Libro de funciones potencias y trigonometricas
12. Función coseno como modelo de periodicidad
Función coseno como modelo de periodicidad
Función coseno como modelo de periodicidad
En la página anterior estudiamos la función seno como modelo de periodicidad. Ahora veremos otra función muy importante para describir fenómenos que se repiten regularmente: la función coseno.
Al igual que la función seno, la función coseno permite representar comportamientos que suben y bajan de manera repetida. La diferencia principal, en esta primera aproximación, es la forma en que comienza su ciclo.
En esta página estudiaremos la función coseno como un modelo de fenómenos periódicos y aprenderemos a interpretar su gráfico de manera intuitiva.
Objetivo de la página
- Reconocer la función coseno como un modelo de periodicidad.
- Interpretar su gráfico como una oscilación regular.
- Relacionar la función coseno con contextos reales simples.
- Comparar intuitivamente la función coseno con la función seno.
- Al finalizar esta página deberías poder:
- Reconocer visualmente un gráfico cosenoidal.
- Explicar por qué la función coseno sirve para modelar periodicidad.
- Identificar máximos, mínimos y repeticiones en un gráfico de coseno.
- Relacionar un modelo cosenoidal simple con una situación contextualizada.
Primera idea
La función coseno básica se escribe como:
\[ y=\cos(x) \]
Su gráfico también sube y baja de manera regular, por lo que es adecuado para modelar fenómenos periódicos.
Una diferencia importante con la función seno es que el coseno básico comienza en un valor máximo cuando \(x=0\).
Lectura intuitiva del gráfico
- La curva parte en un valor alto.
- Luego desciende hasta un mínimo.
- Después vuelve a subir.
- Tras cierto recorrido horizontal, el patrón se repite.
Idea clave
La función coseno es especialmente útil cuando una situación periódica comienza en un valor máximo o en una posición extrema.
Atención
La función coseno y la función seno describen comportamientos muy parecidos, pero no parten del mismo punto del ciclo.
En esta etapa, más que memorizar fórmulas, importa reconocer cómo se ve e interpretar qué representa.
Observación inicial
| Aspecto | En la función coseno |
|---|---|
| Comportamiento general | Baja y sube de manera regular |
| Tipo de situación que modela | Fenómenos periódicos |
| Cómo parte el ciclo básico | Desde un valor máximo |
| Ejemplos de contexto | rueda de la fortuna, vibraciones, mareas, temperatura |
Ejemplo guiado 1: primer vistazo al gráfico de \(y=\cos(x)\)
Observemos el gráfico de la función coseno básica.
Representación gráfica
La curva comienza en \(1\), luego baja, cruza por valores intermedios, llega a un mínimo y después vuelve a subir.
Al avanzar más en \(x\), el mismo patrón vuelve a repetirse. Por eso la función coseno también es un modelo natural de periodicidad.
Ejemplo guiado 2: comparación intuitiva entre seno y coseno
Comparemos ahora los gráficos de \(y=\sin(x)\) y \(y=\cos(x)\).
Comparación gráfica
Ambas funciones son periódicas y tienen una forma ondulada muy parecida.
La diferencia principal, en esta lectura inicial, es que:
- \(\sin(x)\) comienza en \(0\);
- \(\cos(x)\) comienza en \(1\).
Eso hace que, en algunos contextos, convenga más usar seno y en otros, coseno.
Ejemplo guiado 3: altura de una cabina que comienza en la parte más alta
Imaginemos una cabina de rueda de la fortuna que, en el instante inicial, se encuentra en la altura máxima.
Como parte desde arriba, luego baja, después llega abajo y finalmente vuelve a subir, un modelo con coseno resulta muy natural.
Consideremos el modelo:
\[ h(x)=10+8\cos\left(\frac{\pi}{3}x\right) \]
donde \(x\) representa el tiempo y \(h(x)\) la altura de la cabina.
Representación gráfica
En este modelo, la cabina oscila alrededor de una altura media de \(10\) metros.
Su altura máxima es \(18\) metros y su altura mínima es \(2\) metros.
Como al inicio la cabina parte arriba, el coseno representa muy bien esta situación.
Ejemplo guiado 4: lectura intuitiva de un modelo coseno
En un modelo de la forma:
\[ y=a\cos(bx)+d \]
podemos interpretar de manera intuitiva:
- \(d\): el valor medio alrededor del cual oscila el fenómeno;
- \(|a|\): cuánto se aleja del valor medio;
- \(b\): qué tan rápido se repite el ciclo.
No hace falta profundizar todo ahora. Lo importante es reconocer que la función coseno también describe oscilaciones regulares y puede modelar situaciones periódicas reales.
¿Cuándo conviene pensar en coseno?
La función coseno es especialmente cómoda cuando el fenómeno parte en un máximo, en un mínimo o en una posición extrema.
Por eso resulta útil en contextos donde el instante inicial coincide con un punto alto o bajo del ciclo.
Aplicación en el mundo real
La función coseno puede usarse para modelar la altura de una cabina que parte arriba, ciertos movimientos vibratorios y otras situaciones periódicas que comienzan en un extremo del ciclo.
Ejercicios
Ejercicio 1
Explica por qué la función coseno puede servir para modelar una situación periódica.
La función coseno puede servir para modelar una situación periódica porque su gráfico baja y sube de manera regular.
Además, después de cierto intervalo, vuelve a repetir la misma forma. Esa repetición permite describir fenómenos que vuelven a estados semejantes.
Ejercicio 2
¿En qué valor comienza la función coseno básica cuando \(x=0\)?
La función coseno básica es:
\[ y=\cos(x) \]
Cuando \(x=0\):
\[ \cos(0)=1 \]
Por lo tanto, comienza en \(1\).
Ejercicio 3
En el modelo:
\[ h(x)=10+8\cos\left(\frac{\pi}{3}x\right) \]
indica:
- la altura media,
- la altura máxima,
- la altura mínima.
El modelo tiene la forma \(h(x)=d+a\cos(\cdots)\), donde \(d=10\) y \(|a|=8\).
a) La altura media es \(10\).
b) La altura máxima se obtiene sumando \(8\) al valor medio:
\[ 10+8=18 \]
c) La altura mínima se obtiene restando \(8\) al valor medio:
\[ 10-8=2 \]
Ejercicio 4
Completa la idea:
“La función coseno básica comienza su ciclo en un valor __________”.
La palabra que completa la idea es:
máximo.
Por lo tanto:
“La función coseno básica comienza su ciclo en un valor máximo”.
Ejercicio 5
¿Qué función parece más natural para modelar una situación que comienza en su valor más alto: seno o coseno? Justifica brevemente.
Parece más natural usar la función coseno.
Esto se debe a que, en su forma básica, la función coseno comienza en un valor máximo cuando \(x=0\):
\[ \cos(0)=1 \]
Ejercicio 6
Un estudiante dice: “La función coseno no es periódica porque primero baja”.
¿Es correcta esa afirmación? Justifica.
No, la afirmación no es correcta.
Que primero baje no impide que sea periódica. Lo importante es que su comportamiento se repite regularmente después de cierto intervalo.
La función coseno baja, luego sube y vuelve a repetir ese patrón.
Ejercicio 7
Si un fenómeno oscila alrededor de \(15\) y se aleja como máximo \(4\) unidades de ese valor medio, ¿cuál es su valor máximo y cuál es su valor mínimo?
El valor medio es \(15\) y la variación máxima respecto de ese valor es \(4\).
Valor máximo:
\[ 15+4=19 \]
Valor mínimo:
\[ 15-4=11 \]
Por lo tanto, el valor máximo es \(19\) y el valor mínimo es \(11\).
Ejercicio 8
Da un ejemplo de una situación real que pueda modelarse con una función coseno y explica por qué.
Un ejemplo es la altura de una cabina de rueda de la fortuna que comienza en la parte más alta.
Puede modelarse con una función coseno porque el fenómeno parte en un máximo, luego baja, alcanza un mínimo y vuelve a repetirse regularmente.
Ejercicios tipo PAES
PAES 1
¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe mejor a la función coseno cuando se usa como modelo?
- Representa solo crecimiento permanente.
- Representa situaciones periódicas.
- Representa únicamente funciones lineales.
- Representa solo relaciones inversas.
La función coseno se usa para representar situaciones periódicas, porque su gráfico oscila y repite su forma.
Alternativa correcta: b.
PAES 2
La principal diferencia visual entre las funciones básicas \(y=\sin(x)\) e \(y=\cos(x)\) es que:
- una es recta y la otra no.
- el seno comienza en \(0\) y el coseno comienza en \(1\).
- el coseno no repite su forma.
- el seno siempre es mayor que el coseno.
La diferencia visual inicial es que \(y=\sin(x)\) comienza en \(0\), mientras que \(y=\cos(x)\) comienza en \(1\).
Alternativa correcta: b.
PAES 3
En un modelo coseno, el número que indica el nivel alrededor del cual oscila la situación corresponde al:
- valor medio
- exponente
- único punto de corte
- dominio restringido
El nivel alrededor del cual oscila una situación se llama valor medio.
Alternativa correcta: a.
PAES 4
Si un fenómeno comienza en su valor máximo y luego desciende de manera periódica, la función que parece más natural para modelarlo es:
- una función lineal
- una función cuadrática
- una función coseno
- una función recíproca
La función coseno básica comienza en un valor máximo, ya que \(\cos(0)=1\).
Por eso resulta natural para modelar un fenómeno que comienza en su valor más alto y luego desciende periódicamente.
Alternativa correcta: c.
Cierre
Resumen de la página
En esta página conocimos la función coseno como otro modelo matemático útil para representar comportamientos periódicos.
Vimos que su gráfico también oscila y repite su forma, pero en su versión básica comienza en un valor máximo.
De esta manera, tanto el seno como el coseno permiten modelar fenómenos periódicos, aunque cada uno puede resultar más natural según el punto en que comience el ciclo.
Para recordar
- La función coseno también modela periodicidad.
- Su gráfico repite un patrón de bajada y subida.
- En su forma básica comienza en un valor máximo.
- Es útil cuando el fenómeno parte en una posición extrema.