2. Propiedades de los Logaritmos

Propiedades de los Logaritmos

Repaso: Definición de Logaritmo

Recordemos: Si \( b^y = x \), entonces \( \log_b(x) = y \) (donde b > 0, b ≠ 1, y x > 0).

Propiedades Fundamentales

Las siguientes propiedades son *válidas para cualquier base* 'b' (que cumpla las condiciones: b > 0 y b ≠ 1), y para cualesquiera números positivos 'x' e 'y'.

  1. Logaritmo de 1: \[ \log_b(1) = 0 \]

    Justificación: Cualquier número (excepto 0) elevado a la potencia 0 es igual a 1 (b0 = 1).

    Ejemplo: \( \log_5(1) = 0 \), \( \log(1) = 0 \), \( \ln(1) = 0 \)

  2. Logaritmo de la base: \[ \log_b(b) = 1 \]

    Justificación: Cualquier número elevado a la potencia 1 es igual a sí mismo (b1 = b).

    Ejemplo: \( \log_2(2) = 1 \), \( \log(10) = 1 \), \( \ln(e) = 1 \)

  3. Logaritmo de un producto: \[ \log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y) \]

    El logaritmo de un producto es igual a la *suma* de los logaritmos de los factores.

    Ejemplo: \( \log_2(8 \cdot 4) = \log_2(8) + \log_2(4) = 3 + 2 = 5 \) (Verifica: 8 * 4 = 32, y 25 = 32)

  4. Logaritmo de un cociente: \[ \log_b(\frac{x}{y}) = \log_b(x) - \log_b(y) \]

    El logaritmo de un cociente es igual a la *resta* del logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

    Ejemplo: \( \log_{10}(100/10) = \log_{10}(100) - \log_{10}(10) = 2 - 1 = 1 \) (Verifica: 100/10 = 10, y 101 = 10)

  5. Logaritmo de una potencia: \[ \log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x) \]

    El logaritmo de una potencia es igual al *exponente multiplicado* por el logaritmo de la base.

    Ejemplo: \( \log_2(8^3) = 3 \cdot \log_2(8) = 3 \cdot 3 = 9 \) (Verifica: 83 = 512, y 29 = 512)

  6. Cambio de Base (Opcional, según el currículo): \[ \log_a(x) = \frac{\log_b(x)}{\log_b(a)} \]

    Esta fórmula permite calcular un logaritmo en cualquier base *a* usando logaritmos en otra base *b* (generalmente, se usan logaritmos comunes (base 10) o naturales (base *e*), que están disponibles en la calculadora).

    Ejemplo: Para calcular \( \log_2(5) \) con una calculadora que solo tiene logaritmos comunes (log) y naturales (ln):

    • Usando logaritmos comunes: \( \log_2(5) = \frac{\log(5)}{\log(2)} \approx \frac{0.699}{0.301} \approx 2.32 \)
    • Usando logaritmos naturales: \( \log_2(5) = \frac{\ln(5)}{\ln(2)} \approx \frac{1.609}{0.693} \approx 2.32 \)

Ejercicios (Graduados por Dificultad)

Ejercicio 1: Calcula, sin usar calculadora:

  1. \( \log_7(1) \)
  2. \( \log_5(5) \)
  3. \( \log(10) \)
  4. \( \ln(e) \)

Ejercicio 2: Expresa como un solo logaritmo:

  1. \( \log_2(5) + \log_2(3) \)
  2. \( \log(100) - \log(10) \)
  3. \( 3 \cdot \log_5(4) \)
  4. \( \log_3(10) + \log_3(2) - \log_3(4) \)
  5. \( 2\log(5) + \log(4) \)
  6. \( \log_2(20) - 2\log_2(5) \)

Ejercicio 3: Simplifica las siguientes expresiones:

  1. \( \log_3(9 \cdot 27) \)
  2. \( \log_2(64/16) \)
  3. \( \log_5(25^4) \)
  4. \( \log(1000^6) \)
  5. \( \log_2(8) + \log_2(4) - \log_2(2) \)
  6. \( 2\log_3(9) + \log_3(3) - \log_3(27) \)
  7. \( \log_4(8) + \log_4(2) \)
  8. \( \log(\sqrt{10}) \)

Ejercicio 4: Si \( \log_2(x) = 3 \) y \( \log_2(y) = 4 \), calcula:

  1. \( \log_2(xy) \)
  2. \( \log_2(\frac{x}{y}) \)
  3. \( \log_2(x^5) \)
  4. \( \log_2(\sqrt{x}) \)
  5. \( \log_2(x^2y^3) \)
  6. \( \log_2(\frac{1}{x}) \)

Ejercicio 5: Usa la propiedad de cambio de base para calcular \( \log_2(7) \) con tres decimales (usando logaritmos comunes o naturales).

Ejercicio 6: Sabiendo que log(2) = 0.301 y que log(3) = 0.477. Calcula log(6) y log(18)

Ejercicio 7: Si log (a) = x. ¿ Cual es el valor de log (100a)?

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