ecuacion cuadratica
4. Método para ecuaciones cuadráticas con \( b = 0 \)
Objetivo de aprendizaje
- Resolver ecuaciones cuadráticas de la forma \( ax^2+c=0 \) en los números reales.
- Reconocer cuándo una ecuación tiene dos soluciones reales, una solución real o ninguna solución real.
- Aplicar correctamente la raíz cuadrada al despejar una incógnita al cuadrado.
Cuando en una ecuación cuadrática el coeficiente de \(x\) es cero, la expresión queda en una forma más simple:
\[ ax^2+c=0 \]
En este caso no aparece término lineal, por lo que el procedimiento consiste en aislar \(x^2\) y luego extraer raíz cuadrada.
Una ecuación cuadrática con \( b=0 \) tiene la forma:
\[ ax^2+c=0, \qquad a\ne 0 \]
- Parte desde la ecuación:
\[ ax^2+c=0 \]
- Aísla el término cuadrático:
\[ ax^2=-c \]
- Divide por \(a\):
\[ x^2=-\frac{c}{a} \]
- Toma raíz cuadrada en ambos lados:
\[ x=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}} \]
Si llegamos a
\[ x^2=-\frac{c}{a}, \]
entonces buscamos todos los números cuyo cuadrado sea \(-\frac{c}{a}\). Por eso, cuando el valor de la derecha es no negativo, las soluciones son
\[ x=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}. \]
El símbolo \(\pm\) aparece porque tanto un número positivo como su opuesto tienen el mismo cuadrado.
En los números reales, la raíz cuadrada solo existe si el radicando es mayor o igual que cero. Por eso:
\[ -\frac{c}{a}\ge 0 \quad \Rightarrow \quad \text{hay soluciones reales} \]
\[ -\frac{c}{a}<0 \quad \Rightarrow \quad \text{no hay soluciones reales} \]
No se debe transformar
\[ x^2+\frac{c}{a} \]
en
\[ \left(x+\frac{c}{a}\right)\left(x-\frac{c}{a}\right), \]
porque ese producto desarrolla
\[ x^2-\left(\frac{c}{a}\right)^2, \]
que no es lo mismo. En este método, la vía correcta es aislar \(x^2\) y luego aplicar raíz cuadrada.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: \( 2x^2-8=0 \)
Paso 1: Ecuación original.
\[ 2x^2-8=0 \]
Paso 2: Aislamos el término cuadrático.
\[ 2x^2=8 \]
Paso 3: Dividimos por 2.
\[ x^2=4 \]
Paso 4: Tomamos raíz cuadrada.
\[ x=\pm\sqrt{4} \]
\[ x=\pm 2 \]
Soluciones: \(x=2\) y \(x=-2\).
Ejemplo 2: \( 3x^2+12=0 \)
Paso 1: Ecuación original.
\[ 3x^2+12=0 \]
Paso 2: Aislamos el término cuadrático.
\[ 3x^2=-12 \]
Paso 3: Dividimos por 3.
\[ x^2=-4 \]
Paso 4: Analizamos la existencia de solución real.
Como \(-4\) es negativo, \(\sqrt{-4}\) no existe en \(\mathbb{R}\).
Conclusión: la ecuación no tiene soluciones reales.
¿Cuándo conviene usar este método?
- Cuando la ecuación cuadrática tiene la forma \(ax^2+c=0\).
- Cuando el coeficiente del término lineal es cero, es decir, \(b=0\).
- Cuando se puede aislar fácilmente \(x^2\) para luego extraer raíz cuadrada.
Ejercicios
Ejercicio 1
Resuelve la ecuación cuadrática:
\[ x^2-9=0 \]
Paso 1: Aislamos el término cuadrático:
\[ x^2=9 \]
Paso 2: Tomamos raíz cuadrada:
\[ x=\pm\sqrt{9} \]
\[ x=\pm 3 \]
Solución: \(x=3\) y \(x=-3\).
Ejercicio 2
Resuelve la ecuación cuadrática:
\[ x^2-16=0 \]
Paso 1: Aislamos el término cuadrático:
\[ x^2=16 \]
Paso 2: Tomamos raíz cuadrada:
\[ x=\pm\sqrt{16} \]
\[ x=\pm 4 \]
Solución: \(x=4\) y \(x=-4\).
Ejercicio 3
Resuelve la ecuación cuadrática:
\[ 4x^2-25=0 \]
Paso 1: Aislamos el término cuadrático:
\[ 4x^2=25 \]
Paso 2: Dividimos por 4:
\[ x^2=\frac{25}{4} \]
Paso 3: Tomamos raíz cuadrada:
\[ x=\pm\sqrt{\frac{25}{4}} \]
\[ x=\pm\frac{5}{2} \]
Solución: \(x=\frac{5}{2}\) y \(x=-\frac{5}{2}\).
Ejercicio 4
Resuelve la ecuación cuadrática:
\[ 3x^2-27=0 \]
Paso 1: Aislamos el término cuadrático:
\[ 3x^2=27 \]
Paso 2: Dividimos por 3:
\[ x^2=9 \]
Paso 3: Tomamos raíz cuadrada:
\[ x=\pm\sqrt{9} \]
\[ x=\pm 3 \]
Solución: \(x=3\) y \(x=-3\).
Ejercicio 5
Resuelve la ecuación cuadrática:
\[ 5x^2-20=0 \]
Paso 1: Aislamos el término cuadrático:
\[ 5x^2=20 \]
Paso 2: Dividimos por 5:
\[ x^2=4 \]
Paso 3: Tomamos raíz cuadrada:
\[ x=\pm\sqrt{4} \]
\[ x=\pm 2 \]
Solución: \(x=2\) y \(x=-2\).
Ejercicio 6
Resuelve la ecuación cuadrática:
\[ 2x^2+18=0 \]
Paso 1: Aislamos el término cuadrático:
\[ 2x^2=-18 \]
Paso 2: Dividimos por 2:
\[ x^2=-9 \]
Paso 3: Analizamos en \(\mathbb{R}\):
No existe número real cuyo cuadrado sea negativo.
Solución: no tiene solución en \(\mathbb{R}\).
Ejercicio 7
Resuelve la ecuación cuadrática:
\[ 6x^2-24=0 \]
Paso 1: Aislamos el término cuadrático:
\[ 6x^2=24 \]
Paso 2: Dividimos por 6:
\[ x^2=4 \]
Paso 3: Tomamos raíz cuadrada:
\[ x=\pm\sqrt{4} \]
\[ x=\pm 2 \]
Solución: \(x=2\) y \(x=-2\).
Ejercicio 8
Resuelve la ecuación cuadrática con factor literal, suponiendo \(a>0\):
\[ ax^2-16=0 \]
Paso 1: Aislamos el término cuadrático:
\[ ax^2=16 \]
Paso 2: Dividimos por \(a\):
\[ x^2=\frac{16}{a} \]
Paso 3: Tomamos raíz cuadrada:
\[ x=\pm\sqrt{\frac{16}{a}} \]
\[ x=\pm\frac{4}{\sqrt{a}} \]
Solución: \(x=\pm\sqrt{\frac{16}{a}}\).
Ejercicio 9
Resuelve la ecuación cuadrática con factores literales, suponiendo \(m>0\) y \(n\ge 0\):
\[ mx^2-9n=0 \]
Paso 1: Aislamos el término cuadrático:
\[ mx^2=9n \]
Paso 2: Dividimos por \(m\):
\[ x^2=\frac{9n}{m} \]
Paso 3: Tomamos raíz cuadrada:
\[ x=\pm\sqrt{\frac{9n}{m}} \]
\[ x=\pm 3\sqrt{\frac{n}{m}} \]
Solución: \(x=\pm 3\sqrt{\frac{n}{m}}\).
Ejercicio 10
Resuelve la ecuación cuadrática con factores literales, suponiendo \(p\ne 0\):
\[ p^2x^2-q^2=0 \]
Paso 1: Aislamos el término cuadrático:
\[ p^2x^2=q^2 \]
Paso 2: Dividimos por \(p^2\):
\[ x^2=\frac{q^2}{p^2} \]
Paso 3: Tomamos raíz cuadrada:
\[ x=\pm\sqrt{\frac{q^2}{p^2}} \]
\[ x=\pm\frac{q}{p} \]
Solución: \(x=\frac{q}{p}\) y \(x=-\frac{q}{p}\).
En este tipo de ecuaciones, la clave es despejar \(x^2\) y luego analizar si el valor obtenido permite extraer raíz cuadrada en los números reales. Si el resultado es positivo, aparecen dos soluciones opuestas; si es cero, hay una sola solución real; y si es negativo, no hay solución real.