Funciones potencias y trigonométricas
4. Variación de parámetros y efecto en el gráfico
Variación de parámetros y efecto en el gráfico
En la página anterior comparamos gráficos de funciones potencia de exponente entero. Ahora daremos un paso más: estudiar cómo cambia el gráfico cuando modificamos sus parámetros.
Trabajaremos con funciones de la forma:
\[ f(x)=a\cdot x^n \]
donde \(a\) es una constante y \(n\) es un exponente entero.
La idea será observar qué ocurre cuando cambia el valor de \(a\), cuando cambia su signo y cuando cambia el exponente \(n\).
Objetivo de la página
- Analizar cómo cambia el gráfico de una función potencia al modificar sus parámetros.
- Reconocer el efecto del valor y del signo de la constante \(a\).
- Comparar el efecto de distintos exponentes enteros en la forma del gráfico.
- Relacionar cambios algebraicos con cambios visuales en el plano cartesiano.
Al finalizar esta página deberías poder:
- Describir qué ocurre si en una función potencia el valor de \(a\) aumenta o disminuye.
- Reconocer cuándo un gráfico se refleja respecto del eje \(x\).
- Comparar funciones con distintos exponentes y explicar sus diferencias.
- Justificar cambios del gráfico usando tablas, expresiones y observación visual.
Una función potencia de exponente entero tiene la forma:
\[ f(x)=a\cdot x^n \]
En esta expresión podemos modificar principalmente dos cosas:
- la constante \(a\),
- el exponente entero \(n\).
Cada uno de esos cambios produce un efecto distinto en el gráfico.
- Si \(|a|>1\), el gráfico se ve más estirado verticalmente.
- Si \(0<|a|<1\), el gráfico se ve más aplanado o comprimido verticalmente.
- Si \(a<0\), el gráfico se refleja respecto del eje \(x\).
- Si cambia el exponente \(n\), puede cambiar la forma general, la rapidez de crecimiento, la simetría e incluso la definición en \(x=0\).
Cambiar la constante \(a\) suele modificar la altura del gráfico o su orientación, mientras que cambiar el exponente \(n\) puede modificar la forma completa de la función.
No siempre un cambio en la fórmula produce “el mismo tipo” de cambio en el gráfico. Por ejemplo, pasar de \(x^2\) a \(2x^2\) no tiene el mismo efecto que pasar de \(x^2\) a \(x^3\).
Resumen de efectos
| Cambio en la función | Efecto principal en el gráfico | Ejemplo |
|---|---|---|
| Aumentar \(|a|\) | Estiramiento vertical | \(x^2 \rightarrow 2x^2\) |
| Disminuir \(|a|\) con \(0<|a|<1\) | Compresión vertical | \(x^2 \rightarrow \frac{1}{2}x^2\) |
| Cambiar \(a\) a negativo | Reflexión respecto del eje \(x\) | \(x^2 \rightarrow -x^2\) |
| Cambiar el exponente positivo | Cambia la forma y la rapidez de crecimiento | \(x \rightarrow x^2 \rightarrow x^3\) |
| Cambiar a exponente negativo | Aparecen funciones no definidas en \(x=0\) | \(x^2 \rightarrow x^{-2}\) |
Ejemplo guiado 1: variar la constante positiva
Comparemos estas tres funciones:
\[ y=x^2,\qquad y=2x^2,\qquad y=\frac{1}{2}x^2 \]
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(x^2\) | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
| \(2x^2\) | 8 | 2 | 0 | 2 | 8 |
| \(\frac{1}{2}x^2\) | 2 | \(\frac{1}{2}\) | 0 | \(\frac{1}{2}\) | 2 |
Comparación gráfica
Las tres funciones pasan por el origen y mantienen la misma “abertura hacia arriba”.
Pero \(2x^2\) queda más alta que \(x^2\), por eso decimos que su gráfico está estirado verticalmente.
En cambio, \(\frac{1}{2}x^2\) queda más cerca del eje \(x\), por eso decimos que está comprimido verticalmente.
Ejemplo guiado 2: cambiar el signo de la constante
Comparemos ahora:
\[ y=x^2 \qquad\text{y}\qquad y=-x^2 \]
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(x^2\) | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
| \(-x^2\) | -4 | -1 | 0 | -1 | -4 |
Comparación gráfica
Al pasar de \(x^2\) a \(-x^2\), todos los valores cambian de signo.
Eso hace que el gráfico se refleje respecto del eje \(x\).
La forma general sigue siendo parabólica, pero ahora la abertura queda hacia abajo.
Ejemplo guiado 3: variar el exponente positivo
Observemos estas funciones:
\[ y=x,\qquad y=x^2,\qquad y=x^3 \]
| \(x\) | \(\frac{1}{2}\) | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| \(x\) | \(\frac{1}{2}\) | 1 | 2 |
| \(x^2\) | \(\frac{1}{4}\) | 1 | 4 |
| \(x^3\) | \(\frac{1}{8}\) | 1 | 8 |
Comparación gráfica
Cuando el exponente cambia, no solo cambian algunos valores: cambia la forma del gráfico.
Además, para \(0<x<1\), las potencias más altas dan valores más pequeños.
En cambio, para \(x>1\), las potencias más altas dan valores más grandes.
Ejemplo guiado 4: pasar de exponente positivo a negativo
Comparemos:
\[ y=x^2 \qquad\text{y}\qquad y=x^{-2}=\frac{1}{x^2} \]
Comparación gráfica
Ambas funciones tienen exponente par, por eso muestran simetría respecto del eje \(y\).
Sin embargo, no tienen el mismo comportamiento.
La función \(x^2\) está definida en \(x=0\) y pasa por el origen, mientras que \(x^{-2}\) no está definida en \(x=0\) y presenta dos ramas separadas.
Esto muestra que cambiar el signo del exponente puede transformar mucho más el gráfico que un simple cambio de escala.
Cuando varía la constante \(a\), conviene preguntarse:
- ¿el gráfico queda más alto o más bajo?,
- ¿se refleja respecto del eje \(x\)?,
- ¿mantiene su forma general?
Cuando cambia el exponente \(n\), conviene observar:
- si cambia la simetría,
- si cambia la rapidez de crecimiento o decrecimiento,
- si la función sigue estando definida en \(x=0\).
En muchos modelos reales, modificar parámetros cambia el comportamiento del fenómeno.
Por ejemplo, una constante puede representar una escala o intensidad, mientras que el exponente puede cambiar la manera en que una magnitud crece o disminuye. Por eso no basta con conocer la fórmula general: también hay que interpretar el efecto de sus parámetros.
Ejercicios
Ejercicio 1
Compara las funciones \(x^2\), \(2x^2\) y \(\frac{1}{2}x^2\).
Indica cuál toma mayor valor cuando \(x=2\) y cuál queda más cerca del eje \(x\).
Para \(x=2\):
\[ x^2=4,\qquad 2x^2=8,\qquad \frac{1}{2}x^2=2 \]
La función que toma mayor valor es \(2x^2\).
La que queda más cerca del eje \(x\) es \(\frac{1}{2}x^2\).
Ejercicio 2
Describe qué ocurre con el gráfico de \(x^2\) cuando se cambia por \(-x^2\).
El gráfico se refleja respecto del eje \(x\).
Esto ocurre porque todos los valores de la función cambian de signo.
Ejercicio 3
Para \(0<x<1\), ordena de mayor a menor los valores de:
\[ x,\qquad x^2,\qquad x^3 \]
Si \(0<x<1\), entonces:
\[ x>x^2>x^3 \]
Ejercicio 4
Para \(x>1\), ordena de menor a mayor los valores de:
\[ x,\qquad x^2,\qquad x^3 \]
Si \(x>1\), entonces:
\[ x<x^2<x^3 \]
Ejercicio 5
Completa la tabla para la función \(f(x)= -2x^2\).
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ? | ? | ? | ? | ? |
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | -8 | -2 | 0 | -2 | -8 |
Ejercicio 6
Un estudiante dice: “Las funciones \(x^2\) y \(2x^2\) tienen la misma forma, por eso son exactamente el mismo gráfico”.
¿Es correcta esa afirmación? Justifica.
No, no es correcta.
Tienen una forma semejante, pero no son el mismo gráfico.
La función \(2x^2\) toma valores mayores que \(x^2\) para \(x\neq 0\), por lo que aparece más estirada verticalmente.
Ejercicio 7
Explica una diferencia importante entre \(x^2\) y \(x^{-2}\).
Una diferencia importante es que \(x^2\) está definida en \(x=0\) y pasa por el origen, mientras que \(x^{-2}\) no está definida en \(x=0\).
Ejercicio 8
Determina el efecto principal en el gráfico de \(x^2\) en cada caso:
- \(x^2 \rightarrow 3x^2\)
- \(x^2 \rightarrow \frac{1}{4}x^2\)
- \(x^2 \rightarrow -x^2\)
- \(x^2 \rightarrow x^3\)
- a) Estiramiento vertical.
- b) Compresión vertical.
- c) Reflexión respecto del eje \(x\).
- d) Cambio de forma por modificación del exponente.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
¿Cuál de las siguientes funciones corresponde al reflejo del gráfico de \(y=x^2\) respecto del eje \(x\)?
- \(y=2x^2\)
- \(y=-x^2\)
- \(y=x^3\)
- \(y=x^{-2}\)
La función correcta es:
\[ y=-x^2 \]
Alternativa correcta: b
PAES 2
Para \(x>1\), ¿cuál de las siguientes funciones toma mayores valores?
- \(\frac{1}{2}x^2\)
- \(-x^2\)
- \(x^3\)
- \(x^{-1}\)
Para \(x>1\), la función que toma mayores valores es:
\[ x^3 \]
Alternativa correcta: c
PAES 3
¿Cuál de las siguientes funciones está definida para todo número real?
- \(x^{-2}\)
- \(x^{-1}\)
- \(-x^2\)
- \(\frac{3}{x}\)
La única función definida para todo número real es:
\[ -x^2 \]
Alternativa correcta: c
PAES 4
Si \(f(x)=a x^2\) y se sabe que \(f(2)=8\), entonces el valor de \(a\) es:
- \(\frac{1}{2}\)
- 1
- 2
- 4
Como:
\[ f(2)=a\cdot 2^2=4a \]
y se cumple que \(4a=8\), entonces:
\[ a=2 \]
Alternativa correcta: c
Cierre
En esta página estudiamos cómo cambian los gráficos de las funciones potencia cuando varían sus parámetros.
Vimos que modificar la constante puede estirar, comprimir o reflejar el gráfico, mientras que cambiar el exponente puede alterar la forma, la simetría y hasta la definición de la función en ciertos puntos.
En la siguiente página daremos un paso importante: veremos que, aunque estas funciones permiten modelar muchos fenómenos de crecimiento y decrecimiento, no sirven para describir bien situaciones periódicas. Eso nos llevará a la necesidad de un nuevo tipo de modelo.
- La constante \(a\) controla escala y orientación del gráfico.
- Si \(a<0\), aparece una reflexión respecto del eje \(x\).
- El exponente cambia la forma y el comportamiento global de la función.
- Los exponentes negativos generan funciones no definidas en \(x=0\).