ecuacion cuadratica
9. Opcional: Método de factorización por agrupación para ecuaciones cuadráticas
Objetivo de aprendizaje
Resolver ecuaciones cuadráticas de la forma \(ax^2+bx+c=0\), con \(a\neq 1\), mediante factorización por agrupación, identificando correctamente los números que permiten reescribir el término del medio y formar un binomio común.
Cuando una ecuación cuadrática no tiene coeficiente principal igual a 1, muchas veces no se puede factorizar de manera directa como en el caso \(x^2+bx+c\).
En esos casos, una estrategia útil es descomponer el término del medio en dos términos y luego agrupar para factorizar por partes.
Trabajaremos con ecuaciones de la forma:
\[ ax^2+bx+c=0 \]
Buscamos dos números \(m\) y \(n\) tales que:
\[ m\cdot n=a\cdot c \]
y además
\[ m+n=b. \]
Con esos números, reescribimos el término del medio:
\[ ax^2+bx+c=ax^2+mx+nx+c. \]
Procedimiento para resolver
- Identifica los coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\) en la ecuación:
\[ ax^2+bx+c=0 \]
- Calcula el producto \(a\cdot c\).
- Busca dos números \(m\) y \(n\) que cumplan:
\[ m\cdot n=ac \qquad \text{y} \qquad m+n=b \]
- Reescribe el término del medio:
\[ ax^2+bx+c=ax^2+mx+nx+c \]
- Agrupa los términos:
\[ (ax^2+mx)+(nx+c)=0 \]
- Factoriza cada grupo por factor común.
- Factoriza el binomio común que aparece.
- Aplica la propiedad del producto cero para encontrar las soluciones.
El paso más importante es descomponer el término \(bx\) en dos términos cuya suma sea \(bx\), pero elegidos de manera que permitan agrupar y factorizar.
Si la elección de \(m\) y \(n\) es correcta, al factorizar cada grupo aparecerá un binomio común, y entonces la ecuación quedará factorizada.
No basta con encontrar dos números que multipliquen \(ac\). También deben sumar exactamente \(b\).
Además, al factorizar por agrupación no siempre se saca el mismo tipo de factor en todos los ejercicios. Lo correcto es factorizar el factor común de cada grupo hasta obtener un binomio común.
Antes de agrupar, conviene ordenar bien la ecuación y revisar si existe un factor común en los tres términos. Si lo hay, es recomendable extraerlo primero para simplificar el trabajo.
Ejemplo resuelto
Resolver \(2x^2+7x+3=0\)
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ a=2, \qquad b=7, \qquad c=3 \]
Paso 2: Calculamos el producto \(ac\):
\[ ac=2\cdot 3=6 \]
Paso 3: Buscamos dos números que multipliquen \(6\) y sumen \(7\).
\[ 6\cdot 1=6 \qquad \text{y} \qquad 6+1=7 \]
Por lo tanto, elegimos \(m=6\) y \(n=1\).
Paso 4: Reescribimos el término del medio:
\[ 2x^2+7x+3=2x^2+6x+x+3 \]
Paso 5: Agrupamos los términos:
\[ (2x^2+6x)+(x+3)=0 \]
Paso 6: Factorizamos cada grupo:
\[ 2x(x+3)+1(x+3)=0 \]
Paso 7: Factorizamos el binomio común:
\[ (2x+1)(x+3)=0 \]
Paso 8: Aplicamos la propiedad del producto cero:
\[ 2x+1=0 \qquad \text{o} \qquad x+3=0 \]
Paso 9: Resolvemos cada ecuación:
\[ 2x+1=0 \Rightarrow 2x=-1 \Rightarrow x=-\frac{1}{2} \]
\[ x+3=0 \Rightarrow x=-3 \]
Soluciones: \(x=-\frac{1}{2}\) y \(x=-3\).
¿Cuándo conviene usar este método?
- Cuando la ecuación cuadrática tiene la forma \(ax^2+bx+c=0\) con \(a\neq 1\).
- Cuando es posible encontrar dos números que multipliquen \(ac\) y sumen \(b\).
- Cuando la expresión puede reorganizarse para formar dos grupos con un binomio común.
Este método no siempre resulta sencillo en todos los ejercicios. En algunos casos puede no ser evidente la factorización, y entonces conviene usar otros procedimientos, como la fórmula general.
Ejercicios
Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando el método de factorización por agrupación:
Ejercicio 1
Resuelve la ecuación:
\[ 2x^2+8x+6=0 \]
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ a=2,\qquad b=8,\qquad c=6 \]
Paso 2: Calculamos \(ac\):
\[ ac=2\cdot 6=12 \]
Paso 3: Buscamos dos números que multipliquen \(12\) y sumen \(8\):
\[ 6 \text{ y } 2 \]
Paso 4: Reescribimos el término del medio:
\[ 2x^2+6x+2x+6=0 \]
Paso 5: Agrupamos:
\[ (2x^2+6x)+(2x+6)=0 \]
Paso 6: Factorizamos cada grupo:
\[ 2x(x+3)+2(x+3)=0 \]
Paso 7: Factorizamos el binomio común:
\[ (2x+2)(x+3)=0 \]
\[ 2(x+1)(x+3)=0 \]
Paso 8: Resolvemos:
\[ x+1=0 \Rightarrow x=-1 \]
\[ x+3=0 \Rightarrow x=-3 \]
Soluciones: \(x=-1\) y \(x=-3\).
Ejercicio 2
Resuelve la ecuación:
\[ 3x^2-5x-2=0 \]
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ a=3,\qquad b=-5,\qquad c=-2 \]
Paso 2: Calculamos \(ac\):
\[ ac=3\cdot(-2)=-6 \]
Paso 3: Buscamos dos números que multipliquen \(-6\) y sumen \(-5\):
\[ -6 \text{ y } 1 \]
Paso 4: Reescribimos el término del medio:
\[ 3x^2-6x+x-2=0 \]
Paso 5: Agrupamos:
\[ (3x^2-6x)+(x-2)=0 \]
Paso 6: Factorizamos cada grupo:
\[ 3x(x-2)+1(x-2)=0 \]
Paso 7: Factorizamos el binomio común:
\[ (3x+1)(x-2)=0 \]
Paso 8: Resolvemos:
\[ 3x+1=0 \Rightarrow x=-\frac{1}{3} \]
\[ x-2=0 \Rightarrow x=2 \]
Soluciones: \(x=-\frac{1}{3}\) y \(x=2\).
Ejercicio 3
Resuelve la ecuación:
\[ 4x^2+4x-8=0 \]
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ a=4,\qquad b=4,\qquad c=-8 \]
Paso 2: Calculamos \(ac\):
\[ ac=4\cdot(-8)=-32 \]
Paso 3: Buscamos dos números que multipliquen \(-32\) y sumen \(4\):
\[ 8 \text{ y } -4 \]
Paso 4: Reescribimos el término del medio:
\[ 4x^2+8x-4x-8=0 \]
Paso 5: Agrupamos:
\[ (4x^2+8x)+(-4x-8)=0 \]
Paso 6: Factorizamos cada grupo:
\[ 4x(x+2)-4(x+2)=0 \]
Paso 7: Factorizamos el binomio común:
\[ (4x-4)(x+2)=0 \]
\[ 4(x-1)(x+2)=0 \]
Paso 8: Resolvemos:
\[ x-1=0 \Rightarrow x=1 \]
\[ x+2=0 \Rightarrow x=-2 \]
Soluciones: \(x=1\) y \(x=-2\).
Ejercicio 4
Resuelve la ecuación:
\[ 5x^2-7x+2=0 \]
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ a=5,\qquad b=-7,\qquad c=2 \]
Paso 2: Calculamos \(ac\):
\[ ac=5\cdot 2=10 \]
Paso 3: Buscamos dos números que multipliquen \(10\) y sumen \(-7\):
\[ -5 \text{ y } -2 \]
Paso 4: Reescribimos el término del medio:
\[ 5x^2-5x-2x+2=0 \]
Paso 5: Agrupamos:
\[ (5x^2-5x)+(-2x+2)=0 \]
Paso 6: Factorizamos cada grupo:
\[ 5x(x-1)-2(x-1)=0 \]
Paso 7: Factorizamos el binomio común:
\[ (5x-2)(x-1)=0 \]
Paso 8: Resolvemos:
\[ 5x-2=0 \Rightarrow x=\frac{2}{5} \]
\[ x-1=0 \Rightarrow x=1 \]
Soluciones: \(x=\frac{2}{5}\) y \(x=1\).
Ejercicio 5
Resuelve la ecuación:
\[ 6x^2+2x-4=0 \]
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ a=6,\qquad b=2,\qquad c=-4 \]
Paso 2: Calculamos \(ac\):
\[ ac=6\cdot(-4)=-24 \]
Paso 3: Buscamos dos números que multipliquen \(-24\) y sumen \(2\):
\[ 6 \text{ y } -4 \]
Paso 4: Reescribimos el término del medio:
\[ 6x^2+6x-4x-4=0 \]
Paso 5: Agrupamos:
\[ (6x^2+6x)+(-4x-4)=0 \]
Paso 6: Factorizamos cada grupo:
\[ 6x(x+1)-4(x+1)=0 \]
Paso 7: Factorizamos el binomio común:
\[ (6x-4)(x+1)=0 \]
\[ 2(3x-2)(x+1)=0 \]
Paso 8: Resolvemos:
\[ 3x-2=0 \Rightarrow x=\frac{2}{3} \]
\[ x+1=0 \Rightarrow x=-1 \]
Soluciones: \(x=\frac{2}{3}\) y \(x=-1\).
Ejercicio 6
Resuelve la ecuación:
\[ 7x^2-17x+6=0 \]
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ a=7,\qquad b=-17,\qquad c=6 \]
Paso 2: Calculamos \(ac\):
\[ ac=7\cdot 6=42 \]
Paso 3: Buscamos dos números que multipliquen \(42\) y sumen \(-17\):
\[ -14 \text{ y } -3 \]
Paso 4: Reescribimos el término del medio:
\[ 7x^2-14x-3x+6=0 \]
Paso 5: Agrupamos:
\[ (7x^2-14x)+(-3x+6)=0 \]
Paso 6: Factorizamos cada grupo:
\[ 7x(x-2)-3(x-2)=0 \]
Paso 7: Factorizamos el binomio común:
\[ (7x-3)(x-2)=0 \]
Paso 8: Resolvemos:
\[ 7x-3=0 \Rightarrow x=\frac{3}{7} \]
\[ x-2=0 \Rightarrow x=2 \]
Soluciones: \(x=\frac{3}{7}\) y \(x=2\).
Ejercicio 7
Resuelve la ecuación:
\[ 8x^2+10x-3=0 \]
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ a=8,\qquad b=10,\qquad c=-3 \]
Paso 2: Calculamos \(ac\):
\[ ac=8\cdot(-3)=-24 \]
Paso 3: Buscamos dos números que multipliquen \(-24\) y sumen \(10\):
\[ 12 \text{ y } -2 \]
Paso 4: Reescribimos el término del medio:
\[ 8x^2+12x-2x-3=0 \]
Paso 5: Agrupamos:
\[ (8x^2+12x)+(-2x-3)=0 \]
Paso 6: Factorizamos cada grupo:
\[ 4x(2x+3)-1(2x+3)=0 \]
Paso 7: Factorizamos el binomio común:
\[ (4x-1)(2x+3)=0 \]
Paso 8: Resolvemos:
\[ 4x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{4} \]
\[ 2x+3=0 \Rightarrow x=-\frac{3}{2} \]
Soluciones: \(x=\frac{1}{4}\) y \(x=-\frac{3}{2}\).
Ejercicio 8
Resuelve la ecuación:
\[ 9x^2-15x+6=0 \]
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ a=9,\qquad b=-15,\qquad c=6 \]
Paso 2: Calculamos \(ac\):
\[ ac=9\cdot 6=54 \]
Paso 3: Buscamos dos números que multipliquen \(54\) y sumen \(-15\):
\[ -9 \text{ y } -6 \]
Paso 4: Reescribimos el término del medio:
\[ 9x^2-9x-6x+6=0 \]
Paso 5: Agrupamos:
\[ (9x^2-9x)+(-6x+6)=0 \]
Paso 6: Factorizamos cada grupo:
\[ 9x(x-1)-6(x-1)=0 \]
Paso 7: Factorizamos el binomio común:
\[ (9x-6)(x-1)=0 \]
\[ 3(3x-2)(x-1)=0 \]
Paso 8: Resolvemos:
\[ 3x-2=0 \Rightarrow x=\frac{2}{3} \]
\[ x-1=0 \Rightarrow x=1 \]
Soluciones: \(x=\frac{2}{3}\) y \(x=1\).
Ejercicio 9
Resuelve la ecuación:
\[ 10x^2+5x-5=0 \]
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ a=10,\qquad b=5,\qquad c=-5 \]
Paso 2: Calculamos \(ac\):
\[ ac=10\cdot(-5)=-50 \]
Paso 3: Buscamos dos números que multipliquen \(-50\) y sumen \(5\):
\[ 10 \text{ y } -5 \]
Paso 4: Reescribimos el término del medio:
\[ 10x^2+10x-5x-5=0 \]
Paso 5: Agrupamos:
\[ (10x^2+10x)+(-5x-5)=0 \]
Paso 6: Factorizamos cada grupo:
\[ 10x(x+1)-5(x+1)=0 \]
Paso 7: Factorizamos el binomio común:
\[ (10x-5)(x+1)=0 \]
\[ 5(2x-1)(x+1)=0 \]
Paso 8: Resolvemos:
\[ 2x-1=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2} \]
\[ x+1=0 \Rightarrow x=-1 \]
Soluciones: \(x=\frac{1}{2}\) y \(x=-1\).
Ejercicio 10
Resuelve la ecuación:
\[ 11x^2+13x+2=0 \]
Paso 1: Identificamos los coeficientes:
\[ a=11,\qquad b=13,\qquad c=2 \]
Paso 2: Calculamos \(ac\):
\[ ac=11\cdot 2=22 \]
Paso 3: Buscamos dos números que multipliquen \(22\) y sumen \(13\):
\[ 11 \text{ y } 2 \]
Paso 4: Reescribimos el término del medio:
\[ 11x^2+11x+2x+2=0 \]
Paso 5: Agrupamos:
\[ (11x^2+11x)+(2x+2)=0 \]
Paso 6: Factorizamos cada grupo:
\[ 11x(x+1)+2(x+1)=0 \]
Paso 7: Factorizamos el binomio común:
\[ (11x+2)(x+1)=0 \]
Paso 8: Resolvemos:
\[ 11x+2=0 \Rightarrow x=-\frac{2}{11} \]
\[ x+1=0 \Rightarrow x=-1 \]
Soluciones: \(x=-\frac{2}{11}\) y \(x=-1\).
La factorización por agrupación amplía las posibilidades de resolver ecuaciones cuadráticas sin recurrir inmediatamente a la fórmula general. La clave está en elegir correctamente los dos números que permiten descomponer el término del medio y construir una factorización útil.