ecuacion cuadratica
6. Método de factorización directa para ecuaciones cuadráticas (\(a=1\))
Objetivo de aprendizaje
Resolver ecuaciones cuadráticas de la forma \(x^2+bx+c=0\) mediante factorización directa, identificando correctamente dos números que cumplan simultáneamente una condición de suma y una condición de producto.
Cuando una ecuación cuadrática tiene coeficiente principal igual a 1, es decir, cuando el término cuadrático es simplemente \(x^2\), muchas veces se puede reescribir como el producto de dos binomios.
La idea es transformar la ecuación
\[ x^2+bx+c=0 \]
en una expresión factorizada de la forma
\[ (x+m)(x+n)=0. \]
Luego, usando la propiedad del producto cero, se obtienen las soluciones de manera directa.
Trabajaremos con ecuaciones cuadráticas de la forma:
\[ x^2+bx+c=0 \]
donde el coeficiente de \(x^2\) es 1.
Idea clave del método
Para factorizar una ecuación de la forma \(x^2+bx+c\), buscamos dos números \(m\) y \(n\) tales que:
\[ m\cdot n=c \]
y además
\[ m+n=b. \]
Si encontramos esos números, entonces:
\[ x^2+bx+c=(x+m)(x+n). \]
No basta con que dos números multipliquen \(c\). También deben sumar exactamente \(b\).
Por eso conviene revisar primero los pares de factores de \(c\) y luego verificar cuál de ellos cumple la suma pedida.
Procedimiento para resolver
- Identifica los coeficientes \(b\) y \(c\) en la ecuación:
\[ x^2+bx+c=0 \]
- Busca dos números \(m\) y \(n\) tales que:
\[ m\cdot n=c \qquad \text{y} \qquad m+n=b \]
- Escribe la factorización:
\[ (x+m)(x+n)=0 \]
- Aplica la propiedad del producto cero:
\[ x+m=0 \qquad \text{o} \qquad x+n=0 \]
- Resuelve cada ecuación lineal:
\[ x=-m \qquad \text{y} \qquad x=-n \]
Al desarrollar el producto
\[ (x+m)(x+n), \]
obtenemos
\[ x^2+(m+n)x+mn. \]
Por eso, para que esa expresión sea igual a \(x^2+bx+c\), debe cumplirse que
\[ m+n=b \qquad \text{y} \qquad mn=c. \]
Un error común es elegir dos números que multiplican \(c\), pero que no suman \(b\).
Por ejemplo, si \(c=6\), los números 1 y 6 multiplican 6, pero suman 7. En cambio, 2 y 3 también multiplican 6, pero suman 5.
Ambas condiciones deben cumplirse al mismo tiempo.
Si \(c\) es positivo, los dos números tienen el mismo signo.
Si \(c\) es negativo, los dos números tienen signos opuestos.
Además, el signo de la suma debe coincidir con el signo de \(b\).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: \(x^2+5x+6=0\)
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ b=5, \qquad c=6 \]
Paso 2: Buscamos dos números que multipliquen 6 y sumen 5.
\[ 2\cdot 3=6 \qquad \text{y} \qquad 2+3=5 \]
Paso 3: Factorizamos la ecuación:
\[ (x+2)(x+3)=0 \]
Paso 4: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ x+2=0 \qquad \text{o} \qquad x+3=0 \]
Paso 5: Resolvemos:
\[ x=-2 \qquad \text{y} \qquad x=-3 \]
Soluciones: \(x=-2\) y \(x=-3\).
Ejemplo 2: \(x^2-4x+4=0\)
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ b=-4, \qquad c=4 \]
Paso 2: Buscamos dos números que multipliquen 4 y sumen \(-4\).
\[ (-2)\cdot(-2)=4 \qquad \text{y} \qquad (-2)+(-2)=-4 \]
Paso 3: Factorizamos la ecuación:
\[ (x-2)(x-2)=0 \]
Paso 4: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ x-2=0 \]
Paso 5: Resolvemos:
\[ x=2 \]
Conclusión: la ecuación tiene una raíz doble.
Solución: \(x=2\).
¿Cuándo conviene usar este método?
- Cuando la ecuación tiene la forma \(x^2+bx+c=0\).
- Cuando es fácil encontrar dos números que cumplan las condiciones de producto y suma.
- Cuando la factorización puede hacerse de manera directa, sin usar fórmula general.
Este método es muy útil, pero no todas las ecuaciones cuadráticas con \(a=1\) se pueden factorizar fácilmente con números enteros.
En esos casos, puede ser necesario usar otros procedimientos, como completar el cuadrado o la fórmula general.
Si la ecuación es
\[ x^2+bx+c=0, \]
buscamos dos números \(m\) y \(n\) tales que
\[ m+n=b \qquad \text{y} \qquad mn=c. \]
Entonces:
\[ x^2+bx+c=(x+m)(x+n) \]
y las soluciones se obtienen resolviendo
\[ x+m=0 \qquad \text{y} \qquad x+n=0. \]
Ejercicios
Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando el método de factorización directa:
Ejercicio 1
Resuelve la ecuación:
\[ x^2+7x+10=0 \]
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ b=7, \qquad c=10 \]
Paso 2: Buscamos dos números que multipliquen \(10\) y sumen \(7\):
\[ 5\cdot 2=10 \qquad \text{y} \qquad 5+2=7 \]
Paso 3: Factorizamos:
\[ (x+5)(x+2)=0 \]
Paso 4: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ x+5=0 \qquad \text{o} \qquad x+2=0 \]
Paso 5: Resolvemos:
\[ x=-5 \qquad \text{y} \qquad x=-2 \]
Soluciones: \(x=-5\) y \(x=-2\).
Ejercicio 2
Resuelve la ecuación:
\[ x^2-3x-10=0 \]
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ b=-3, \qquad c=-10 \]
Paso 2: Buscamos dos números que multipliquen \(-10\) y sumen \(-3\):
\[ (-5)\cdot 2=-10 \qquad \text{y} \qquad (-5)+2=-3 \]
Paso 3: Factorizamos:
\[ (x-5)(x+2)=0 \]
Paso 4: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ x-5=0 \qquad \text{o} \qquad x+2=0 \]
Paso 5: Resolvemos:
\[ x=5 \qquad \text{y} \qquad x=-2 \]
Soluciones: \(x=5\) y \(x=-2\).
Ejercicio 3
Resuelve la ecuación:
\[ x^2+6x+9=0 \]
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ b=6, \qquad c=9 \]
Paso 2: Buscamos dos números que multipliquen \(9\) y sumen \(6\):
\[ 3\cdot 3=9 \qquad \text{y} \qquad 3+3=6 \]
Paso 3: Factorizamos:
\[ (x+3)(x+3)=0 \]
Paso 4: Resolvemos:
\[ x+3=0 \]
\[ x=-3 \]
Conclusión: la ecuación tiene una raíz doble.
Solución: \(x=-3\).
Ejercicio 4
Resuelve la ecuación:
\[ x^2-8x+15=0 \]
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ b=-8, \qquad c=15 \]
Paso 2: Buscamos dos números que multipliquen \(15\) y sumen \(-8\):
\[ (-3)\cdot(-5)=15 \qquad \text{y} \qquad (-3)+(-5)=-8 \]
Paso 3: Factorizamos:
\[ (x-3)(x-5)=0 \]
Paso 4: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ x-3=0 \qquad \text{o} \qquad x-5=0 \]
Paso 5: Resolvemos:
\[ x=3 \qquad \text{y} \qquad x=5 \]
Soluciones: \(x=3\) y \(x=5\).
Ejercicio 5
Resuelve la ecuación:
\[ x^2+4x-12=0 \]
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ b=4, \qquad c=-12 \]
Paso 2: Buscamos dos números que multipliquen \(-12\) y sumen \(4\):
\[ 6\cdot(-2)=-12 \qquad \text{y} \qquad 6+(-2)=4 \]
Paso 3: Factorizamos:
\[ (x+6)(x-2)=0 \]
Paso 4: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ x+6=0 \qquad \text{o} \qquad x-2=0 \]
Paso 5: Resolvemos:
\[ x=-6 \qquad \text{y} \qquad x=2 \]
Soluciones: \(x=-6\) y \(x=2\).
Ejercicio 6
Resuelve la ecuación:
\[ x^2+2x-8=0 \]
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ b=2, \qquad c=-8 \]
Paso 2: Buscamos dos números que multipliquen \(-8\) y sumen \(2\):
\[ 4\cdot(-2)=-8 \qquad \text{y} \qquad 4+(-2)=2 \]
Paso 3: Factorizamos:
\[ (x+4)(x-2)=0 \]
Paso 4: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ x+4=0 \qquad \text{o} \qquad x-2=0 \]
Paso 5: Resolvemos:
\[ x=-4 \qquad \text{y} \qquad x=2 \]
Soluciones: \(x=-4\) y \(x=2\).
Ejercicio 7
Resuelve la ecuación:
\[ x^2-5x+6=0 \]
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ b=-5, \qquad c=6 \]
Paso 2: Buscamos dos números que multipliquen \(6\) y sumen \(-5\):
\[ (-2)\cdot(-3)=6 \qquad \text{y} \qquad (-2)+(-3)=-5 \]
Paso 3: Factorizamos:
\[ (x-2)(x-3)=0 \]
Paso 4: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ x-2=0 \qquad \text{o} \qquad x-3=0 \]
Paso 5: Resolvemos:
\[ x=2 \qquad \text{y} \qquad x=3 \]
Soluciones: \(x=2\) y \(x=3\).
Ejercicio 8
Resuelve la ecuación:
\[ x^2-x-20=0 \]
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ b=-1, \qquad c=-20 \]
Paso 2: Buscamos dos números que multipliquen \(-20\) y sumen \(-1\):
\[ (-5)\cdot 4=-20 \qquad \text{y} \qquad (-5)+4=-1 \]
Paso 3: Factorizamos:
\[ (x-5)(x+4)=0 \]
Paso 4: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ x-5=0 \qquad \text{o} \qquad x+4=0 \]
Paso 5: Resolvemos:
\[ x=5 \qquad \text{y} \qquad x=-4 \]
Soluciones: \(x=5\) y \(x=-4\).
Ejercicio 9
Resuelve la ecuación:
\[ x^2+9x+14=0 \]
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ b=9, \qquad c=14 \]
Paso 2: Buscamos dos números que multipliquen \(14\) y sumen \(9\):
\[ 7\cdot 2=14 \qquad \text{y} \qquad 7+2=9 \]
Paso 3: Factorizamos:
\[ (x+7)(x+2)=0 \]
Paso 4: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ x+7=0 \qquad \text{o} \qquad x+2=0 \]
Paso 5: Resolvemos:
\[ x=-7 \qquad \text{y} \qquad x=-2 \]
Soluciones: \(x=-7\) y \(x=-2\).
Ejercicio 10
Resuelve la ecuación:
\[ x^2-10x+25=0 \]
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ b=-10, \qquad c=25 \]
Paso 2: Buscamos dos números que multipliquen \(25\) y sumen \(-10\):
\[ (-5)\cdot(-5)=25 \qquad \text{y} \qquad (-5)+(-5)=-10 \]
Paso 3: Factorizamos:
\[ (x-5)(x-5)=0 \]
Paso 4: Resolvemos:
\[ x-5=0 \]
\[ x=5 \]
Conclusión: la ecuación tiene una raíz doble.
Solución: \(x=5\).
La factorización directa permite resolver muchas ecuaciones cuadráticas de forma rápida y visual. Reconocer cuándo una expresión puede escribirse como producto de binomios es una habilidad clave para avanzar con seguridad en álgebra.