Ecuaciones Exponenciales (Parte 1: Igual Base)

¿Qué es una Ecuación Exponencial?

Una ecuación exponencial es aquella en la que la *incógnita* (generalmente "x") aparece en el *exponente*. Resolver una ecuación exponencial significa encontrar el valor (o valores) de la incógnita que hace que la igualdad sea verdadera.

Ejemplos:

• \( 2^x = 8 \)
• \( 3^{x-1} = 9 \)
• \( 5^{2x} = 125 \)
• \( 10^{x+2} = 0.01 \)

Ecuaciones Exponenciales con Igual Base

El tipo más sencillo de ecuación exponencial es aquel en el que podemos expresar *ambos lados* de la ecuación como potencias de la *misma base*. En este caso, la solución es muy directa.

Propiedad fundamental: Si \( b^m = b^n \) (y b > 0, b ≠ 1), entonces \( m = n \).

Es decir, si tenemos dos potencias *iguales* con la *misma base*, entonces sus *exponentes* deben ser iguales.

Ejemplo Resuelto Paso a Paso

Resolver: \( 3^{x+1} = 81 \)

1. Expresar ambos lados con la misma base: Observamos que 81 se puede expresar como una potencia de 3: \( 81 = 3^4 \). Entonces, la ecuación se convierte en: \[ 3^{x+1} = 3^4 \]
2. Igualar los exponentes: Como las bases son iguales (ambas son 3), los exponentes deben ser iguales: \[ x + 1 = 4 \]
3. Resolver la ecuación lineal resultante: \[ x = 4 - 1 \] \[ x = 3 \]
4. Verificar (opcional, pero recomendado): Sustituimos x = 3 en la ecuación original: \[ 3^{3+1} = 3^4 = 81 \] La solución es correcta.

Ejercicios

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