Libro de funciones potencias y trigonometricas
7. Situaciones periódicas: necesidad de un nuevo tipo de modelo
Situaciones periódicas: necesidad de un nuevo tipo de modelo
Situaciones periódicas
En las páginas anteriores trabajamos con funciones potencia de exponente entero y vimos que permiten modelar situaciones de crecimiento y decrecimiento.
Sin embargo, no todos los fenómenos cambian siempre en una sola dirección. Existen situaciones en las que una magnitud sube y baja de manera repetida, volviendo a comportarse de forma semejante después de cierto tiempo.
En esta página estudiaremos ese tipo de situaciones y veremos por qué los modelos anteriores no son suficientes para describirlas.
Objetivo de la página
- Reconocer situaciones periódicas en distintos contextos.
- Distinguir entre comportamientos de crecimiento/decrecimiento y comportamientos repetitivos.
- Comprender por qué las funciones potencia no modelan adecuadamente fenómenos periódicos.
- Preparar el paso hacia un nuevo tipo de modelo matemático.
- Al finalizar esta página deberías poder:
- Identificar cuándo una situación presenta repetición regular.
- Explicar por qué un gráfico de crecimiento no sirve para representar una oscilación.
- Reconocer que en fenómenos periódicos un mismo valor puede repetirse en distintos instantes.
- Justificar la necesidad de un nuevo modelo para describir estos comportamientos.
Idea inicial
Una situación es periódica cuando su comportamiento se repite después de intervalos iguales de tiempo o de recorrido.
Por ejemplo:
- la temperatura durante el día;
- la altura de una cabina en una rueda de la fortuna;
- el movimiento de un péndulo;
- las mareas.
Idea clave
En una situación periódica, un valor no aparece una sola vez.
Puede repetirse en distintos momentos, porque el fenómeno vuelve a pasar por estados semejantes una y otra vez.
Atención
No toda situación que sube y luego baja es necesariamente periódica.
Para hablar de periodicidad debe existir una repetición regular del comportamiento.
Comparación general
| Tipo de comportamiento | Qué ocurre | Ejemplo |
|---|---|---|
| Crecimiento | La variable aumenta al avanzar la otra variable | \(x^2\), \(x^3\) para \(x>0\) |
| Decrecimiento | La variable disminuye al avanzar la otra variable | \(x^{-1}\), \(x^{-2}\) para \(x>0\) |
| Periodicidad | El comportamiento se repite después de cierto intervalo | temperatura diaria, mareas, rueda de la fortuna |
Ejemplo guiado 1: los modelos de crecimiento no repiten su forma
Recordemos dos funciones potencia ya estudiadas:
\[ y=x^2 \qquad\text{y}\qquad y=x^3 \]
Comparación gráfica
Estos gráficos pueden crecer o cambiar de forma, pero no repiten un ciclo.
Si seguimos avanzando en \(x\), no volvemos una y otra vez al mismo comportamiento de manera regular.
Por eso, aunque son útiles para muchas situaciones, no son adecuados para describir fenómenos que suben y bajan repetidamente.
Ejemplo guiado 2: temperatura a lo largo de un día
Imaginemos una temperatura que baja durante la madrugada, sube hacia el mediodía, vuelve a bajar en la tarde y luego el patrón comienza otra vez al día siguiente.
| Hora | 0 | 6 | 12 | 18 | 24 |
|---|---|---|---|---|---|
| Temperatura aproximada | 6 | 12 | 18 | 12 | 6 |
Representación gráfica
Aquí no vemos un crecimiento permanente ni un decrecimiento permanente.
Lo que aparece es un patrón que se repite: después de \(24\) horas, el fenómeno vuelve a un estado semejante.
Esto muestra que hace falta un modelo distinto de los usados antes.
Ejemplo guiado 3: una cabina de rueda de la fortuna pasa varias veces por la misma altura
Imaginemos una cabina en una rueda de la fortuna. A medida que pasa el tiempo, la cabina sube, llega a una altura máxima, luego baja y vuelve a subir.
Eso significa que una misma altura puede alcanzarse en distintos momentos.
Por ejemplo, una cabina puede estar a \(10\) metros de altura al subir y, más tarde, volver a estar a \(10\) metros al bajar. Si la rueda sigue girando, esa misma altura volverá a repetirse.
Representación gráfica
En este gráfico, el eje horizontal representa el tiempo y el eje vertical representa la altura de la cabina.
La recta horizontal correspondiente a la altura de \(10\) metros corta la curva en varios puntos.
Eso muestra que la cabina pasa por la misma altura en distintos instantes. Este comportamiento no corresponde a un crecimiento permanente ni a un decrecimiento permanente, sino a una repetición regular.
Justamente por eso necesitamos un nuevo tipo de modelo matemático para describir este tipo de fenómenos.
¿Por qué no basta con funciones potencia?
Las funciones potencia permiten modelar fenómenos como áreas, volúmenes o relaciones inversas. Pero en ellas no aparece de manera natural una repetición regular del comportamiento.
En cambio, las situaciones periódicas requieren un modelo que permita representar ciclos, oscilaciones y repeticiones.
Aplicación en el mundo real
Muchos fenómenos reales son periódicos: el día y la noche, las estaciones, las mareas, las ondas sonoras y el movimiento circular.
Por eso, en matemática no basta con estudiar solo modelos de crecimiento y decrecimiento: también necesitamos modelos que describan comportamientos repetitivos.
Ejercicios
Ejercicio 1
Indica cuáles de las siguientes situaciones son periódicas:
- El área de un cuadrado al aumentar la medida de su lado.
- La altura de una cabina en una rueda de la fortuna.
- La temperatura aproximada durante un día.
- El volumen de un cubo al aumentar su arista.
Son periódicas:
- b) La altura de una cabina en una rueda de la fortuna.
- c) La temperatura aproximada durante un día, si se considera un patrón diario repetitivo.
Las otras corresponden más bien a crecimiento, no a repetición regular.
Ejercicio 2
Explica por qué una función como \(y=x^2\) no es un buen modelo para describir las mareas.
Porque \(y=x^2\) no representa un comportamiento que suba y baje de manera repetida.
Las mareas son periódicas: alcanzan niveles altos y bajos varias veces siguiendo un ciclo. Por eso se necesita un modelo que repita su comportamiento después de intervalos regulares.
Ejercicio 3
Observa la siguiente tabla de un fenómeno:
| Tiempo | 0 | 4 | 8 | 12 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|
| Valor | 5 | 9 | 5 | 1 | 5 |
¿Se puede sospechar que es una situación periódica? Justifica.
Sí, se puede sospechar.
El valor \(5\) se repite en distintos instantes y la tabla sugiere un patrón de subida y bajada:
\[ 5,\ 9,\ 5,\ 1,\ 5 \]
Eso hace pensar en un comportamiento periódico, aunque para confirmarlo sería útil observar más datos.
Ejercicio 4
Completa la frase:
“En una situación periódica, después de cierto intervalo, el fenómeno vuelve a __________”.
Una posible respuesta es:
“...volver a comportarse de manera semejante”.
También podría completarse como:
“...repetir su patrón”.
Ejercicio 5
Un estudiante afirma: “Si una magnitud primero sube y después baja, entonces siempre es periódica”.
¿Es correcta esa afirmación? Justifica.
No, no siempre es correcta.
Para que una situación sea periódica, no basta con que suba y baje una vez. Debe existir una repetición regular del comportamiento.
Por ejemplo, una pelota lanzada hacia arriba sube y luego baja, pero ese movimiento por sí solo no necesariamente se repite de manera regular.
Ejercicio 6
Menciona dos situaciones reales distintas de las ya nombradas en esta página que puedan considerarse periódicas.
Ejemplos posibles:
- el movimiento de un columpio;
- las vibraciones de una cuerda;
- las ondas de sonido;
- el movimiento de una rueda que gira de manera constante.
En todos estos casos aparece una repetición del comportamiento después de cierto intervalo.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
¿Cuál de las siguientes situaciones requiere con mayor claridad un modelo periódico?
- El área de un círculo según su radio.
- La altura del agua en una marea a lo largo del tiempo.
- El volumen de un cubo según su arista.
- La distancia recorrida por un automóvil que avanza sin detenerse.
La situación correcta es:
b) La altura del agua en una marea a lo largo del tiempo.
Las mareas suben y bajan siguiendo un patrón repetitivo, por eso requieren un modelo periódico.
Alternativa correcta: b.
PAES 2
Si un fenómeno repite su comportamiento cada cierto intervalo fijo, entonces ese fenómeno es:
- lineal
- cuadrático
- periódico
- afín
Un fenómeno que repite su comportamiento después de intervalos iguales se llama periódico.
Alternativa correcta: c.
PAES 3
¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe mejor una diferencia entre una función potencia y un modelo periódico?
- La función potencia siempre toma valores negativos y el modelo periódico no.
- El modelo periódico puede repetir valores en distintos instantes y la función potencia no describe naturalmente esa repetición regular.
- La función potencia nunca se puede graficar y el modelo periódico sí.
- Todo modelo periódico es una función lineal.
La afirmación correcta es la b.
Los modelos periódicos permiten representar ciclos o repeticiones regulares. En cambio, las funciones potencia estudiadas hasta ahora modelan mejor crecimiento, decrecimiento o relaciones de escala.
Alternativa correcta: b.
PAES 4
Un fenómeno presenta los siguientes valores:
| Tiempo | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| Valor | 3 | 7 | 3 | -1 | 3 |
La característica más importante que sugiere periodicidad es que:
- todos los valores son positivos
- el valor \(3\) se repite en distintos tiempos y hay un patrón de subida y bajada
- los datos están ordenados de menor a mayor
- el tiempo comienza en \(0\)
La característica más importante es que el valor \(3\) se repite en distintos tiempos y se observa un patrón de subida y bajada.
Alternativa correcta: b.
Cierre
Resumen de la página
En esta página vimos que existen fenómenos cuyo comportamiento no consiste solo en crecer o decrecer, sino en repetirse regularmente.
Eso nos obliga a pasar a un nuevo tipo de modelo matemático, capaz de representar ciclos y oscilaciones.
En la siguiente página estudiaremos una primera función especialmente útil para describir este tipo de situaciones: la función seno.
Para recordar
- Una situación periódica repite su comportamiento después de intervalos iguales.
- En ella, un mismo valor puede repetirse muchas veces.
- Las funciones potencia no describen naturalmente ese patrón repetitivo.
- Por eso se necesita un nuevo tipo de modelo.