ecuacion cuadratica
3. Discriminante y raíces de una ecuación cuadrática
Discriminante y raíces de una ecuación cuadrática
Objetivos de aprendizaje
- Comprender qué es el discriminante de una ecuación cuadrática.
- Relacionar el valor del discriminante con el número y tipo de raíces.
- Analizar ecuaciones cuadráticas según su discriminante sin resolverlas completamente.
En la página anterior vimos cómo se obtiene la fórmula cuadrática. Ahora nos concentraremos en una parte específica de esa fórmula: la expresión que aparece dentro de la raíz cuadrada.
Esa expresión se llama discriminante y permite anticipar qué tipo de soluciones tendrá una ecuación cuadrática.
Si una ecuación tiene la forma
\[ ax^2+bx+c=0, \qquad a\neq 0, \]
entonces sus soluciones están dadas por:
\[ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]
El discriminante se define como:
\[ D=b^2-4ac \]
Su valor permite saber cuántas raíces reales tiene la ecuación y cómo son esas raíces.
¿Qué información entrega el discriminante?
El discriminante está dentro de una raíz cuadrada. Por eso, su signo determina si esa raíz puede calcularse en los números reales.
De ahí surge la clasificación del tipo de soluciones.
| Valor del discriminante | Tipo de raíces | Interpretación |
|---|---|---|
| \(D>0\) | Dos raíces reales distintas | La raíz cuadrada de \(D\) es un número real positivo, por lo que aparecen dos soluciones diferentes. |
| \(D=0\) | Una raíz real doble | La raíz cuadrada de \(D\) es 0, por lo que ambas soluciones coinciden. |
| \(D<0\) | No hay raíces reales | No es posible calcular la raíz cuadrada de un número negativo en \(\mathbb{R}\). |
Antes de resolver una ecuación cuadrática completa, puedes calcular primero el discriminante. Eso te permite anticipar si obtendrás dos soluciones reales, una sola o ninguna en \(\mathbb{R}\).
Un error muy común es sustituir mal los signos de \(b\) o \(c\), especialmente cuando uno de ellos es negativo.
Para evitar errores, conviene reemplazar usando paréntesis:
\[ D=(b)^2-4(a)(c) \]
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: discriminante positivo
Consideremos la ecuación:
\[ x^2-3x+2=0 \]
Identificamos los coeficientes:
\[ a=1,\qquad b=-3,\qquad c=2 \]
Calculamos el discriminante:
\[ D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 2 \]
\[ D=9-8=1 \]
Como \(D>0\), la ecuación tiene dos raíces reales distintas.
Ejemplo 2: discriminante igual a cero
Consideremos la ecuación:
\[ x^2-2x+1=0 \]
Identificamos los coeficientes:
\[ a=1,\qquad b=-2,\qquad c=1 \]
Calculamos el discriminante:
\[ D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 1 \]
\[ D=4-4=0 \]
Como \(D=0\), la ecuación tiene una raíz real doble.
Ejemplo 3: discriminante negativo
Consideremos la ecuación:
\[ x^2+x+1=0 \]
Identificamos los coeficientes:
\[ a=1,\qquad b=1,\qquad c=1 \]
Calculamos el discriminante:
\[ D=1^2-4\cdot 1\cdot 1 \]
\[ D=1-4=-3 \]
Como \(D<0\), la ecuación no tiene raíces reales.
Práctica guiada
En esta práctica no resolveremos completamente las ecuaciones. Solo calcularemos el discriminante y clasificaremos el tipo de raíces.
Ejemplo guiado 1
Analiza la ecuación:
\[ 2x^2+x-3=0 \]
Identificamos:
\[ a=2,\qquad b=1,\qquad c=-3 \]
Calculamos:
\[ D=1^2-4\cdot 2\cdot(-3) \]
\[ D=1+24=25 \]
Como \(D>0\), la ecuación tiene dos raíces reales distintas.
Ejemplo guiado 2
Analiza la ecuación:
\[ 4x^2+4x+1=0 \]
Identificamos:
\[ a=4,\qquad b=4,\qquad c=1 \]
Calculamos:
\[ D=4^2-4\cdot 4\cdot 1 \]
\[ D=16-16=0 \]
Como \(D=0\), la ecuación tiene una raíz real doble.
Ejercicios
Calcula el discriminante de cada ecuación y clasifica el tipo de raíces que tiene en \(\mathbb{R}\).
Ejercicio 1
Analiza la ecuación:
\[ x^2-5x+6=0 \]
\[ a=1,\qquad b=-5,\qquad c=6 \]
\[ D=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]
Como \(D>0\), tiene dos raíces reales distintas.
Ejercicio 2
Analiza la ecuación:
\[ x^2+4x+4=0 \]
\[ a=1,\qquad b=4,\qquad c=4 \]
\[ D=4^2-4\cdot 1\cdot 4=16-16=0 \]
Como \(D=0\), tiene una raíz real doble.
Ejercicio 3
Analiza la ecuación:
\[ x^2+2x+5=0 \]
\[ a=1,\qquad b=2,\qquad c=5 \]
\[ D=2^2-4\cdot 1\cdot 5=4-20=-16 \]
Como \(D<0\), no tiene raíces reales.
Ejercicio 4
Analiza la ecuación:
\[ 3x^2+x-2=0 \]
\[ a=3,\qquad b=1,\qquad c=-2 \]
\[ D=1^2-4\cdot 3\cdot(-2)=1+24=25 \]
Como \(D>0\), tiene dos raíces reales distintas.
Ejercicio 5
Analiza la ecuación:
\[ 4x^2-4x+1=0 \]
\[ a=4,\qquad b=-4,\qquad c=1 \]
\[ D=(-4)^2-4\cdot 4\cdot 1=16-16=0 \]
Como \(D=0\), tiene una raíz real doble.
Ejercicio 6
Analiza la ecuación:
\[ 2x^2+3x+5=0 \]
\[ a=2,\qquad b=3,\qquad c=5 \]
\[ D=3^2-4\cdot 2\cdot 5=9-40=-31 \]
Como \(D<0\), no tiene raíces reales.
Ejercicio 7
Analiza la ecuación:
\[ 5x^2-6x+1=0 \]
\[ a=5,\qquad b=-6,\qquad c=1 \]
\[ D=(-6)^2-4\cdot 5\cdot 1=36-20=16 \]
Como \(D>0\), tiene dos raíces reales distintas.
Ejercicio 8
Analiza la ecuación:
\[ 6x^2+12x+6=0 \]
\[ a=6,\qquad b=12,\qquad c=6 \]
\[ D=12^2-4\cdot 6\cdot 6=144-144=0 \]
Como \(D=0\), tiene una raíz real doble.
El discriminante
\[ D=b^2-4ac \]
permite anticipar el tipo de raíces de una ecuación cuadrática sin necesidad de resolverla completamente.
El discriminante es una herramienta de lectura e interpretación. Antes de resolver una ecuación, conviene mirar esta expresión, porque entrega información valiosa sobre la naturaleza de sus soluciones.