Funciones potencias y trigonométricas
3. Comparación de gráficos de funciones potencia
Comparación de gráficos de funciones potencia
En la página anterior construimos tablas para funciones potencia de exponente entero. Ahora daremos un paso más: comparar sus gráficos para reconocer semejanzas y diferencias importantes.
Esto nos permitirá observar mejor cómo influye el exponente en la forma del gráfico, en los signos de los valores y en el comportamiento de la función cuando \(x\) aumenta o se acerca a 0.
Trabajaremos principalmente con estas funciones:
\[ x^2,\qquad x^3,\qquad x^{-1}=\frac{1}{x},\qquad x^{-2}=\frac{1}{x^2} \]
Objetivo de la página
- Comparar gráficos de funciones potencia de exponente entero.
- Reconocer semejanzas y diferencias entre exponentes pares, impares, positivos y negativos.
- Interpretar el comportamiento de las funciones a partir de sus gráficos.
- Relacionar tablas y gráficos para describir crecimiento o decrecimiento.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Distinguir visualmente entre gráficos de funciones como \(x^2\), \(x^3\), \(x^{-1}\) y \(x^{-2}\).
- Reconocer simetrías importantes en estos gráficos.
- Comparar el comportamiento de dos funciones potencia en distintos intervalos.
- Justificar comparaciones usando tablas, signos y forma del gráfico.
Al comparar gráficos de funciones potencia conviene observar al menos estas preguntas:
- ¿La función está definida en \(x=0\)?
- ¿Los valores son siempre positivos o pueden ser negativos?
- ¿El gráfico es simétrico respecto del eje \(y\) o del origen?
- ¿La función crece o decrece para \(x>0\)?
- ¿Qué ocurre cuando \(x\) es muy grande o cuando se acerca a 0?
Para exponentes positivos:
- \(x^2\) tiene exponente par y sus valores son no negativos.
- \(x^3\) tiene exponente impar y conserva el signo de \(x\).
Para exponentes negativos:
- \(x^{-1}=\frac{1}{x}\) cambia de signo según el signo de \(x\).
- \(x^{-2}=\frac{1}{x^2}\) siempre es positiva para \(x\neq 0\).
El exponente no solo cambia los números de la tabla: también cambia la forma general del gráfico, su simetría y la manera en que la función crece o decrece.
No basta con mirar un solo punto para comparar gráficos. Dos funciones pueden coincidir en algunos valores, por ejemplo en \(x=1\), y aun así tener comportamientos muy distintos en el resto del gráfico.
Resumen comparativo
| Función | Tipo de exponente | Simetría | Rasgo principal del gráfico |
|---|---|---|---|
| \(x^2\) | Positivo par | Respecto del eje \(y\) | Pasa por el origen y queda sobre el eje \(x\) |
| \(x^3\) | Positivo impar | Respecto del origen | Pasa por el origen y cambia de signo |
| \(x^{-1}\) | Negativo impar | Respecto del origen | No está definida en 0 y tiene dos ramas |
| \(x^{-2}\) | Negativo par | Respecto del eje \(y\) | No está definida en 0 y siempre toma valores positivos |
Ejemplo guiado 1: comparar \(f(x)=x^2\) y \(g(x)=x^3\)
Construimos una tabla con algunos valores:
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(x^2\) | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
| \(x^3\) | -8 | -1 | 0 | 1 | 8 |
Comparación gráfica
Ambas funciones pasan por el origen y por el punto \((1,1)\).
Sin embargo, \(x^2\) nunca toma valores negativos, mientras que \(x^3\) sí los toma cuando \(x\) es negativo.
Además, para \(x>1\), la función \(x^3\) crece más rápido que \(x^2\).
Ejemplo guiado 2: comparar \(h(x)=x^{-1}\) y \(p(x)=x^{-2}\)
Recordemos que:
\[ x^{-1}=\frac{1}{x} \qquad\text{y}\qquad x^{-2}=\frac{1}{x^2} \]
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|
| \(x^{-1}\) | \(-\frac{1}{2}\) | -1 | 1 | \(\frac{1}{2}\) |
| \(x^{-2}\) | \(\frac{1}{4}\) | 1 | 1 | \(\frac{1}{4}\) |
Comparación gráfica
Ambas funciones no están definidas en \(x=0\), por eso sus gráficos aparecen separados en dos ramas.
Además, para \(x>0\) disminuyen al aumentar \(x\).
Pero \(x^{-1}\) toma valores negativos cuando \(x\) es negativo, mientras que \(x^{-2}\) siempre toma valores positivos para \(x\neq 0\).
Ejemplo guiado 3: comparar \(x^2\) y \(x^3\) según el intervalo
Observemos algunos valores positivos pequeños y grandes:
| \(x\) | \(\frac{1}{2}\) | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| \(x^2\) | \(\frac{1}{4}\) | 1 | 4 |
| \(x^3\) | \(\frac{1}{8}\) | 1 | 8 |
Para \(0<x<1\), se cumple que \(x^3<x^2\).
Para \(x>1\), se cumple que \(x^3>x^2\).
Esto muestra que comparar gráficos también depende del intervalo donde se observe la función.
Cuando el exponente es par, aparecen simetrías respecto del eje \(y\), como en \(x^2\) y \(x^{-2}\). Cuando el exponente es impar, aparece simetría respecto del origen, como en \(x^3\) y \(x^{-1}\).
Comparar gráficos permite decidir qué modelo representa mejor una situación: algunos crecen muy rápido, otros decrecen al aumentar la variable, y otros cambian de signo según el contexto. Esta lectura es clave en ciencias, economía e ingeniería.
Ejercicios
Ejercicio 1
Completa la comparación entre \(f(x)=x^2\) y \(g(x)=x^3\) usando los valores \(x=-1,1,2\).
Indica en cada caso cuál función tiene mayor valor.
Para \(x=-1\):
\[ x^2=1,\qquad x^3=-1 \]
Entonces, \(x^2\) tiene mayor valor.
Para \(x=1\):
\[ x^2=1,\qquad x^3=1 \]
Tienen el mismo valor.
Para \(x=2\):
\[ x^2=4,\qquad x^3=8 \]
Entonces, \(x^3\) tiene mayor valor.
Ejercicio 2
Compara \(x^{-1}\) y \(x^{-2}\) en los valores \(x=-1,1,2\).
Redacta una diferencia importante entre ambas funciones.
Para \(x=-1\):
\[ x^{-1}=-1,\qquad x^{-2}=1 \]
Para \(x=1\):
\[ x^{-1}=1,\qquad x^{-2}=1 \]
Para \(x=2\):
\[ x^{-1}=\frac{1}{2},\qquad x^{-2}=\frac{1}{4} \]
Una diferencia importante es que \(x^{-1}\) puede tomar valores negativos, mientras que \(x^{-2}\) siempre es positiva para \(x\neq 0\).
Ejercicio 3
Indica cuáles de estas funciones son simétricas respecto del eje \(y\) y cuáles respecto del origen:
- \(x^2\)
- \(x^3\)
- \(x^{-1}\)
- \(x^{-2}\)
Simétricas respecto del eje \(y\):
- \(x^2\)
- \(x^{-2}\)
Simétricas respecto del origen:
- \(x^3\)
- \(x^{-1}\)
Ejercicio 4
Para \(x>0\), indica si cada función crece o decrece al aumentar \(x\):
- \(x^2\)
- \(x^3\)
- \(x^{-1}\)
- \(x^{-2}\)
Para \(x>0\):
- \(x^2\): crece
- \(x^3\): crece
- \(x^{-1}\): decrece
- \(x^{-2}\): decrece
Ejercicio 5
Compara \(x^2\) y \(x^3\) en los intervalos:
- \(0<x<1\)
- \(x>1\)
Indica cuál de las dos funciones toma mayores valores en cada caso.
a) Si \(0<x<1\), entonces:
\[ x^3<x^2 \]
Por lo tanto, \(x^2\) toma mayores valores.
b) Si \(x>1\), entonces:
\[ x^3>x^2 \]
Por lo tanto, \(x^3\) toma mayores valores.
Ejercicio 6
Explica por qué los gráficos de \(x^{-1}\) y \(x^{-2}\) no pasan por el origen.
Porque ambas funciones no están definidas en \(x=0\).
En efecto:
\[ x^{-1}=\frac{1}{x} \qquad\text{y}\qquad x^{-2}=\frac{1}{x^2} \]
Si \(x=0\), aparece una división por cero, que no está definida. Por eso sus gráficos no pasan por el origen.
Ejercicio 7
Un estudiante dice: “Los gráficos de \(x^2\) y \(x^{-2}\) son iguales porque ambos tienen exponente par”.
¿Es correcta esa afirmación? Justifica.
No, la afirmación es incorrecta.
Aunque ambos tienen exponente par y simetría respecto del eje \(y\), sus comportamientos son distintos. La función \(x^2\) está definida en \(x=0\) y crece cuando \(|x|\) aumenta, mientras que \(x^{-2}\) no está definida en \(x=0\) y sus valores se acercan a 0 cuando \(|x|\) crece.
Ejercicio 8
Redacta dos diferencias entre los gráficos de \(x^3\) y \(x^{-1}\).
Dos diferencias posibles son:
- \(x^3\) está definida en \(x=0\), mientras que \(x^{-1}\) no está definida en \(x=0\).
- Para \(x>0\), \(x^3\) crece al aumentar \(x\), mientras que \(x^{-1}\) decrece.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
¿Cuál de las siguientes funciones es simétrica respecto del eje \(y\)?
- \(x^3\)
- \(x^{-1}\)
- \(x^2\)
- \(x\)
La función simétrica respecto del eje \(y\) es:
\[ x^2 \]
Alternativa correcta: c
PAES 2
¿Cuál de las siguientes funciones no está definida en \(x=0\)?
- \(x^2\)
- \(x^3\)
- \(x+1\)
- \(x^{-1}\)
La función que no está definida en \(x=0\) es:
\[ x^{-1} \]
Alternativa correcta: d
PAES 3
Para \(x>1\), ¿cuál de estas funciones toma mayores valores?
- \(x^2\) respecto de \(x^3\)
- \(x^3\) respecto de \(x^2\)
- \(x^{-1}\) respecto de \(x^2\)
- \(x^{-2}\) respecto de \(x^3\)
Para \(x>1\), se cumple:
\[ x^3>x^2 \]
Alternativa correcta: b
PAES 4
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
- \(x^{-2}\) toma valores negativos para todo \(x\neq 0\).
- \(x^3\) y \(x^2\) tienen el mismo comportamiento para \(x<0\).
- \(x^{-1}\) cambia de signo según el signo de \(x\).
- \(x^2\) no está definida en \(x=0\).
La afirmación correcta es la c.
Alternativa correcta: c
Cierre
En esta página comparamos gráficos de funciones potencia y observamos diferencias importantes según el tipo de exponente. Vimos que la simetría, el signo de los valores, la definición en \(x=0\) y el comportamiento de crecimiento o decrecimiento permiten distinguir con claridad unos gráficos de otros.
En la siguiente página avanzaremos con la variación de parámetros y su efecto en el gráfico, para ver cómo cambia una función potencia cuando se modifica el valor de la constante o del exponente.
- Los exponentes pares e impares producen comportamientos distintos.
- Los exponentes negativos generan funciones no definidas en \(x=0\).
- Comparar gráficos exige mirar más de un punto y más de una propiedad.
- El intervalo donde se observa la función también importa.