Ángulos en la Circunferencia: Central, Inscrito y Semi-inscrito

Tipos de Ángulos

Hay varios tipos de ángulos importantes relacionados con la circunferencia:

(En Moodle, insertar imágenes separadas para cada tipo de ángulo, mostrando claramente el ángulo y los elementos de la circunferencia que lo definen).

Ángulo Central:

Su vértice está en el *centro* de la circunferencia, y sus lados son radios. La medida de un ángulo central es *igual* a la medida del arco que subtiende (el arco que "abarca").

Ángulo Inscrito:

Su vértice está en la *circunferencia*, y sus lados son cuerdas. La medida de un ángulo inscrito es *la mitad* de la medida del arco que subtiende (o la mitad del ángulo central correspondiente).

Ángulo Semi-inscrito:

Su vértice está en la circunferencia, un lado es una cuerda y el otro es una recta tangente a la circunferencia en el vértice. La medida de un ángulo semi-inscrito es la *mitad* de la medida del arco que subtiende.

Teorema del Ángulo Central

Teorema: La medida de un ángulo central es *igual* a la medida del arco que subtiende (el arco que "abarca").

\[ \angle AOB = \overarc{AB} \]

(En Moodle, insertar una imagen que muestre un ángulo central AOB y el arco AB).

Ejemplo: Si un ángulo central mide 70 grados, el arco que subtiende también mide 70 grados.

Teorema del Ángulo Inscrito

Teorema: La medida de un ángulo inscrito es *la mitad* de la medida del arco que subtiende (o la mitad del ángulo central correspondiente).

\[ \angle ACB = \frac{1}{2} \overarc{AB} = \frac{1}{2} \angle AOB \]

(En Moodle, insertar una imagen que muestre un ángulo inscrito ACB, el arco AB, y el ángulo central AOB correspondiente).

Ejemplo: Si un ángulo inscrito mide 30 grados, el arco que subtiende mide 60 grados, y el ángulo central correspondiente también mide 60 grados.

Demostración (o Justificación Visual) de los Teoremas

Teorema del Ángulo Central: La demostración formal del teorema del ángulo central depende de la definición de medida de un arco (que suele definirse como la medida del ángulo central correspondiente). Por lo tanto, en este nivel, la "demostración" es más bien una *justificación* basada en la definición.

Teorema del Ángulo Inscrito: Aquí presentaremos una justificación visual y un esbozo de la demostración (la demostración completa se puede hacer en clase, o dejar como un desafío para los estudiantes más avanzados). Hay varios casos a considerar, mostramos 1:

(En Moodle, insertar imágenes para cada paso de la demostración)

• Caso 1: Uno de los lados del ángulo inscrito es un diámetro.
  • Dibuja una circunferencia, un diámetro, y un ángulo inscrito ACB donde AB es el diámetro.
  • Dibuja el radio OC.
  • El triángulo AOC es isósceles (OA y OC son radios).
  • Por lo tanto, los ángulos OAC y OCA son iguales. Llamémoslos *x*.
  • El ángulo central AOB es un ángulo llano (180 grados).
  • El ángulo COB es el ángulo exterior del triángulo AOC, por lo que es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes: ∠COB = x + x = 2x.
  • El arco AB es una semicircunferencia (mide 180 grados), y el arco CB es el arco que subtiende el ángulo inscrito. El ángulo central que subtiende el arco CB es COB.
  • Por el teorema del ángulo central, arco CB = ∠COB = 2x.
  • El ángulo inscrito ACB mide x (porque x = OAC, que es lo mismo que el ángulo inscrito).
  • Por lo tanto, el ángulo inscrito ACB (que mide x) es la mitad del arco CB (que mide 2x).
• Caso 2: El centro de la circunferencia está *dentro* del ángulo inscrito (se puede demostrar usando el Caso 1).
• Caso 3: El centro de la circunferencia está *fuera* del ángulo inscrito (se puede demostrar usando el Caso 1).

La demostración completa cubre todos los casos, y en todos ellos se llega a la misma conclusión: el ángulo inscrito es la mitad del arco que subtiende.

Corolarios Importantes

De los teoremas anteriores, se derivan los siguientes corolarios (consecuencias):

1. Ángulos inscritos que subtienden el mismo arco son iguales.

   (En Moodle, insertar imagen)

2. Un ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

   (En Moodle, insertar imagen)

Ejercicios

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