer y comprender el problema.
  2. Identificar las variables: x (independiente, usualmente tiempo), f(x) (dependiente).
  3. Identificar los parámetros: \( f(x) = a \cdot b^x \)
    • *a*: Valor inicial.
    • *b*: Base (factor de crecimiento/decrecimiento).
  4. Escribir la ecuación.
  5. Usar el modelo para hacer predicciones.
  6. Interpretar los resultados.

Problemas de Modelado (Nivel Intermedio y Avanzado)

Problema 1: Una ciudad tiene una población inicial de 50,000 habitantes. Se estima que la población crece un 2.5% cada año.

  1. Encuentra la función exponencial que modela la población de la ciudad después de *x* años.
  2. ¿Cuál será la población aproximada después de 10 años?
  3. ¿Después de cuántos años, aproximadamente, la población se *duplicará*? (Usa una calculadora y prueba valores, o usa logaritmos si ya los conoces).

Problema 2: Se invierten $10,000 en una cuenta que paga un interés compuesto del 6% anual. Sin embargo, la tasa de interés se capitaliza *trimestralmente* (es decir, el interés se calcula y se añade al capital cada 3 meses).

  1. ¿Cuál es la tasa de interés *trimestral*?
  2. ¿Cuántos períodos de capitalización hay en un año?
  3. Encuentra la función exponencial que modela el valor de la inversión después de *x* años.
  4. ¿Cuál será el valor de la inversión después de 5 años?

Problema 3: Un científico estudia una muestra de 200 gramos de una sustancia radiactiva. Después de 2 días, la masa de la muestra se ha reducido a 150 gramos.

  1. Encuentra la función exponencial que modela la masa de la muestra en función del tiempo (en días).
  2. ¿Cuál es la vida media de la sustancia (el tiempo que tarda en reducirse a la mitad)? Estima el valor usando la función y una calculadora.
  3. ¿Cuánta sustancia quedará después de 10 días?

Problema 4: El número de usuarios de una red social crece exponencialmente. El 1 de enero, había 10,000 usuarios. El 1 de marzo (60 días después), había 40,000 usuarios.

  1. Encuentra la función exponencial que modela el número de usuarios en función del tiempo (en días, desde el 1 de enero).
  2. ¿Cuál es la tasa de crecimiento *diaria* de usuarios (en porcentaje)?
  3. ¿Cuántos usuarios se esperan para el 1 de junio (151 días después del 1 de enero)?

Problema 5: Un rumor se propaga exponencialmente en una escuela. Al principio, solo 5 personas conocen el rumor. Después de 3 horas, 80 personas lo conocen. Si la escuela tiene 500 estudiantes, ¿cuánto tiempo (aproximadamente) tardará el rumor en llegar a *toda* la escuela?

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