ecuacion cuadratica
2. Demostración de la Fórmula Cuadrática
Demostración de la fórmula cuadrática
Objetivo de aprendizaje
Comprender cómo se obtiene la fórmula cuadrática a partir de la ecuación general de segundo grado mediante el procedimiento de completar el cuadrado.
En la introducción vimos qué es una ecuación cuadrática y cómo reconocer su forma general. Ahora daremos un paso más: veremos de dónde sale la fórmula cuadrática.
La idea central no es memorizar una expresión, sino entender que la fórmula se obtiene transformando la ecuación en un cuadrado perfecto.
Partimos de la forma general:
\[ ax^2+bx+c=0, \qquad a\neq 0 \]
Queremos despejar \(x\) usando transformaciones algebraicas equivalentes.
Idea central: completar el cuadrado
Si logramos transformar una expresión cuadrática en una forma como
\[ (x+m)^2=n, \]
entonces podemos aplicar raíz cuadrada en ambos lados y despejar la incógnita.
Ese es el corazón de la demostración.
Cuando una expresión tiene la forma
\[ x^2+px, \]
el número que se agrega para formar un cuadrado perfecto es
\[ \left(\frac{p}{2}\right)^2. \]
Esto se debe a que
\[ (x+k)^2=x^2+2kx+k^2. \]
Demostración paso a paso
Obtención de la fórmula general
Paso 1: Partimos de la ecuación general:
\[ ax^2+bx+c=0 \]
Paso 2: Dividimos toda la ecuación por \(a\), para que el coeficiente de \(x^2\) sea 1:
\[ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 \]
Paso 3: Movemos el término independiente al lado derecho:
\[ x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a} \]
Paso 4: Completamos el cuadrado. El término que debemos agregar es:
\[ \left(\frac{1}{2}\cdot \frac{b}{a}\right)^2=\left(\frac{b}{2a}\right)^2 \]
Sumamos ese valor en ambos lados:
\[ x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2 \]
Paso 5: Reescribimos el lado izquierdo como un cuadrado perfecto:
\[ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2} \]
Paso 6: Escribimos el lado derecho con denominador común:
\[ -\frac{c}{a}=-\frac{4ac}{4a^2} \]
Entonces:
\[ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2} \]
Paso 7: Aplicamos raíz cuadrada en ambos lados:
\[ x+\frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} \]
\[ x+\frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]
Paso 8: Despejamos \(x\):
\[ x= -\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]
Paso 9: Unificamos en una sola fracción:
\[ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]
Conclusión: así se obtiene la fórmula cuadrática.
Si
\[ ax^2+bx+c=0, \qquad a\neq 0, \]
entonces sus soluciones están dadas por:
\[ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]
- El símbolo \(\pm\) indica que pueden aparecer dos soluciones.
- La expresión \(b^2-4ac\) será muy importante después, porque permite analizar el tipo de raíces de la ecuación.
¿Qué muestra esta demostración?
La fórmula general no aparece por casualidad: se construye al transformar la ecuación en una expresión equivalente donde se puede aplicar raíz cuadrada.
Por eso, entender esta demostración ayuda a ver la fórmula como una consecuencia del álgebra, y no como una regla aislada para memorizar.
Ejemplo breve de aplicación
Aplicar la fórmula a \(x^2-5x+6=0\)
Identificamos los coeficientes:
\[ a=1,\qquad b=-5,\qquad c=6 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6}}{2\cdot 1} \]
\[ x=\frac{5\pm\sqrt{25-24}}{2} \]
\[ x=\frac{5\pm 1}{2} \]
\[ x=3 \qquad \text{y} \qquad x=2 \]
Soluciones: \(x=3\) y \(x=2\).
Ejercicios propuestos
Aplica la fórmula cuadrática en las siguientes ecuaciones. En cada caso, identifica primero los coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\).
Ejercicio 1
Resuelve:
\[ x^2-5x+6=0 \]
Identificamos:
\[ a=1,\qquad b=-5,\qquad c=6 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6}}{2\cdot 1} \]
\[ x=\frac{5\pm\sqrt{25-24}}{2} \]
\[ x=\frac{5\pm 1}{2} \]
\[ x=3 \qquad \text{y} \qquad x=2 \]
Soluciones: \(x=3\) y \(x=2\).
Ejercicio 2
Resuelve:
\[ 2x^2-7x+3=0 \]
Identificamos:
\[ a=2,\qquad b=-7,\qquad c=3 \]
\[ x=\frac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot 2\cdot 3}}{2\cdot 2} \]
\[ x=\frac{7\pm\sqrt{49-24}}{4} \]
\[ x=\frac{7\pm 5}{4} \]
\[ x=3 \qquad \text{y} \qquad x=\frac{1}{2} \]
Soluciones: \(x=3\) y \(x=\frac{1}{2}\).
Ejercicio 3
Resuelve:
\[ 3x^2+x-2=0 \]
Identificamos:
\[ a=3,\qquad b=1,\qquad c=-2 \]
\[ x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot 3\cdot(-2)}}{2\cdot 3} \]
\[ x=\frac{-1\pm\sqrt{1+24}}{6} \]
\[ x=\frac{-1\pm 5}{6} \]
\[ x=\frac{2}{3} \qquad \text{y} \qquad x=-1 \]
Soluciones: \(x=\frac{2}{3}\) y \(x=-1\).
Ejercicio 4
Resuelve:
\[ x^2+4x+4=0 \]
Identificamos:
\[ a=1,\qquad b=4,\qquad c=4 \]
\[ x=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot 4}}{2} \]
\[ x=\frac{-4\pm\sqrt{16-16}}{2} \]
\[ x=\frac{-4\pm 0}{2} \]
\[ x=-2 \]
Solución: \(x=-2\) (raíz doble).
Ejercicio 5
Resuelve:
\[ x^2+4x+5=0 \]
Identificamos:
\[ a=1,\qquad b=4,\qquad c=5 \]
\[ x=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot 5}}{2} \]
\[ x=\frac{-4\pm\sqrt{16-20}}{2} \]
\[ x=\frac{-4\pm\sqrt{-4}}{2} \]
Como el discriminante es negativo, la ecuación no tiene soluciones reales.
Conclusión: no tiene solución en \(\mathbb{R}\).
Ejercicio 6
Resuelve:
\[ 5x^2-6x+1=0 \]
Identificamos:
\[ a=5,\qquad b=-6,\qquad c=1 \]
\[ x=\frac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^2-4\cdot 5\cdot 1}}{2\cdot 5} \]
\[ x=\frac{6\pm\sqrt{36-20}}{10} \]
\[ x=\frac{6\pm 4}{10} \]
\[ x=1 \qquad \text{y} \qquad x=\frac{1}{5} \]
Soluciones: \(x=1\) y \(x=\frac{1}{5}\).
Ejercicio 7
Resuelve:
\[ 4x^2+4x+1=0 \]
Identificamos:
\[ a=4,\qquad b=4,\qquad c=1 \]
\[ x=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot 4\cdot 1}}{2\cdot 4} \]
\[ x=\frac{-4\pm\sqrt{16-16}}{8} \]
\[ x=\frac{-4}{8} \]
\[ x=-\frac{1}{2} \]
Solución: \(x=-\frac{1}{2}\) (raíz doble).
Ejercicio 8
Resuelve:
\[ 6x^2+5x-6=0 \]
Identificamos:
\[ a=6,\qquad b=5,\qquad c=-6 \]
\[ x=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot 6\cdot(-6)}}{2\cdot 6} \]
\[ x=\frac{-5\pm\sqrt{25+144}}{12} \]
\[ x=\frac{-5\pm 13}{12} \]
\[ x=\frac{2}{3} \qquad \text{y} \qquad x=-\frac{3}{2} \]
Soluciones: \(x=\frac{2}{3}\) y \(x=-\frac{3}{2}\).
En la próxima página estudiaremos la expresión \(b^2-4ac\), llamada discriminante, y veremos cómo permite anticipar el tipo de soluciones de una ecuación cuadrática.